Model wielopoziomowy (model mieszany) – co to jest, kiedy go stosować i jak opisać

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 15 października 2026

Co to jest model wielopoziomowy?

Model wielopoziomowy (ang. multilevel model; także hierarchiczny model liniowy, HLM, albo liniowy model mieszany, LMM) to regresja dla danych o strukturze zagnieżdżonej: uczniów w klasach, pracowników w zespołach, pacjentów u terapeutów albo kolejnych pomiarów u tych samych osób. Oprócz efektów stałych – przeciętnych zależności, takich jak współczynniki zwykłej regresji liniowej – model szacuje efekty losowe, czyli to, jak bardzo wyrazy wolne i nachylenia różnią się między grupami (klasami, zespołami, osobami).

Polskojęzyczne wprowadzenie przedstawiają Radkiewicz i Zieliński (2010): zalecają te modele, gdy naruszone jest założenie niezależności obserwacji, i omawiają efekty stałe i losowe, strukturę danych wielopoziomowych, interakcje międzypoziomowe oraz komponenty wariancji. Klasycznymi podręcznikami są prace Raudenbusha i Bryka (2002) – w drugim wydaniu rozszerzone o wyniki binarne, liczebności i dane porządkowe (zob. regresja logistyczna, regresja porządkowa, regresja Poissona) – oraz przystępny podręcznik Hoxa, Moerbeek i van de Schoota (2017) z przykładami z psychologii i edukacji.

Dlaczego nie zwykła regresja?

Uczniowie z jednej klasy są do siebie bardziej podobni niż uczniowie z różnych klas – mają tego samego nauczyciela, podobne warunki i wpływają na siebie nawzajem. Zwykła regresja traktuje jednak 800 uczniów jak 800 niezależnych informacji, przez co zaniża błędy standardowe, zwłaszcza dla zmiennych opisujących całe klasy, i zbyt często daje wyniki istotne (błąd I rodzaju). Skalę problemu opisuje efekt schematu:

gdzie n_śr to średnia liczebność grupy, a ICC – korelacja wewnątrzklasowa, czyli odsetek wariancji przypadający na różnice między grupami. Przy 20 uczniach w klasie i ICC = .22 efekt schematu wynosi 5.17: dla efektów na poziomie klas 800 uczniów niesie tyle informacji co około 155 niezależnych obserwacji.

Równania modelu: efekty stałe i losowe

Model zapisuje się na dwóch poziomach. Poziom 1 opisuje ucznia i w klasie j, poziom 2 – klasy:

• γ₀₀, γ₁₀, γ₀₁ – efekty stałe: przeciętny wyraz wolny, przeciętne nachylenie predyktora ucznia X (np. lęku) i efekt predyktora klasy Z (np. profilu klasy);
• u_0j – odchylenie wyrazu wolnego klasy j (wariancja τ₀₀), u_1j – odchylenie jej nachylenia (wariancja τ₁₁);
• e_ij – reszta na poziomie ucznia (wariancja σ²).

Model z samym u_0j to model z losowym wyrazem wolnym: klasy mają różne średnie, ale ten sam związek X z Y. Dodanie u_1j daje model z losowym nachyleniem. Jeśli do równania na β_1j wprowadzisz Z_j, otrzymasz interakcję międzypoziomową – sprawdzasz wtedy, czy cechy klasy zmieniają siłę związku na poziomie ucznia. Sondowanie takich interakcji (proste nachylenia, technika Johnsona–Neymana) działa w modelach wielopoziomowych podobnie jak w zwykłej regresji (Bauer i Curran, 2005; zob. analiza moderacji krok po kroku).

Model pusty (bez predyktorów) pozwala policzyć korelację wewnątrzklasową: ICC = τ₀₀ / (τ₀₀ + σ²).

Przykład: lęk matematyczny i wyniki testu w 40 klasach

W badaniu (dane symulowane) 800 uczniów z 40 klas (od 12 do 28 osób w klasie; 20 klas o profilu rozszerzonym i 20 o podstawowym) napisało test z matematyki (0–50 punktów) i wypełniło skalę lęku matematycznego (1–5). Analizę prowadzimy według trzyetapowej procedury, którą Sommet i Morselli (2017) zaproponowali dla wielopoziomowej regresji logistycznej, a którą łatwo przenieść na model liniowy.

Krok 1. Model pusty i ICC. Wariancja między klasami wyniosła τ₀₀ = 12.35, a wariancja w obrębie klas σ² = 43.88, więc ICC = 12.35 / (12.35 + 43.88) = .22. Prawie jedna czwarta zróżnicowania wyników to różnice między klasami – zwykła regresja byłaby tu błędem.

Krok 2. Czy nachylenie różni się między klasami? Do modelu z losowym wyrazem wolnym, lękiem (wyśrodkowanym względem średniej ogólnej, M = 2.82) i profilem klasy dodaliśmy losowe nachylenie lęku. Test ilorazu wiarygodności wskazał, że to poprawia dopasowanie, χ²(2) = 12.99, p = .002. Odchylenie standardowe nachyleń wynosi 1.70, więc w 95% klas nachylenie mieściłoby się mniej więcej między −6.49 a 0.18 punktu na 1 punkt lęku – w części klas związek jest bardzo silny, w innych prawie zerowy. W modelu bez losowego nachylenia błąd standardowy efektu lęku był zaniżony (0.28 zamiast 0.39).

Krok 3. Model końcowy. Wyższy lęk wiązał się z niższym wynikiem: b = −3.15, 95% CI [−3.92, −2.39], t(41.40) = −8.06, p < .001 – w przeciętnej klasie każdy dodatkowy punkt lęku to ok. 3 punkty testu mniej. Uczniowie klas rozszerzonych uzyskiwali średnio o 3.27 punktu więcej, 95% CI [1.13, 5.40], t(37.65) = 2.99, p = .005. Efekty stałe wyjaśniają 16% wariancji (R²_m = .16), a razem z efektami losowymi – 37% (R²_c = .37). Profil klasy nie był przydzielany losowo, więc ten efekt opisuje związek, a nie wpływ przyczynowy.

Dla porównania naiwna regresja MNK oszacowała efekt profilu na 2.95 z błędem standardowym 0.49 – ponad dwukrotnie mniejszym niż w modelu wielopoziomowym (1.09). Stosunek 2.24 jest bliski pierwiastkowi z efektu schematu (√5.17 = 2.27).

Rysunek 2 pokazuje ważną cechę efektów losowych – ściąganie do średniej (ang. shrinkage). Dla klasy K21, liczącej 12 uczniów, surowa średnia była o 8.29 punktu wyższa od średniej ogólnej, a oszacowany efekt losowy wynosi 6.40: model łączy informację z danej klasy z informacją o wszystkich klasach. Przedziały 17 z 40 klas nie obejmują zera.

Estymacja, centrowanie i liczba grup

• REML czy ML? Funkcja lmer() z pakietu lme4 dopasowuje modele mieszane metodą największej wiarygodności (ML) lub REML, a efekty stałe i losowe definiuje się w formule modelu (Bates i in., 2015). REML lepiej szacuje wariancje; modele różniące się efektami stałymi porównuj testem ilorazu wiarygodności na modelach ML (w przykładzie dla profilu χ²(1) = 8.39, p = .004). Pakiet lmerTest dodaje testy t i F ze stopniami swobody Satterthwaite’a.
• Centrowanie. Centrowanie względem średniej ogólnej (jak w przykładzie) ułatwia interpretację wyrazu wolnego. Centrowanie względem średniej klasy, uzupełnione o średnią klasową jako predyktor poziomu 2, pozwala oddzielić efekt wewnątrz- i międzyklasowy.
• Liczba grup. Precyzja efektów poziomu 2 i wariancji τ zależy przede wszystkim od liczby klas, a nie od liczby uczniów. Przy kilku grupach (np. trzech szkołach) wariancji między nimi nie da się sensownie oszacować.

Jak opisać wynik (APA)

Podaj strukturę danych, ICC z modelu pustego, sposób estymacji, efekty stałe z 95% CI i komponenty wariancji. Przykładowy opis:

library(lmerTest)                     # lme4 + testy t i F z poprawką Satterthwaite'a
options(show.signif.stars = FALSE)
set.seed(127)
J <- 40                                                        # liczba klas
n_j <- sample(12:28, J, replace = TRUE)                        # liczebności klas
klasa <- factor(rep(sprintf("K%02d", 1:J), n_j))
profil <- rep(rep(0:1, each = J / 2), n_j)                     # 0 = podstawowy, 1 = rozszerzony
u0 <- rnorm(J, 0, 3); u1 <- rnorm(J, 0, 1.1)                   # odchylenia klas: wyraz wolny i nachylenie
lek <- round(pmin(pmax(rnorm(sum(n_j), 2.8, 0.8), 1), 5), 1)   # lęk matematyczny 1–5
j <- as.integer(klasa)
wynik <- round(30 + 4 * profil - 3 * (lek - 2.8) + u0[j] + u1[j] * (lek - 2.8) + rnorm(sum(n_j), 0, 6))
dane <- data.frame(klasa, profil = factor(profil, labels = c("podstawowy", "rozszerzony")),
                   lek, wynik = pmin(pmax(wynik, 0), 50))
dane$lek_c <- dane$lek - mean(dane$lek)                        # centrowanie względem średniej ogólnej

m0 <- lmer(wynik ~ 1 + (1 | klasa), data = dane)               # krok 1: model pusty
performance::icc(m0)
m1 <- lmer(wynik ~ lek_c + profil + (1 | klasa), data = dane)            # krok 2: losowy wyraz wolny
m2 <- lmer(wynik ~ lek_c + profil + (1 + lek_c | klasa), data = dane)    # + losowe nachylenie
anova(m1, m2, refit = FALSE)                                   # czy nachylenie różni się między klasami?
summary(m2)                                                    # krok 3: model końcowy
confint(m2, parm = "beta_", method = "Wald")                   # 95% CI efektów stałych

# Intraclass Correlation Coefficient

    Adjusted ICC: 0.220
  Unadjusted ICC: 0.220
Data: dane
Models:
m1: wynik ~ lek_c + profil + (1 | klasa)
m2: wynik ~ lek_c + profil + (1 + lek_c | klasa)
   npar    AIC    BIC  logLik -2*log(L)  Chisq Df Pr(>Chisq)
m1    5 5258.2 5281.6 -2624.1    5248.2
m2    7 5249.2 5282.0 -2617.6    5235.2 12.989  2   0.001512
Linear mixed model fit by REML. t-tests use Satterthwaite's method [
lmerModLmerTest]
Formula: wynik ~ lek_c + profil + (1 + lek_c | klasa)
   Data: dane

REML criterion at convergence: 5235.2

Scaled residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max
-3.0709 -0.6295  0.0107  0.6510  2.9254

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev. Corr
 klasa    (Intercept)  9.922   3.150
          lek_c        2.896   1.702    0.03
 Residual             36.163   6.014
Number of obs: 800, groups:  klasa, 40

Fixed effects:
                  Estimate Std. Error      df t value Pr(>|t|)
(Intercept)        30.9734     0.7700 37.3433  40.226  < 2e-16
lek_c              -3.1532     0.3914 41.3977  -8.056 5.18e-10
profilrozszerzony   3.2653     1.0909 37.6535   2.993  0.00485

Correlation of Fixed Effects:
            (Intr) lek_c
lek_c        0.011
prflrzszrzn -0.706  0.009
                      2.5 %    97.5 %
(Intercept)       29.464287 32.482587
lek_c             -3.920278 -2.386057
profilrozszerzony  1.127240  5.403417

Najczęstsze błędy

• Ignorowanie zagnieżdżenia – zwykła regresja lub ANOVA na danych z klas, zespołów czy powtarzanych pomiarów zaniża błędy standardowe (w przykładzie ponad dwukrotnie dla efektu profilu).
• Brak ICC i komponentów wariancji w raporcie – czytelnik nie wie, jak silne jest zagnieżdżenie i jak bardzo różnią się grupy.
• Pominięcie losowego nachylenia, które naprawdę występuje – błąd standardowy efektu poziomu 1 jest wtedy zaniżony (tu 0.28 zamiast 0.39).
• Porównywanie modeli o różnych efektach stałych na podstawie REML – do takich testów ilorazu wiarygodności użyj estymacji ML.
• Zbyt mało grup – z trzech szkół nie oszacujesz wariancji między szkołami; potraktuj je wtedy jako czynnik stały.
• Przeładowana struktura efektów losowych – komunikat boundary (singular) fit w lme4 sygnalizuje, że części wariancji nie da się oszacować; uprość model.

Ten sam model opisuje też pomiary zagnieżdżone w osobach – to elastyczna alternatywa dla ANOVA z powtarzanymi pomiarami, która radzi sobie z brakami danych i nierównymi odstępami między pomiarami (zob. schemat podłużny).

Najczęstsze pytania

Kiedy stosować model wielopoziomowy?

Gdy obserwacje są zagnieżdżone w grupach i przez to nie są niezależne: uczniowie w klasach, pracownicy w zespołach, pacjenci u terapeutów, kolejne pomiary u tych samych osób. Jeśli ICC jest wyraźnie większe od zera, zwykła regresja zaniży błędy standardowe.

Czym różnią się efekty stałe od losowych?

Efekty stałe to przeciętne zależności w całej populacji, interpretowane jak współczynniki regresji. Efekty losowe opisują, jak bardzo grupy odchylają się od tych przeciętnych – np. wariancja wyrazów wolnych klas (różne średnie) i wariancja nachyleń (różna siła związku w klasach).

Jak obliczyć ICC w modelu wielopoziomowym?

Dopasuj model pusty, bez predyktorów, z losowym wyrazem wolnym. ICC = τ₀₀ / (τ₀₀ + σ²), gdzie τ₀₀ to wariancja między grupami, a σ² – wariancja w grupach. W przykładzie na tej stronie ICC = 12.35 / (12.35 + 43.88) = .22. W R policzysz je funkcją performance::icc().

Ile grup potrzeba do modelu wielopoziomowego?

Precyzja wariancji między grupami i efektów poziomu grupy zależy głównie od liczby grup, a nie od liczby osób. Przy kilku grupach (np. trzech szkołach) wariancji między nimi nie da się sensownie oszacować – lepiej wtedy włączyć grupę do modelu jako czynnik stały.

Model wielopoziomowy czy ANOVA z powtarzanymi pomiarami?

Dla pomiarów zagnieżdżonych w osobach oba podejścia dają przy kompletnych danych podobne testy, ale model wielopoziomowy nie usuwa osób z brakami danych, radzi sobie z nierównymi odstępami między pomiarami i pozwala modelować indywidualne trajektorie (losowe nachylenia).

Jak zrobić model wielopoziomowy w R?

Użyj funkcji lmer() z pakietu lme4, np. lmer(wynik ~ lek + profil + (1 + lek | klasa), data = dane), gdzie część w nawiasie określa efekty losowe. Pakiet lmerTest dodaje wartości p ze stopniami swobody Satterthwaite’a, a anova(m1, m2, refit = FALSE) porównuje modele o różnych efektach losowych.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{bates2015fitting, author={Bates, Douglas and Mächler, Martin and Bolker, Ben and Walker, Steve}, title={{Fitting linear mixed-effects models using lme4}}, journal={Journal of Statistical Software}, year={2015}, volume={67}, number={1}, pages={1--48}, doi={10.18637/jss.v067.i01}}

@article{bauer2005probing, author={Bauer, Daniel J. and Curran, Patrick J.}, title={{Probing interactions in fixed and multilevel regression: Inferential and graphical techniques}}, journal={Multivariate Behavioral Research}, year={2005}, volume={40}, number={3}, pages={373--400}, doi={10.1207/s15327906mbr4003_5}}

@book{hox2017multilevel, author={Hox, Joop J. and Moerbeek, Mirjam and van de Schoot, Rens}, title={{Multilevel analysis: Techniques and applications (3rd ed.)}}, year={2017}, publisher={Routledge}, doi={10.4324/9781315650982}}

@article{radkiewicz2010hierarchiczne, author={Radkiewicz, Piotr and Zieliński, Marcin W.}, title={{Hierarchiczne modele liniowe. Co nam dają i kiedy warto je stosować}}, journal={Psychologia Społeczna}, year={2010}, volume={5}, number={2–3}, pages={217--233}, url={https://www.ceeol.com/search/article-detail?id=229295}}

@book{raudenbush2002hierarchical, author={Raudenbush, Stephen W. and Bryk, Anthony S.}, title={{Hierarchical linear models: Applications and data analysis methods (2nd ed.)}}, year={2002}, publisher={Sage}}

@article{sommet2017keep, author={Sommet, Nicolas and Morselli, Davide}, title={{Keep calm and learn multilevel logistic modeling: A simplified three-step procedure using Stata, R, Mplus, and SPSS}}, journal={International Review of Social Psychology}, year={2017}, volume={30}, number={1}, pages={203--218}, doi={10.5334/irsp.90}}