ANCOVA (analiza kowariancji) – co to jest, założenia i średnie skorygowane

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 15 października 2026

Co to jest ANCOVA?

ANCOVA (ang. analysis of covariance, analiza kowariancji) to analiza wariancji, w której średnie grup porównuje się po statystycznym uwzględnieniu zmiennej ilościowej zmierzonej przed badaniem – kowariantu, nazywanego też zmienną towarzyszącą. W praktyce to połączenie analizy wariancji (ANOVA) i regresji liniowej: model zawiera czynnik grupujący (zmienną niezależną) oraz kowariant, a zmienną zależną jest wynik końcowy.

Typowe zastosowanie w psychologii to badanie z pomiarem przed interwencją i po niej: porównujesz poziom lęku po terapii w kilku grupach, a jako kowariant wprowadzasz lęk zmierzony przed terapią. ANCOVA pełni wtedy dwie funkcje:

• zwiększa precyzję – zmienność wyniku końcowego, którą wyjaśnia pomiar wyjściowy, zostaje usunięta z wariancji błędu, więc test efektu grupy ma większą moc;
• koryguje przypadkowe różnice wyjściowe – nawet przy losowym przydziale grupy rzadko startują z identycznego poziomu, a ANCOVA porównuje je tak, jakby wszystkie miały ten sam wynik w pre-teście.

Kowariant to szczególny rodzaj zmiennej kontrolnej. Ważne zastrzeżenie: ANCOVA nie zamienia badania korelacyjnego w eksperyment. Najlepiej działa w eksperymencie z losowym przydziałem do grup; przy porównywaniu grup naturalnych łatwo o błędne wnioski (zob. ANCOVA w grupach nierandomizowanych).

Model ANCOVA i średnie skorygowane

Jednoczynnikową ANCOVA z jednym kowariantem zapisuje się jako:

• Y_ij – wynik końcowy osoby i w grupie j, a X_ij – jej wynik w kowariancie (np. w pre-teście);
• μ – średnia ogólna, α_j – efekt grupy j, ε_ij – błąd;
• β (w próbie b) – wspólne dla wszystkich grup nachylenie regresji wyniku końcowego na kowariant;
• M_X – średnia kowariantu w całej próbie.

Z modelu wynika średnia skorygowana (ang. adjusted mean, w SPSS „szacowana średnia brzegowa”) – wynik, jakiego model oczekuje w grupie j przy średnim poziomie kowariantu:

Jeśli grupa zaczynała powyżej średniej (M_X,j > M_X), jej średnia zostaje obniżona; jeśli poniżej – podwyższona. Geometrycznie ANCOVA dopasowuje w każdej grupie linię regresji o tym samym nachyleniu, a efekt grupy to pionowe odległości między tymi równoległymi liniami (rysunek 1).

Zysk na precyzji łatwo oszacować: wariancja błędu w ANCOVA wynosi w przybliżeniu tyle co w ANOVA pomnożone przez (1 − r²), gdzie r to korelacja kowariantu z wynikiem wewnątrz grup. Przy r = .70 wariancja błędu spada mniej więcej o połowę.

Założenia ANCOVA

1. Liniowy związek kowariantu z wynikiem w każdej grupie – sprawdź go na wykresie rozrzutu.
2. Jednorodność nachyleń regresji – linie mają to samo nachylenie we wszystkich grupach. Sprawdzisz to, dodając do modelu interakcję kowariant × grupa. Istotna interakcja oznacza, że efekt grupy zależy od poziomu kowariantu – to moderacja, którą trzeba opisać, a nie „wyrównywać”.
3. Kowariant niezależny od interwencji – zmierzony przed nią, tak by sama interwencja nie mogła go zmienić.
4. Rzetelny pomiar kowariantu – w badaniu randomizowanym błąd pomiaru zmniejsza tylko zysk na mocy, ale przy grupach nierandomizowanych prowadzi do niepełnej korekty.
5. Założenia dotyczące reszt, jak w ANOVA: normalność rozkładu (np. test Shapiro-Wilka), homogeniczność wariancji (np. test Levene’a) i niezależność obserwacji.

Przykład: lęk po terapii w trzech grupach

W badaniu (dane symulowane) 90 osób z podwyższonym lękiem przydzielono losowo do trzech grup po 30 osób: terapii poznawczo-behawioralnej (CBT), treningu relaksacyjnego i grupy kontrolnej (lista oczekujących). Lęk mierzono skalą 0–80 przed rozpoczęciem i po 8 tygodniach. Mimo losowania grupa kontrolna zaczynała z poziomu lęku niższego o około 2 punkty.

Krok 1. Jednorodność nachyleń. Interakcja pre-test × grupa była nieistotna, F(2, 84) = 0.41, p = .663 (nachylenia w grupach: 0.92, 0.86 i 0.76), więc wspólne nachylenie jest uzasadnione. Reszty modelu nie odbiegały istotnie od rozkładu normalnego (W = 0.99, p = .610), a ich wariancje w grupach były zbliżone, F(2, 87) = 1.61, p = .205.

Krok 2. ANCOVA. Lęk wyjściowy silnie przewidywał lęk po 8 tygodniach, F(1, 86) = 126.57, p < .001, b = 0.84. Po jego uwzględnieniu efekt grupy był istotny, F(2, 86) = 12.11, p < .001, η²_p = .22, 95% CI [.08, .36]. Dla porównania zwykła ANOVA na samych wynikach końcowych dała F(2, 87) = 2.91, p = .060, η² = .06. Różnica bierze się z wariancji błędu: kowariant zmniejszył ją z 82.92 do 33.94, czyli o 59.1%.

Krok 3. Średnie skorygowane i porównania. Dla grupy kontrolnej średnia skorygowana wynosi 46.63 − 0.84 × (50.60 − 51.93) = 47.75: grupa zaczynała niżej, więc jej średnia rośnie. Średnie grup CBT i relaksacji nieco maleją. Porównania parami z korektą Holma (zob. porównania wielokrotne) wykazały niższy lęk po CBT niż w grupie kontrolnej (różnica = −7.23, SE = 1.51, p < .001, 95% CI [−10.23, −4.22]) oraz po relaksacji niż w grupie kontrolnej (różnica = −5.16, p = .002). Grupy CBT i relaksacji nie różniły się istotnie (różnica = −2.07, p = .173).

ANCOVA, analiza zmian czy sam post-test?

W badaniu z pomiarem przed interwencją i po niej efekt można oszacować na trzy sposoby: porównać same wyniki końcowe, porównać wskaźniki zmiany (post − pre) albo wykonać ANCOVA. Vickers i Altman (2001) wskazują, że to, które z dwóch prostszych podejść daje większą moc, zależy od korelacji między pomiarem wyjściowym a końcowym. ANCOVA nie wymaga tego wyboru, bo wagę pre-testu (nachylenie b) szacuje z danych. Analiza zmian zakłada natomiast, że to nachylenie wynosi 1.

Wszystkie trzy analizy wskazują na niższy lęk po CBT, ale przedział ufności dla samych wyników końcowych jest o ponad połowę szerszy niż w ANCOVA, a jego oszacowanie jest zaniżone przez niższy start grupy kontrolnej. Badania metodologiczne potwierdzają tę przewagę: w badaniach randomizowanych zarówno ANCOVA, jak i analiza zmian są nieobciążone, ale ANCOVA ma większą moc (Van Breukelen, 2006), a przy nierównowadze wyjściowej daje nieobciążone i bardziej precyzyjne oszacowania niż obie prostsze metody (Egbewale i in., 2014). W badaniu randomizowanym z pre-testem domyślnym wyborem jest ANCOVA – zaplanowana przed zebraniem danych.

ANCOVA w grupach nierandomizowanych

Częsty błąd to używanie ANCOVA do „wyrównania” grup, które naprawdę różnią się kowariantem – na przykład porównywanie pamięci u osób z depresją i bez niej „z kontrolą lęku”. Miller i Chapman (2001) wyjaśniają, że takie użycie ANCOVA, częste zwłaszcza w badaniach psychopatologii, zwykle nie pozwala osiągnąć zamierzonego celu, i omawiają rozwiązania alternatywne. Jeśli lęk jest częścią obrazu depresji, usunięcie związanej z nim wariancji usuwa też część tego, co różni grupy. Wynik opisuje wtedy hipotetyczne grupy o jednakowym lęku, których w populacji nie ma.

Drugi problem opisuje Van Breukelen (2006): gdy grupy bez losowego przydziału różnią się na starcie, ANCOVA i analiza zmian mogą prowadzić do sprzecznych wniosków, bo ANCOVA zakłada brak różnic wyjściowych (tzw. paradoks Lorda). W schemacie quasi-eksperymentalnym nie traktuj więc wyniku ANCOVA jako dowodu przyczynowego i opisz możliwe zmienne zakłócające. Plany takich badań i zagrożenia dla wnioskowania omawia klasyczny podręcznik Shadisha, Cooka i Campbella (2002).

Jak opisać wynik ANCOVA w pracy (APA)

Podaj test jednorodności nachyleń, efekt kowariantu, efekt grupy z η²_p oraz średnie skorygowane z przedziałami ufności. Przykładowy opis wyniku z naszego badania:

Wyniki możesz też zestawić w tabeli – w układzie znanym z tabeli ANOVA w APA:

Pamiętaj, że η²_p z ANCOVA odnosi się do wariancji pomniejszonej o wpływ kowariantu, więc jest większe niż η² z ANOVA dla tych samych danych (.22 wobec .06). Więcej gotowych zdań znajdziesz w poradniku jak opisać wyniki w stylu APA.

library(car); library(emmeans); library(effectsize)
set.seed(194)
n <- 30
grupa <- factor(rep(c("CBT", "Relaksacja", "Kontrolna"), each = n),
                levels = c("CBT", "Relaksacja", "Kontrolna"))
pre  <- round(rnorm(3 * n, mean = 52, sd = 8))                # lęk przed terapią (0–80)
efekt <- c(CBT = -5, Relaksacja = -2.5, Kontrolna = 0)[as.character(grupa)]
post <- round(10 + 0.7 * pre + efekt + rnorm(3 * n, 0, 6))    # lęk po 8 tygodniach
dane <- data.frame(grupa, pre, post)

# 1. Jednorodność nachyleń: czy interakcja pre × grupa jest istotna?
anova(lm(post ~ pre * grupa, data = dane))

# 2. ANCOVA: post-test w grupach z kontrolą pre-testu
model <- lm(post ~ pre + grupa, data = dane)
Anova(model, type = 2)          # w modelu bez interakcji typ II = typ III (SPSS)
eta_squared(Anova(model, type = 2), partial = TRUE, alternative = "two.sided")

# 3. Średnie skorygowane (dla pre = 51.93) i porównania parami z korektą Holma
emm <- emmeans(model, ~ grupa)
emm
pairs(emm, adjust = "holm")

Analysis of Variance Table

Response: post
          Df Sum Sq Mean Sq  F value    Pr(>F)
pre        1 3956.6  3956.6 114.9910 < 2.2e-16 ***
grupa      2  821.8   410.9  11.9424 2.725e-05 ***
pre:grupa  2   28.4    14.2   0.4128    0.6631
Residuals 84 2890.3    34.4
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Anova Table (Type II tests)

Response: post
          Sum Sq Df F value    Pr(>F)
pre       4295.6  1 126.572 < 2.2e-16 ***
grupa      821.8  2  12.108 2.328e-05 ***
Residuals 2918.7 86
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
# Effect Size for ANOVA (Type II)

Parameter | Eta2 (partial) |       95% CI
-----------------------------------------
pre       |           0.60 | [0.47, 0.69]
grupa     |           0.22 | [0.08, 0.36]
 grupa      emmean   SE df lower.CL upper.CL
 CBT          40.5 1.06 86     38.4     42.6
 Relaksacja   42.6 1.07 86     40.5     44.7
 Kontrolna    47.8 1.07 86     45.6     49.9

Confidence level used: 0.95
 contrast               estimate   SE df t.ratio p.value
 CBT - Relaksacja          -2.07 1.50 86  -1.373  0.1733
 CBT - Kontrolna           -7.23 1.51 86  -4.783 <0.0001
 Relaksacja - Kontrolna    -5.16 1.51 86  -3.413  0.0020

P value adjustment: holm method for 3 tests 

Najczęstsze błędy

• Kowariant zmierzony po interwencji – jeśli interwencja mogła go zmienić, ANCOVA usuwa część efektu, który chcesz zbadać.
• „Wyrównywanie” grup naturalnych – ANCOVA nie usuwa różnic między grupami, które istnieją w populacji (Miller i Chapman, 2001).
• Pominięcie testu jednorodności nachyleń – przy istotnej interakcji kowariant × grupa różnica między grupami zależy od poziomu kowariantu; opisz wtedy interakcję zamiast jednej średniej skorygowanej.
• Dobieranie kowariantów po obejrzeniu wyników – sprawdzanie kolejnych zestawów kowariantów, aż wynik stanie się istotny, to p-hacking. Kowariant wpisz do planu analiz przed zebraniem danych (prerejestracja).
• Raportowanie średnich surowych jako wyniku ANCOVA – test F dotyczy średnich skorygowanych; podaj je z 95% CI i nazwij wprost.
• Porównywanie η²_p między analizami z różnymi kowariantami – cząstkowe miary efektu zależą od cech schematu badania i od innych zmiennych w modelu, przez co mogą wprowadzać w błąd (Olejnik i Algina, 2003).

Pełną ścieżkę analizy – od jednoczynnikowej ANOVA po porównania post hoc – opisuje poradnik ANOVA krok po kroku.

Najczęstsze pytania

Co to jest ANCOVA?

ANCOVA (analiza kowariancji) to analiza wariancji z dodatkową zmienną ilościową – kowariantem, np. wynikiem pre-testu. Porównuje średnie grup skorygowane o różnice w kowariancie i zmniejsza wariancję błędu, dzięki czemu test efektu grupy ma większą moc.

Czym różni się ANCOVA od ANOVA?

ANOVA porównuje surowe średnie grup. ANCOVA dodaje do modelu kowariant i porównuje średnie skorygowane, czyli oczekiwane wyniki grup przy tym samym poziomie kowariantu. W przykładzie na tej stronie ANOVA wyników końcowych dała p = .060, a ANCOVA z lękiem wyjściowym p < .001, bo kowariant zmniejszył wariancję błędu o 59.1%.

Jakie są założenia ANCOVA?

Liniowy związek kowariantu z wynikiem w każdej grupie, jednorodność nachyleń regresji (nieistotna interakcja kowariant × grupa), pomiar kowariantu przed interwencją i jego niezależność od niej, rzetelny pomiar kowariantu oraz założenia ANOVA dla reszt: normalność, równość wariancji i niezależność obserwacji.

Co to są średnie skorygowane w ANCOVA?

To średnie grup przewidywane przez model przy średnim poziomie kowariantu w całej próbie. Liczy się je ze wzoru M′ = M_Y − b × (M_{X, grupy} − M_X): grupa, która zaczynała powyżej średniej, ma średnią obniżoną, a grupa, która zaczynała poniżej – podwyższoną. W R podaje je funkcja emmeans(), w SPSS – szacowane średnie brzegowe.

ANCOVA czy ANOVA mieszana w badaniu pre-test–post-test?

Przy dwóch pomiarach interakcja grupa × czas w mieszanej ANOVA daje ten sam test co ANOVA wskaźników zmiany (post − pre). W badaniach randomizowanych ANCOVA z pre-testem jako kowariantem ma zwykle większą moc (Van Breukelen, 2006). Przy grupach nierandomizowanych oba podejścia mogą dać sprzeczne wnioski, dlatego opisz ograniczenia schematu.

Jak zrobić ANCOVA w SPSS?

Wybierz Analiza → Ogólny model liniowy → Jednej zmiennej. Wynik końcowy wstaw jako zmienną zależną, grupę jako czynnik stały, a pre-test jako współzmienną. Średnie skorygowane i porównania parami z korektą uzyskasz w opcjach średnich brzegowych (EM Means). Jednorodność nachyleń sprawdzisz w oknie Model, budując model niestandardowy z interakcją grupa × współzmienna.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{egbewale2014bias, author={Egbewale, Bolaji E. and Lewis, Martyn and Sim, Julius}, title={{Bias, precision and statistical power of analysis of covariance in the analysis of randomized trials with baseline imbalance: A simulation study}}, journal={BMC Medical Research Methodology}, year={2014}, volume={14}, number={1}, eid={49}, doi={10.1186/1471-2288-14-49}}

@article{miller2001misunderstanding, author={Miller, Gregory A. and Chapman, Jean P.}, title={{Misunderstanding analysis of covariance}}, journal={Journal of Abnormal Psychology}, year={2001}, volume={110}, number={1}, pages={40--48}, doi={10.1037/0021-843x.110.1.40}}

@article{olejnik2003generalized, author={Olejnik, Stephen and Algina, James}, title={{Generalized eta and omega squared statistics: Measures of effect size for some common research designs}}, journal={Psychological Methods}, year={2003}, volume={8}, number={4}, pages={434--447}, doi={10.1037/1082-989x.8.4.434}}

@book{shadish2002experimental, author={Shadish, William R. and Cook, Thomas D. and Campbell, Donald T.}, title={{Experimental and quasi-experimental designs for generalized causal inference}}, year={2002}, publisher={Houghton Mifflin}}

@article{vanbreukelen2006ancova, author={Van Breukelen, Gerard J. P.}, title={{ANCOVA versus change from baseline had more power in randomized studies and more bias in nonrandomized studies}}, journal={Journal of Clinical Epidemiology}, year={2006}, volume={59}, number={9}, pages={920--925}, doi={10.1016/j.jclinepi.2006.02.007}}

@article{vickers2001analysing, author={Vickers, Andrew J. and Altman, Douglas G.}, title={{Analysing controlled trials with baseline and follow up measurements}}, journal={BMJ}, year={2001}, volume={323}, number={7321}, pages={1123--1124}, doi={10.1136/bmj.323.7321.1123}}