ANCOVA i analiza badania interwencyjnego przed i po: ANOVA mieszana, różnice wyników czy model mieszany?

Autor: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 21 października 2026

Badanie przed i po z grupą kontrolną: jedno pytanie, kilka analiz

Najczęstszy plan badania interwencyjnego w psychologii, pedagogice i naukach o zdrowiu wygląda tak samo: dwie grupy, pomiar przed interwencją (pretest, pomiar wyjściowy) i pomiar po niej (posttest). Jedna grupa dostaje program, druga trafia na listę oczekujących albo dostaje standardową opiekę. To klasyczny schemat eksperymentalny z grupą kontrolną, a jeśli o przydziale decyduje losowanie – randomizowane badanie kontrolowane (RCT).

Pytanie badawcze jest proste: o ile wynik po interwencji różni się między grupami u osób, które na starcie były takie same? Kłopot polega na tym, że to samo pytanie można przełożyć na co najmniej cztery analizy: ANOVA w schemacie mieszanym z interakcją czas × grupa, test na różnicach wyników (ang. change scores), ANCOVA z pomiarem wyjściowym jako kowariantem albo model mieszany na danych długich. W recenzjach artykułów wybór między nimi wraca bardzo często, a odpowiedź „wszystkie są dobre” jest tylko częściowo prawdziwa.

W tym wpisie liczymy wszystkie cztery strategie na jednym zbiorze danych i pokazujemy, skąd biorą się różnice w wynikach. Wyjaśniamy, dlaczego w badaniu randomizowanym ANCOVA ma zwykle największą moc i dlaczego w grupach nierandomizowanych ta sama ANCOVA może wprowadzić w błąd (paradoks Lorda). Potem sprawdzamy założenia, liczymy średnie skorygowane z przedziałami ufności i wielkość efektu, a na końcu dajemy wzór opisu wyników. Jeśli Twoje badanie ma jedną grupę albo dotyczy skal bólu w fizjoterapii, zacznij od wpisu statystyka w pracy z fizjoterapii. Tam jest prostszy przykład z testem dla prób zależnych. Tutaj zakładamy dwie grupy i perspektywę autora artykułu, który musi obronić wybór analizy przed recenzentem.

Przykład: program redukcji lęku egzaminacyjnego

Studenci zgłaszający wysoki lęk przed sesją (N = 128) zostali losowo przydzieleni do sześciotygodniowego programu grupowego (n = 64) albo na listę oczekujących (n = 64). Lęk egzaminacyjny mierzono kwestionariuszem z 10 pozycjami ocenianymi na skali 1–5 (wynik 10–50, wyższy oznacza silniejszy lęk), tydzień przed rozpoczęciem programu i tydzień po jego zakończeniu. Dane są symulowane (set.seed(5050)), a w populacji program obniża lęk średnio o 4 pkt. Zbiór możesz pobrać jako plik CSV (128 wierszy, kolumny id, grupa, pre, post) i powtórzyć wszystkie analizy z kodem z sekcji Przykład w R.

Korelacja pomiaru przed i po wynosi w całej próbie r = .60 (w grupach .60 i .63). Ta jedna liczba zdecyduje za chwilę o tym, która analiza ma największą moc. Zwróć też uwagę na drobny szczegół: mimo losowego przydziału grupa kontrolna zaczęła z lękiem wyższym o niespełna 1 pkt (32.69 wobec 31.95). Taka przypadkowa nierównowaga zdarza się w każdym RCT i – jak zobaczysz – różne analizy traktują ją inaczej.

Cztery strategie na tych samych danych

Strategia 0: same wyniki po interwencji

Punkt odniesienia to zwykły test t dla prób niezależnych na wynikach po interwencji, który pomija pomiar wyjściowy. Różnica średnich (program − kontrolna) wynosi −3.61 pkt, 95% CI [−5.74, −1.48], t(126) = 3.35, p = .001. W RCT to oszacowanie jest nieobciążone, bo losowanie wyrównuje grupy w oczekiwaniu. Jest jednak mało precyzyjne, a w tej konkretnej próbie część różnicy wynika z tego, że grupa kontrolna zaczynała wyżej.

Strategia 1: ANOVA mieszana i interakcja czas × grupa

W dwuczynnikowej ANOVA z jednym czynnikiem międzyobiektowym (grupa) i jednym wewnątrzobiektowym (czas) efekt programu to interakcja: czy zmiana od pre do post różni się między grupami. Wynik: F(1, 126) = 7.95, p = .006, η²_p = .06. Efekt główny czasu (F(1, 126) = 21.41, p < .001) mówi tylko, że lęk spadł średnio w całej próbie. Efekt główny grupy (F(1, 126) = 4.41, p = .038) uśrednia pomiar przed i po, więc nie jest efektem programu i nie należy go tak interpretować. Szczegóły tej analizy, w tym sferyczność przy więcej niż dwóch pomiarach, opisuje hasło ANOVA z powtarzanymi pomiarami.

Strategia 2: różnice wyników (change scores)

Dla każdej osoby liczysz zmianę post − pre i porównujesz średnie zmiany testem t. Różnica średnich zmian wynosi −2.88 pkt, 95% CI [−4.89, −0.86], t(126) = 2.82, p = .006. Zwróć uwagę na p: jest identyczne jak dla interakcji w ANOVA mieszanej, bo przy dwóch pomiarach to ta sama analiza (2.82² = 7.95, czyli F = t²). Interakcja czas × grupa w schemacie 2 × 2 to test na różnicach wyników – raportowanie obu jako „dwóch niezależnych potwierdzeń” jest błędem.

Strategia 3: ANCOVA z pomiarem wyjściowym

ANCOVA modeluje wynik po interwencji, a pomiar wyjściowy traktuje jak predyktor w regresji liniowej: post ~ pre + grupa. Współczynnik przy pre wynosi b = 0.54, 95% CI [0.42, 0.66], a skorygowana różnica między grupami −3.21 pkt, 95% CI [−4.91, −1.52], t(125) = −3.75, p < .001. Przedział jest węższy niż w obu poprzednich analizach (błąd standardowy 0.86 wobec 1.02 i 1.08).

Ten wzór porządkuje wszystkie trzy wyniki. Różnica w pretescie (program − kontrolna) wynosi −0.73 pkt. Sam posttest jej nie koryguje: −3.61. Analiza zmian odejmuje ją w całości: −3.61 − (−0.73) = −2.88. ANCOVA odejmuje tylko tyle, ile wynika z rzeczywistego związku pre z post w danych: −3.61 − 0.54 × (−0.73) = −3.21. Analiza zmian zakłada więc, że nachylenie wynosi 1, czyli że każdy punkt przewagi na starcie przenosi się w całości na wynik końcowy. Przy korelacji .60 tak nie jest – część różnicy wyjściowej „rozpływa się” przez regresję do średniej – i dlatego Clifton i Clifton (2019) pokazują, że analiza zmian nie rozwiązuje ani problemu regresji do średniej, ani nierównowagi wyjściowej.

Strategia 4: model mieszany na danych długich

Model mieszany wymaga danych w formacie długim (dwa wiersze na osobę) i losowego wyrazu wolnego dla osoby (zob. efekty stałe i losowe). Model lek ~ czas * grupa + (1 | id) daje dla interakcji −2.87 pkt, SE = 1.02, p = .006 – przy kompletnych danych to znowu analiza zmian w innym opakowaniu. Lepszy w RCT jest wariant, który pomija efekt główny grupy, a zostawia czas i interakcję czas × grupa. Taki model narzuca równość średnich wyjściowych w obu grupach, co w RCT wynika z losowania. To ograniczona analiza podłużna (ang. constrained longitudinal data analysis, cLDA), zaproponowana przez Lianga i Zegera, której efektywność względem podłużnej ANCOVA analizował Lu (2010). W przykładzie daje −3.16 pkt, 95% CI [−4.97, −1.36], p = .001, czyli prawie to samo co ANCOVA. Lu (2010) pokazał, że przewaga cLDA rośnie wraz z liczbą osób, którym brakuje pomiaru wyjściowego albo wszystkich pomiarów po randomizacji: takie osoby nadal wnoszą do modelu informację, której ANCOVA nie wykorzysta. Porównanie ANOVA z modelem mieszanym przy wielu pomiarach i odpadaniu z badania znajdziesz we wpisie ANOVA z powtarzanymi pomiarami czy model mieszany.

Dlaczego ANCOVA ma zwykle największą moc w RCT

Wszystkie trzy podstawowe analizy szacują w RCT ten sam efekt bez obciążenia. Różnią się precyzją. Jeśli pretest i posttest mają podobne odchylenie standardowe σ i korelację ρ, wariancja wyniku, który porównujesz między grupami, wynosi:

• tylko post: σ²;
• różnice wyników: 2σ²(1 − ρ);
• ANCOVA (wariancja reszt): σ²(1 − ρ²).

Analiza zmian jest więc lepsza od samego posttestu tylko wtedy, gdy ρ > .50. Przy słabszej korelacji odejmowanie pretestu dodaje więcej szumu, niż usuwa. Vickers i Altman (2001) zwracają uwagę właśnie na to, że wybór między tymi dwiema prostymi analizami zależy od korelacji pomiarów. ANCOVA nigdy nie przegrywa z żadną z nich (pomijając jeden stopień swobody), bo sama szacuje optymalną wagę pretestu. Van Breukelen (2006) potwierdza, że w badaniach randomizowanych obie metody są nieobciążone, ale ANCOVA ma większą moc. Egbewale i in. (2014) pokazali w symulacji, że przy przypadkowej nierównowadze wyjściowej ANCOVA daje też bardziej precyzyjne oszacowania niż ANOVA wyników końcowych i analiza zmian.

Na moc testu przekłada się to wprost. W symulacji (64 + 64 osoby, prawdziwy efekt −3 pkt przy SD = 7, czyli d ≈ 0.43, po 2000 powtórzeń) przy korelacji .60 ANCOVA wykrywała efekt w 84.6% badań, analiza zmian w 76.0%, a sam posttest w 66.3%. Przy korelacji 0 analiza zmian traci prawie połowę mocy (37.8% wobec 64.9% w ANCOVA).

Ma to konsekwencje już na etapie planowania. Jeśli z pilotażu albo literatury znasz korelację pre–post, wpisz do analizy liczebności próby wariancję reszt z ANCOVA, a nie wariancję posttestu. Przy ρ = .60 potrzebujesz wtedy mniej więcej o jedną trzecią mniej osób niż do samego porównania wyników końcowych (1 − .60² = .64). Analizę główną zapisz z góry w planie analizy statystycznej: wybór między ANCOVA a analizą zmian po obejrzeniu wyników to klasyczna furtka dla p-hackingu.

Jeszcze jedna uwaga o nierównowadze wyjściowej. Nie testuj istotności różnic między grupami w pretescie, żeby zdecydować, czy „trzeba” użyć ANCOVA. W RCT każda różnica wyjściowa jest z definicji przypadkowa, a wytyczne CONSORT 2010 opisują tabelę charakterystyk wyjściowych jako opis grup, nie jako zestaw testów (Schulz i in., 2010). Pretest uwzględniasz w modelu, bo zwiększa precyzję, a nie dlatego, że różnica okazała się istotna.

Grupy nierandomizowane: paradoks Lorda

Wszystko, co powyżej, dotyczy losowego przydziału. W schemacie quasi-eksperymentalnym grupy często różnią się na starcie nie przez przypadek, lecz systematycznie: program wdrożono w jednej szkole, na jednym oddziale, na jednym wydziale. Lord (1967) opisał paradoks, który wtedy powstaje. Analiza zmian i ANCOVA, zastosowane do tych samych danych, mogą dać sprzeczne wnioski i żadna statystyka nie rozstrzygnie, która ma rację.

Symulacja pokazuje to wprost. Na dwóch wydziałach (po 150 osób) poziom lęku jest stały, a pomiar przed i po różni się tylko błędem pomiaru. Nikt się nie zmienia i program nie działa. Wydział A ma jednak średnio wyższy lęk (pre: M = 35.07) niż wydział B (pre: M = 28.07), na którym wdrożono program. Analiza zmian daje poprawny wynik: różnica średnich zmian wynosi 0.02 pkt, t(298) = −0.03, p = .975. ANCOVA „znajduje” natomiast efekt programu: −3.02 pkt, 95% CI [−4.46, −1.58], p < .001.

Skąd ta rozbieżność? ANCOVA porównuje osoby o tym samym wyniku wyjściowym. Osoba z wydziału B, która w pretescie uzyskała 35 pkt, ma wynik wyższy niż typowy dla swojego wydziału, więc w posttescie „wraca” w stronę średniej wydziału B. Osoba z wydziału A z tym samym wynikiem jest blisko średniej swojej grupy i zostaje na miejscu. ANCOVA odczytuje tę różnicę w regresji do średniej jako efekt grupy. Zakłada bowiem, że po wyrównaniu pretestu grupy nie różnią się niczym innym, a tu różnią się prawdziwym poziomem lęku, który pretest mierzy z błędem. Van Breukelen (2006) ujmuje to tak: w badaniach nierandomizowanych ANCOVA zakłada brak różnic wyjściowych, a obie metody mogą dawać sprzeczne wyniki.

Odwrotny przypadek też istnieje. Wright (2006) pokazuje w symulacjach, że ANCOVA jest właściwa, gdy przydział do grup zależy od samego wyniku wyjściowego (np. do programu kwalifikuje się każdy z wynikiem powyżej progu). Analiza zmian bywa właściwa, gdy przydział jest z wynikiem wyjściowym związany, ale nie przyczynowo. Często żadna z nich nie wystarcza. Senn (2006) dodaje, że trudno wskazać realistyczną sytuację, w której ANCOVA byłaby obciążona, a prosta analiza zmian nie i dawała podstawę do wniosku przyczynowego. Miller i Chapman (2001) przestrzegają przed traktowaniem ANCOVA jako sposobu na „wyrównanie” grup, które naprawdę różnią się kowariantem.

Wniosek praktyczny: w quasi-eksperymencie wybór analizy wynika z założeń o tym, jak powstały grupy, a nie z danych. Opisz mechanizm przydziału, pokaż wykres rozrzutu pre–post dla obu grup, raportuj obie analizy jako analizę wrażliwości i ostrożnie formułuj wnioski przyczynowe (zob. zmienna zakłócająca i trafność wewnętrzna). Gdy masz kilka pomiarów przed interwencją albo dane z wielu jednostek, lepszym narzędziem bywa metoda opisana we wpisie quasi-eksperyment i różnica w różnicach (DiD).

Założenia ANCOVA i jak je sprawdzić

ANCOVA to model liniowy, więc obowiązują założenia regresji. Dochodzą do nich dwa warunki dotyczące kowariantu. W przykładzie żadne z założeń nie budzi zastrzeżeń:

1. Niezależność obserwacji. Wynika z planu badania. Jeśli program prowadzono w grupach terapeutycznych albo w klasach, osoby z jednej grupy nie są niezależne i potrzebny jest model wielopoziomowy (zob. model wielopoziomowy krok po kroku).
2. Kowariant zmierzony przed interwencją. Pomiar wyjściowy nie może zależeć od przydziału. Kowariant zmierzony po interwencji (np. motywacja na końcu programu) może sam być skutkiem programu i jego kontrolowanie zniekształca efekt.
3. Liniowość związku pre–post. Obejrzyj wykres rozrzutu albo dodaj do modelu człon kwadratowy. W przykładzie nie poprawia on dopasowania: F(1, 124) = 0.03, p = .854.
4. Homogeniczność nachyleń regresji. Związek pre z post powinien być podobny w obu grupach. Sprawdzasz to, dodając interakcję pre × grupa: F(1, 124) = 0.14, p = .710; nachylenia wynoszą 0.52 w grupie kontrolnej i 0.56 w grupie programu.
5. Równość wariancji reszt w grupach. Test Levene’a na resztach: F(1, 126) = 0.07, p = .788; SD reszt 4.63 i 4.99 (zob. homogeniczność wariancji).
6. Rozkład reszt zbliżony do normalnego. Oceń go na wykresie Q-Q reszt. Test Shapiro–Wilka daje tu W = .99, p = .192, ale przy dużych próbach nie traktuj go jak wyroczni.

Co, jeśli nachylenia się różnią? Wtedy efekt programu zależy od poziomu wyjściowego i jedna liczba go nie opisuje. Zostaw interakcję w modelu, wycentruj pretest i opisz efekt programu dla kilku wartości wyjściowych, tak jak w analizie moderacji. Pamiętaj przy tym, że test interakcji ma zwykle małą moc. Jego nieistotność nie dowodzi równości nachyleń, a założenie warto przemyśleć na podstawie teorii, zanim zobaczysz dane. Na koniec rzetelność: błąd pomiaru kowariantu osłabia korektę. W RCT obniża to tylko precyzję, ale w grupach nierandomizowanych to źródło paradoksu Lorda.

Średnie skorygowane z CI i wielkość efektu

Średnie skorygowane (ang. estimated marginal means) to przewidywane wyniki po interwencji dla obu grup przy tej samej wartości pretestu, zwykle przy średniej z całej próby (tu 32.32). W przykładzie wynoszą 31.57, 95% CI [30.37, 32.76] na liście oczekujących i 28.35, 95% CI [27.16, 29.55] w grupie programu. Ich różnica to dokładnie współczynnik grupy z ANCOVA: −3.21 pkt. W tabeli wyników pokaż zarówno surowe średnie przed i po, jak i średnie skorygowane, bo czytelnik musi widzieć, skąd się wzięła korekta.

Wielkość efektu możesz podać na trzy sposoby; wybierz jeden jako główny i nazwij go dokładnie:

• Cząstkowe η² dla grupy z ANCOVA: η²_p = .10, 90% CI [.03, .19]. To udział wariancji wyjaśnionej przez grupę po odjęciu wariancji związanej z pretestem, więc nie porównuj go wprost z η² z badań bez kowariantu (zob. eta kwadrat).
• Standaryzowana różnica skorygowana: różnica średnich skorygowanych podzielona przez zbiorcze SD wyników po interwencji (6.10). Daje d = −0.53, przybliżony 95% CI [−0.80, −0.25] (granice przedziału dla różnicy podzielone przez to samo SD). W mianowniku użyj SD wyniku, a nie SD reszt z ANCOVA, bo ta druga sztucznie zawyża efekt, im wyższa korelacja pre–post (zob. d Cohena).
• d_ppc2 Morrisa: różnica średnich zmian podzielona przez zbiorcze SD pretestu (6.92), z poprawką na małą próbę. Daje −0.41. Morris (2008) porównał trzy miary dla schematu z pretestem, posttestem i grupą kontrolną i ta wypadła najlepiej pod względem obciążenia i precyzji, więc warto ją podać z myślą o przyszłych metaanalizach.

Różnica między −0.53 a −0.41 nie jest błędem. Pierwsza miara opiera się na korekcie z ANCOVA (−3.21 pkt), druga na różnicy zmian (−2.88 pkt) i innym mianowniku. Dlatego w raporcie zawsze podaj, co jest w liczniku i w mianowniku. Ogólne zasady opisu efektów zebraliśmy w haśle standaryzowana różnica średnich.

Wzór raportu

W części „Metoda” podaj, jak przydzielano osoby do grup, który pomiar jest wynikiem głównym, jaką analizę zaplanowano jako główną i jak postąpiono z brakami danych (zob. analiza ITT). Wytyczne CONSORT 2010 opisują pełną listę elementów raportu randomizowanego badania w grupach równoległych (Schulz i in., 2010).

Więcej wzorów zdań do innych analiz znajdziesz we wpisie jak opisać wyniki w stylu APA. Jeśli recenzent pyta, dlaczego nie użyto ANOVA mieszanej, odpowiedź masz w sekcji o mocy: przy dwóch pomiarach interakcja to analiza zmian, a ANCOVA jest w RCT co najmniej tak samo nieobciążona i bardziej precyzyjna. Gdy potrzebujesz kogoś, kto sprawdzi plan analizy albo przygotuje odpowiedź na takie uwagi, zobacz, jak wygląda współpraca przy analizach dla badaczy.

ANCOVA i ANOVA mieszana w SPSS

Według dokumentacji IBM SPSS Statistics (IBM, b.d.) ANCOVA uruchomisz w oknie Analyze > General Linear Model > Univariate: wynik po interwencji wpisz jako zmienną zależną, grupę jako czynnik stały, a wynik wyjściowy jako kowariant. ANOVA w schemacie mieszanym to Analyze > General Linear Model > Repeated Measures z czynnikiem wewnątrzobiektowym czas (dwa poziomy) i grupą jako czynnikiem międzyobiektowym. W tej procedurze efekt programu odczytujesz z wiersza interakcji, a nie z efektu głównego grupy. Ogólne wskazówki, jak przepisać wydruk do tekstu, są we wpisie jak czytać wyniki z SPSS.

# Dane symulowane: randomizowane badanie interwencyjne (RCT), 6-tygodniowy program redukcji lęku egzaminacyjnego
# w porównaniu z listą oczekujących; lęk egzaminacyjny (10 pozycji 1–5, wynik 10–50) przed (pre) i po (post); N = 128
library(afex)       # aov_ez(): ANOVA w schemacie mieszanym
library(emmeans)    # średnie skorygowane i kontrasty
library(lmerTest)   # lmer(): model mieszany z testami (Satterthwaite)

set.seed(5050)
n_gr <- 64
grupa <- factor(rep(c("kontrolna", "program"), each = n_gr), levels = c("kontrolna", "program"))
pre_ciagly <- rnorm(2 * n_gr, mean = 32, sd = 7)
# post zależy od pre (nachylenie 0.6), program obniża lęk średnio o 4 pkt, w grupie kontrolnej lekki spadek
post_ciagly <- 13 + 0.6 * pre_ciagly - 4 * (grupa == "program") + rnorm(2 * n_gr, sd = 5)
ogr <- function(x) pmin(pmax(round(x), 10), 50)
dane <- data.frame(id = sprintf("os%03d", 1:(2 * n_gr)), grupa = grupa,
                   pre = ogr(pre_ciagly), post = ogr(post_ciagly))
dane$zmiana <- dane$post - dane$pre
head(dane, 4)
write.csv(dane[, c("id", "grupa", "pre", "post")], "ancova-przed-po-dane.csv", row.names = FALSE)

# Statystyki opisowe w grupach i korelacja pre–post
opis <- aggregate(cbind(pre, post, zmiana) ~ grupa, data = dane, FUN = function(x) round(c(M = mean(x), SD = sd(x)), 2))
print(do.call(data.frame, opis), row.names = FALSE)
round(c(r_pre_post = cor(dane$pre, dane$post),
        r_w_kontrolnej = cor(dane$pre[grupa == "kontrolna"], dane$post[grupa == "kontrolna"]),
        r_w_programie = cor(dane$pre[grupa == "program"], dane$post[grupa == "program"])), 3)

# Strategia 0: same wyniki po interwencji (test t, bez uwzględnienia pomiaru wyjściowego)
t_post <- t.test(post ~ grupa, data = dane, var.equal = TRUE)
t_post

# Strategia 1: ANOVA mieszana 2 (grupa) × 2 (czas) – liczy się interakcja
dlugie <- reshape(dane[, c("id", "grupa", "pre", "post")], direction = "long", varying = c("pre", "post"),
                  v.names = "lek", timevar = "czas", times = c("pre", "post"), idvar = "id")
dlugie$czas <- factor(dlugie$czas, levels = c("pre", "post"))
anova_mix <- aov_ez(id = "id", dv = "lek", data = dlugie, between = "grupa", within = "czas")
nice(anova_mix, es = "pes")

# Strategia 2: różnice wyników (change scores) – test t dla wskaźników zmiany
t_zmiana <- t.test(zmiana ~ grupa, data = dane, var.equal = TRUE)
t_zmiana

# Strategia 3: ANCOVA – post z pomiarem wyjściowym jako kowariantem
ancova <- lm(post ~ pre + grupa, data = dane)
summary(ancova)$coefficients
confint(ancova)
emm <- emmeans(ancova, ~ grupa)      # średnie skorygowane (przy średnim pre)
mean(dane$pre)
print(as.data.frame(emm), digits = 4)
summary(pairs(emm, reverse = TRUE), infer = TRUE)

# Strategia 4a: model mieszany na danych długich (czas × grupa, losowy wyraz wolny)
m_lmm <- lmer(lek ~ czas * grupa + (1 | id), data = dlugie)
round(summary(m_lmm)$coefficients, 3)
# Strategia 4b: ograniczona analiza podłużna (cLDA): bez efektu głównego grupy, bo w RCT średnie wyjściowe są równe w populacji
dlugie$program_po <- as.numeric(dlugie$czas == "post" & dlugie$grupa == "program")
m_clda <- lmer(lek ~ czas + program_po + (1 | id), data = dlugie)
round(summary(m_clda)$coefficients, 3)

# Zestawienie: ta sama różnica (program − kontrolna) w pięciu analizach
oszac <- function(nazwa, est, se, df) data.frame(analiza = nazwa, roznica = est, SE = se,
                                                 dolny = est - qt(.975, df) * se, gorny = est + qt(.975, df) * se,
                                                 p = 2 * pt(-abs(est / se), df))
c_lmm  <- summary(m_lmm)$coefficients["czaspost:grupaprogram", ]
c_clda <- summary(m_clda)$coefficients["program_po", ]
zestaw <- rbind(
  oszac("Tylko post (test t)", unname(t_post$estimate[2] - t_post$estimate[1]), t_post$stderr, t_post$parameter),
  oszac("Różnice wyników / interakcja", unname(t_zmiana$estimate[2] - t_zmiana$estimate[1]), t_zmiana$stderr, t_zmiana$parameter),
  oszac("Model mieszany (czas × grupa)", c_lmm[["Estimate"]], c_lmm[["Std. Error"]], c_lmm[["df"]]),
  oszac("ANCOVA z pomiarem wyjściowym", coef(ancova)[["grupaprogram"]], summary(ancova)$coefficients["grupaprogram", 2], df.residual(ancova)),
  oszac("cLDA (model mieszany bez grupy w pre)", c_clda[["Estimate"]], c_clda[["Std. Error"]], c_clda[["df"]]))
zestaw$p <- signif(zestaw$p, 3)
print(cbind(zestaw[1], round(zestaw[2:5], 2), p = zestaw$p), row.names = FALSE)

     id     grupa pre post zmiana
1 os001 kontrolna  30   34      4
2 os002 kontrolna  31   19    -12
3 os003 kontrolna  30   24     -6
4 os004 kontrolna  38   35     -3
     grupa pre.M pre.SD post.M post.SD zmiana.M zmiana.SD
 kontrolna 32.69   6.71  31.77    5.78    -0.92      5.65
   program 31.95   7.12  28.16    6.40    -3.80      5.88
    r_pre_post r_w_kontrolnej  r_w_programie 
         0.603          0.599          0.626 

	Two Sample t-test

data:  post by grupa
t = 3.3474, df = 126, p-value = 0.001076
alternative hypothesis: true difference in means between group kontrolna and group program is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 1.475499 5.743251
sample estimates:
mean in group kontrolna   mean in group program 
               31.76562                28.15625 

Contrasts set to contr.sum for the following variables: grupa
Anova Table (Type 3 tests)

Response: lek
      Effect     df   MSE         F  pes p.value
1      grupa 1, 126 68.44    4.41 * .034    .038
2       czas 1, 126 16.64 21.41 *** .145   <.001
3 grupa:czas 1, 126 16.64   7.95 ** .059    .006
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘+’ 0.1 ‘ ’ 1

	Two Sample t-test

data:  zmiana by grupa
t = 2.8193, df = 126, p-value = 0.005592
alternative hypothesis: true difference in means between group kontrolna and group program is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.856913 4.893087
sample estimates:
mean in group kontrolna   mean in group program 
              -0.921875               -3.796875 

               Estimate Std. Error   t value     Pr(>|t|)
(Intercept)  14.0809312 2.12267155  6.633589 8.888319e-10
pre           0.5410231 0.06225052  8.691063 1.695107e-14
grupaprogram -3.2120611 0.85593519 -3.752692 2.666015e-04
                  2.5 %     97.5 %
(Intercept)   9.8799008 18.2819616
pre           0.4178216  0.6642246
grupaprogram -4.9060631 -1.5180592
[1] 32.32031
 grupa       emmean        SE  df lower.CL upper.CL
 kontrolna 31.56697 0.6048058 125 30.36998 32.76395
 program   28.35491 0.6048058 125 27.15792 29.55189

Confidence level used: 0.95 
 contrast            estimate    SE  df lower.CL upper.CL t.ratio p.value
 program - kontrolna    -3.21 0.856 125    -4.91    -1.52  -3.753  0.0003

Confidence level used: 0.95 
                      Estimate Std. Error      df t value Pr(>|t|)
(Intercept)             32.688      0.815 183.842  40.093    0.000
czaspost                -0.922      0.721 126.000  -1.278    0.203
grupaprogram            -0.734      1.153 183.842  -0.637    0.525
czaspost:grupaprogram   -2.875      1.020 126.000  -2.819    0.006
            Estimate Std. Error      df t value Pr(>|t|)
(Intercept)   32.320      0.576 185.136  56.153    0.000
czaspost      -0.778      0.685 150.170  -1.136    0.258
program_po    -3.163      0.914 184.348  -3.461    0.001
                               analiza roznica   SE dolny gorny        p
                   Tylko post (test t)   -3.61 1.08 -5.74 -1.48 0.001080
          Różnice wyników / interakcja   -2.88 1.02 -4.89 -0.86 0.005590
         Model mieszany (czas × grupa)   -2.87 1.02 -4.89 -0.86 0.005590
          ANCOVA z pomiarem wyjściowym   -3.21 0.86 -4.91 -1.52 0.000267
 cLDA (model mieszany bez grupy w pre)   -3.16 0.91 -4.97 -1.36 0.000670

# Założenia ANCOVA i wielkość efektu (ramka dane i model ancova z przepisu 1)
library(car)          # Anova(), leveneTest()
library(effectsize)   # eta_squared()

# 1. Homogeniczność nachyleń: czy związek pre–post jest taki sam w obu grupach?
m_nachylenia <- lm(post ~ pre * grupa, data = dane)
Anova(m_nachylenia, type = 2)
coef(lm(post ~ pre, data = subset(dane, grupa == "kontrolna")))[["pre"]]
coef(lm(post ~ pre, data = subset(dane, grupa == "program")))[["pre"]]

# 2. Liniowość: czy człon kwadratowy pre poprawia model?
anova(ancova, lm(post ~ pre + I(pre^2) + grupa, data = dane))

# 3. Równość wariancji reszt w grupach i rozkład reszt
leveneTest(resid(ancova) ~ dane$grupa, center = median)
round(tapply(resid(ancova), dane$grupa, sd), 2)
shapiro.test(resid(ancova))

# 4. Tabela ANCOVA (sumy kwadratów typu II) i cząstkowe η² z dwustronnym 90% CI
tab <- Anova(ancova, type = 2)
tab
eta_squared(tab, partial = TRUE, ci = .90, alternative = "two.sided")

# 5. Standaryzowana różnica: skorygowana różnica średnich / zbiorcze SD wyników post
sd_post <- sqrt(((n_gr - 1) * var(dane$post[dane$grupa == "kontrolna"]) +
                 (n_gr - 1) * var(dane$post[dane$grupa == "program"])) / (2 * n_gr - 2))
roznica_skor <- coef(ancova)[["grupaprogram"]]
ci_skor <- confint(ancova)["grupaprogram", ]
round(c(SD_post_zbiorcze = sd_post, d_skorygowane = roznica_skor / sd_post,
        d_dolny = ci_skor[[1]] / sd_post, d_gorny = ci_skor[[2]] / sd_post), 2)

# 6. d_ppc2 (Morris, 2008): różnica średnich zmian / zbiorcze SD pomiaru wyjściowego, z poprawką na małą próbę
sd_pre <- sqrt(((n_gr - 1) * var(dane$pre[dane$grupa == "kontrolna"]) +
                (n_gr - 1) * var(dane$pre[dane$grupa == "program"])) / (2 * n_gr - 2))
c_p <- 1 - 3 / (4 * (2 * n_gr - 2) - 1)
zm <- tapply(dane$zmiana, dane$grupa, mean)
round(c(SD_pre_zbiorcze = sd_pre, d_ppc2 = c_p * (zm[["program"]] - zm[["kontrolna"]]) / sd_pre), 2)

Anova Table (Type II tests)

Response: post
           Sum Sq  Df F value    Pr(>F)    
pre       1765.78   1 75.0141 2.099e-14 ***
grupa      329.21   1 13.9857 0.0002801 ***
pre:grupa    3.27   1  0.1387 0.7101840    
Residuals 2918.88 124                      
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
[1] 0.5163527
[1] 0.5629652
Analysis of Variance Table

Model 1: post ~ pre + grupa
Model 2: post ~ pre + I(pre^2) + grupa
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)
1    125 2922.1                           
2    124 2921.3  1   0.79712 0.0338 0.8544
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
       Df F value Pr(>F)
group   1  0.0728 0.7877
      126               
kontrolna   program 
     4.63      4.99 

	Shapiro-Wilk normality test

data:  resid(ancova)
W = 0.98551, p-value = 0.1919

Anova Table (Type II tests)

Response: post
           Sum Sq  Df F value    Pr(>F)    
pre       1765.78   1  75.535 1.695e-14 ***
grupa      329.21   1  14.083 0.0002666 ***
Residuals 2922.14 125                      
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# Effect Size for ANOVA (Type II)

Parameter | Eta2 (partial) |       90% CI
-----------------------------------------
pre       |           0.38 | [0.27, 0.47]
grupa     |           0.10 | [0.03, 0.19]
SD_post_zbiorcze    d_skorygowane          d_dolny          d_gorny 
            6.10            -0.53            -0.80            -0.25 
SD_pre_zbiorcze          d_ppc2 
           6.92           -0.41

# Paradoks Lorda: grupy NIErandomizowane, różne na starcie, i żadnego efektu programu
# Dwa wydziały: program wdrożono na wydziale B (niższy lęk), wydział A to porównanie. Nikt się nie zmienia:
# każda osoba ma stały poziom lęku, a pre i post różnią się tylko błędem pomiaru (rzetelność ok. .60).
set.seed(1967)
n_w <- 150
wydzial <- factor(rep(c("A (porównanie)", "B (program)"), each = n_w))
poziom <- ifelse(wydzial == "B (program)", 28, 35) + rnorm(2 * n_w, sd = 5.4)   # stały poziom lęku osoby
lord <- data.frame(wydzial,
                   pre  = poziom + rnorm(2 * n_w, sd = 4.4),
                   post = poziom + rnorm(2 * n_w, sd = 4.4))
lord$zmiana <- lord$post - lord$pre
opis_lord <- aggregate(cbind(pre, post, zmiana) ~ wydzial, data = lord, FUN = function(x) round(c(M = mean(x), SD = sd(x)), 2))
print(do.call(data.frame, opis_lord), row.names = FALSE)
round(cor(lord$pre, lord$post), 2)

# Analiza różnic wyników: brak różnicy w zmianie (zgodnie z prawdą – nikt się nie zmienił)
t.test(zmiana ~ wydzial, data = lord, var.equal = TRUE)
# ANCOVA: „istotny efekt” programu, bo nachylenie pre–post < 1 i grupy różnią się na starcie
anc_lord <- lm(post ~ pre + wydzial, data = lord)
round(summary(anc_lord)$coefficients, 3)
round(confint(anc_lord)["wydzialB (program)", ], 2)
signif(summary(anc_lord)$coefficients["wydzialB (program)", "Pr(>|t|)"], 3)

        wydzial pre.M pre.SD post.M post.SD zmiana.M zmiana.SD
 A (porównanie) 35.07   6.21  34.99    6.82    -0.08      6.13
    B (program) 28.07   6.18  28.01    6.20    -0.06      6.11
[1] 0.64

	Two Sample t-test

data:  zmiana by wydzial
t = -0.031903, df = 298, p-value = 0.9746
alternative hypothesis: true difference in means between group A (porównanie) and group B (program) is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -1.413697  1.368593
sample estimates:
mean in group A (porównanie)    mean in group B (program) 
                 -0.07802714                  -0.05547508 

                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)          15.174      1.861   8.154        0
pre                   0.565      0.051  10.973        0
wydzialB (program)   -3.021      0.731  -4.133        0
 2.5 % 97.5 % 
 -4.46  -1.58 
[1] 4.66e-05

# Symulacja mocy: RCT, 64 + 64 osoby, prawdziwy efekt −3 pkt (SD wyniku = 7, d ≈ 0.43),
# różne korelacje pre–post; 2000 powtórzeń na warunek
set.seed(2024)
moc_jednej <- function(rho, n = 64, efekt = -3, sd = 7, R = 2000) {
  g <- rep(0:1, each = n)
  wyn <- replicate(R, {
    pre  <- rnorm(2 * n, 32, sd)
    post <- 31 + rho * (pre - 32) + sqrt(1 - rho^2) * rnorm(2 * n, 0, sd) + efekt * g
    p_post   <- t.test(post[g == 1], post[g == 0], var.equal = TRUE)$p.value
    p_zmiana <- t.test((post - pre)[g == 1], (post - pre)[g == 0], var.equal = TRUE)$p.value
    p_ancova <- summary(lm(post ~ pre + g))$coefficients["g", 4]
    c(post = p_post, zmiana = p_zmiana, ancova = p_ancova) < .05
  })
  rowMeans(wyn)
}
rho <- c(0, .2, .4, .6, .8)
moc <- t(sapply(rho, moc_jednej))
moc <- data.frame(rho = rho, round(moc, 3))
moc

  rho  post zmiana ancova
1 0.0 0.647  0.378  0.649
2 0.2 0.695  0.482  0.701
3 0.4 0.677  0.598  0.750
4 0.6 0.663  0.760  0.846
5 0.8 0.669  0.967  0.983

Najczęstsze błędy

• Osobne testy t dla prób zależnych w każdej grupie. „W grupie programu spadek był istotny, a w kontrolnej nie” nie jest testem różnicy między grupami. Różnica między istotnym a nieistotnym wynikiem sama nie musi być istotna. Porównuj grupy jedną analizą.
• Interpretowanie efektu głównego grupy w ANOVA mieszanej. Uśrednia on pretest i posttest, więc w przykładzie „wykazuje” różnicę, której część istniała przed interwencją. Efektem programu jest interakcja.
• Podwójne liczenie tego samego wyniku. Interakcja czas × grupa i test t na zmianach przy dwóch pomiarach to ten sam test (F = t²).
• Wybór analizy po obejrzeniu wyników. Raportowanie tej z trzech analiz, która dała najmniejsze p, zawyża ryzyko fałszywego alarmu. Zapisz analizę główną w planie, a pozostałe pokaż jako analizy wrażliwości.
• Testowanie istotności różnic wyjściowych w RCT i dobieranie analizy do wyniku tego testu (Schulz i in., 2010).
• ANCOVA jako „wyrównanie” grup nierandomizowanych. Kowariant nie usuwa różnic, które wynikają z tego, kto trafił do której grupy (Miller i Chapman, 2001). W quasi-eksperymencie pokaż obie analizy i opisz założenia.
• Kowariant zmierzony po interwencji albo kowarianty dobierane po fakcie według tego, co „poprawia” wynik.
• Wielkość efektu bez opisu, np. samo „d = 0.53” bez informacji, czy to różnica skorygowana, czy różnica zmian, i przez jakie SD ją podzielono.
• Analiza tylko osób z kompletem pomiarów bez uzasadnienia. Przy odpadaniu z badania rozważ model mieszany (cLDA) albo imputację wielokrotną i opisz mechanizm braków (zob. braki danych MCAR, MAR i MNAR).

Najczęstsze pytania

Czy w badaniu przed i po z grupą kontrolną wystarczy porównać wyniki końcowe?

W badaniu randomizowanym takie porównanie jest nieobciążone, ale marnuje informację z pomiaru wyjściowego. ANCOVA z pretestem jako kowariantem szacuje ten sam efekt dokładniej: w przykładzie z tego wpisu błąd standardowy różnicy spadł z 1.08 do 0.86 pkt. Przy korelacji pre–post .60 oznacza to mniej więcej o jedną trzecią mniejszą potrzebną próbę.

Dlaczego ANCOVA i analiza różnic wyników dają różne wyniki?

Obie odejmują od różnicy w posttescie część różnicy wyjściowej: analiza zmian całą (zakłada nachylenie pre–post równe 1), ANCOVA tylko tyle, ile wynika z oszacowanego nachylenia. Gdy grupy różnią się na starcie, wyniki się rozchodzą. W badaniu randomizowanym różnica jest przypadkowa i obie metody są nieobciążone, ale ANCOVA ma większą moc (Van Breukelen, 2006).

Co zrobić, gdy grupy w RCT różnią się w pomiarze wyjściowym?

Nie testuj istotności tej różnicy i nie zmieniaj z jej powodu analizy. W badaniu randomizowanym nierównowaga wyjściowa jest przypadkowa, a ANCOVA z pomiarem wyjściowym ją koryguje. Analiza zmian albo interakcja czas × grupa korygują ją niepełnie (Clifton i Clifton, 2019).

Na czym polega paradoks Lorda w analizie badania przed i po?

To sytuacja opisana przez Lorda (1967), w której analiza zmian i ANCOVA zastosowane do tych samych danych z grup nierandomizowanych prowadzą do sprzecznych wniosków. ANCOVA może wtedy wykazać efekt tam, gdzie nikt się nie zmienił, bo różnicę w regresji do średniej grup o innym poziomie wyjściowym traktuje jak efekt grupy. Rozstrzygnięcie wymaga założeń o tym, jak powstały grupy, a nie innego testu.

Jak policzyć wielkość efektu w badaniu z pretestem, posttestem i grupą kontrolną?

Podaj różnicę średnich skorygowanych z ANCOVA podzieloną przez zbiorcze SD wyników po interwencji albo miarę d_ppc2: różnicę średnich zmian w obu grupach podzieloną przez zbiorcze SD pretestu (Morris, 2008). Nie dziel przez SD reszt z ANCOVA, bo zawyża to efekt. Zawsze opisz, co jest w liczniku i mianowniku.

Czy interakcja czas × grupa w ANOVA mieszanej to to samo co test na różnicach wyników?

Tak, przy dwóch pomiarach to ta sama analiza: statystyka F interakcji jest kwadratem statystyki t z testu na zmianach, a wartości p są identyczne. Nie raportuj ich jako dwóch niezależnych potwierdzeń efektu.

Powiązane hasła

Przeczytaj też

@article{clifton2019correlation, author={Clifton, Lei and Clifton, David A.}, title={{The correlation between baseline score and post-intervention score, and its implications for statistical analysis}}, journal={Trials}, year={2019}, volume={20}, number={1}, eid={43}, doi={10.1186/s13063-018-3108-3}}

@article{egbewale2014bias, author={Egbewale, Bolaji E. and Lewis, Martyn and Sim, Julius}, title={{Bias, precision and statistical power of analysis of covariance in the analysis of randomized trials with baseline imbalance: A simulation study}}, journal={BMC Medical Research Methodology}, year={2014}, volume={14}, number={1}, eid={49}, doi={10.1186/1471-2288-14-49}}

@misc{ibmndspssdokumentacja, author={{IBM}}, title={{IBM SPSS Statistics 30.0.0 documentation}}, url={https://www.ibm.com/docs/en/spss-statistics/30.0.0}}

@article{lord1967paradox, author={Lord, Frederic M.}, title={{A paradox in the interpretation of group comparisons}}, journal={Psychological Bulletin}, year={1967}, volume={68}, number={5}, pages={304--305}, doi={10.1037/h0025105}}

@article{lu2010efficiency, author={Lu, Kaifeng}, title={{On efficiency of constrained longitudinal data analysis versus longitudinal analysis of covariance}}, journal={Biometrics}, year={2010}, volume={66}, number={3}, pages={891--896}, doi={10.1111/j.1541-0420.2009.01332.x}}

@article{miller2001misunderstanding, author={Miller, Gregory A. and Chapman, Jean P.}, title={{Misunderstanding analysis of covariance}}, journal={Journal of Abnormal Psychology}, year={2001}, volume={110}, number={1}, pages={40--48}, doi={10.1037/0021-843x.110.1.40}}

@article{morris2008estimating, author={Morris, Scott B.}, title={{Estimating effect sizes from pretest-posttest-control group designs}}, journal={Organizational Research Methods}, year={2008}, volume={11}, number={2}, pages={364--386}, doi={10.1177/1094428106291059}}

@article{schulz2010consort, author={Schulz, Kenneth F. and Altman, Douglas G. and Moher, David and {CONSORT Group}}, title={{CONSORT 2010 statement: Updated guidelines for reporting parallel group randomised trials}}, journal={BMJ}, year={2010}, volume={340}, eid={c332}, doi={10.1136/bmj.c332}}

@article{senn2006change, author={Senn, Stephen}, title={{Change from baseline and analysis of covariance revisited}}, journal={Statistics in Medicine}, year={2006}, volume={25}, number={24}, pages={4334--4344}, doi={10.1002/sim.2682}}

@article{vanbreukelen2006ancova, author={Van Breukelen, Gerard J. P.}, title={{ANCOVA versus change from baseline had more power in randomized studies and more bias in nonrandomized studies}}, journal={Journal of Clinical Epidemiology}, year={2006}, volume={59}, number={9}, pages={920--925}, doi={10.1016/j.jclinepi.2006.02.007}}

@article{vickers2001analysing, author={Vickers, Andrew J. and Altman, Douglas G.}, title={{Analysing controlled trials with baseline and follow up measurements}}, journal={BMJ}, year={2001}, volume={323}, number={7321}, pages={1123--1124}, doi={10.1136/bmj.323.7321.1123}}

@article{wright2006comparing, author={Wright, Daniel B.}, title={{Comparing groups in a before–after design: When t test and ANCOVA produce different results}}, journal={British Journal of Educational Psychology}, year={2006}, volume={76}, number={3}, pages={663--675}, doi={10.1348/000709905x52210}}