Tablice rozkładów t, chi-kwadrat, F i z – wartości krytyczne

Autor: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 2 listopada 2026

Wartość krytyczna i wartość p dla dowolnych df

Obliczenia wykonuje Twoja przeglądarka. Wpisane liczby nie są nigdzie wysyłane ani zapisywane. Jeśli masz gotowy wynik testu i chcesz tylko policzyć jego p z zapisem APA (także dla korelacji r), użyj kalkulatora wartości p – ta strona służy do odczytu wartości krytycznych i obszaru odrzucenia.

Jak czytać tablice i kalkulator

Wartość krytyczna to próg statystyki testowej, za którym zaczyna się obszar odrzucenia hipotezy zerowej. Żeby ją odczytać, potrzebujesz trzech informacji:

1. Rozkład statystyki. z dla testów opartych na rozkładzie normalnym, t dla testu t i współczynników regresji, χ² dla testu chi-kwadrat, F dla ANOVA i testu całego modelu regresji.
2. Stopnie swobody. W teście t dla dwóch grup niezależnych df = n₁ + n₂ − 2, w teście χ² niezależności df = (r − 1)(c − 1), w jednoczynnikowej ANOVA df1 = k − 1 i df2 = N − k. Rozkład z nie ma stopni swobody.
3. Poziom α i kierunek testu. W tablicy t każda kolumna ma dwa opisy: α jednostronne (pole jednego ogona) i dwukrotnie większe α dwustronne. Dla testu dwustronnego przy α = .05 szukasz kolumny „.025 / .05”. Kiedy wolno wybrać test jednostronny, wyjaśnia hasło test jednostronny i dwustronny.

Tablice χ² i F podają prawy ogon, bo testy niezależności, zgodności i ANOVA odrzucają H0 tylko przy dużych wartościach statystyki. Wszystkie liczby na tej stronie policzono w R 4.5.3 funkcjami qt, qchisq, qf, qnorm i pnorm i zaokrąglono do trzech miejsc po kropce. Na telefonie przesuwaj szerokie tabele w poziomie.

W kalkulatorze wpisz dowolne df – także ułamkowe, np. z testu Welcha – i dowolne α, np. .005 albo .0001. Dla rozkładu t możesz wpisać df = ∞, a dla F df2 = ∞. Pomarańczowe pole na wykresie to obszar odrzucenia, a jego łączne pole wynosi α. Zielona linia pokazuje wpisaną statystykę.

Tablica rozkładu t Studenta

Wiersze to stopnie swobody, kolumny – poziom α. Liczba w komórce to wartość t, powyżej której leży pole α jednostronnego, czyli kwantyl rzędu 1 − α. W teście dwustronnym obszar odrzucenia ma dwie części: |t| ≥ wartość z tablicy. Lewy ogon odczytasz ze znakiem minus, bo rozkład t Studenta jest symetryczny. Rozkład opisał Student (1908); wiersz ∞ to rozkład normalny.

Przy df = 1 dwustronna wartość krytyczna dla α = .05 to aż 12.706, przy df = 10 – 2.228, przy df = 30 – 2.042, a przy df = ∞ – 1.960. Im mniejsza próba, tym grubsze ogony rozkładu t i tym dalej leży próg.

Tablica rozkładu chi-kwadrat

Liczby w tablicy rozkładu chi-kwadrat to wartości χ², powyżej których leży pole α (prawy ogon). Kryterium χ² do oceny odchyleń liczebności obserwowanych od oczekiwanych zaproponował Pearson (1900). Tę samą tablicę wykorzystasz w teście zgodności, w teście niezależności i w porównaniu modeli ilorazem wiarygodności.

Dla df = 1 i α = .05 wartość krytyczna wynosi 3.841, czyli 1.960². To nie przypadek: kwadrat zmiennej o rozkładzie normalnym standaryzowanym ma rozkład χ² z jednym stopniem swobody.

Tablica rozkładu F

Rozkład F ma dwa parametry: df1 (licznik, efekt) i df2 (mianownik, reszta). W tablicy kolumny to df1, a wiersze – df2. Liczba w komórce to wartość F, powyżej której leży pole α. W ANOVA z trzema grupami i 39 osobami szukasz kolumny df1 = 2 i wiersza df2 = 36 – a gdy go nie ma, przeczytaj sekcję gdy df nie ma w tablicy.

Wartości krytyczne F dla α = .05

Wartości krytyczne F dla α = .01

Tablice obejmują df1 do 20. Dla innych kombinacji, np. df1 = 24 albo df2 = 250, użyj kalkulatora – liczy wartość krytyczną dla dowolnych stopni swobody.

Tablica rozkładu normalnego z

Wartości krytyczne z

Wartości krytyczne rozkładu normalnego standaryzowanego nie zależą od liczebności próby. Test jednostronny umieszcza całe α w jednym ogonie, dwustronny dzieli je na pół.

Krótka tablica dystrybuanty Φ(z)

Φ(z) to pole pod krzywą na lewo od z. Dla ujemnych wartości skorzystaj z symetrii: Φ(−z) = 1 − Φ(z). Dwie ostatnie kolumny to wartości p dla statystyki z w teście jedno- i dwustronnym; wartości poniżej .001 zapisano jako „< .001”, zgodnie z konwencją APA.

Pełną tablicę dystrybuanty, z drugim miejscem po przecinku w kolumnach i czterema miejscami w komórkach, możesz pobrać jako plik Excela: tablica-rozkladu-normalnego.xlsx. Jak z pola pod krzywą powstaje wartość p, pokazuje wpis p value krok po kroku.

Wzory i związki między rozkładami

Wartość krytyczna jest kwantylem rozkładu statystyki przy prawdziwej H0. Dla testu dwustronnego t i prawego ogona χ² oraz F:

Odrzucasz H0, gdy statystyka wpada w obszar odrzucenia. To ta sama decyzja co p < α, bo p jest polem ogona od uzyskanej statystyki. Takie ujęcie testu, z ryzykiem błędu I rodzaju ustalonym z góry, wywodzi się z pracy Neymana i Pearsona (1933).

Rozkłady w tablicach są ze sobą powiązane. Te związki pozwalają sprawdzić tablicę albo zastąpić jedną drugą:

Przykłady z tablic: 2.064² = 4.260, czyli wartość F(1, 24) dla α = .05; χ²(5) = 11.070 podzielone przez 5 daje 2.214, czyli F(5, ∞). Dla kwadratów obowiązuje to przy teście dwustronnym t i z, bo kwadrat „zbiera” oba ogony do jednego.

Kalkulator liczy pola pod krzywymi z regularyzowanej niekompletnej funkcji gamma (rozkłady normalny i χ²) oraz beta (t i F). Ułamki łańcuchowe wyznacza zmodyfikowaną metodą Lentza (Lentz, 1976), a kwantyle – bisekcją. Na 67 przypadkach testowych (m.in. df = 1, df = 1 000 000, df = ∞, α = 10⁻¹²) różnica względem funkcji R nie przekroczyła 10⁻¹⁰ w skali wyniku, a wszystkie 1 473 wartości z tablic na tej stronie kalkulator odtwarza co do trzeciego miejsca.

Przykład: odczyt z tablic krok po kroku

Domyślne wartości kalkulatora to cztery wyniki, jakie student może mieć w pracy. Tak wygląda odczyt z tablic i porównanie z dokładnym p z R.

Pierwszy wiersz: dwie grupy po 13 osób dają df = 24. Statystyka 2.40 przekracza 2.064, ale nie 2.797, więc wynik jest istotny przy α = .05 i nieistotny przy α = .01. Tablica zawęża p do przedziału, a dokładną wartość – .025 – podaje kalkulator albo program statystyczny.

Trzeci wiersz pokazuje typowy kłopot: w tablicy nie ma df2 = 36. Statystyka 3.10 jest większa od obu sąsiednich wartości (2.922 i 2.839), więc decyzja jest jasna bez dokładnego progu. Dokładna wartość krytyczna z R to 2.866.

# t(24) = 2.40, test dwustronny
c(kryt_05 = qt(0.025, 24, lower.tail = FALSE), kryt_01 = qt(0.005, 24, lower.tail = FALSE),
  p = 2 * pt(2.40, 24, lower.tail = FALSE))
# chi2(3) = 9.10, prawy ogon
c(kryt_05 = qchisq(0.05, 3, lower.tail = FALSE), kryt_025 = qchisq(0.025, 3, lower.tail = FALSE),
  p = pchisq(9.10, 3, lower.tail = FALSE))
# F(3, 36) = 3.10: df2 = 36 nie ma w tablicy
f30 <- qf(0.05, 3, 30, lower.tail = FALSE); f40 <- qf(0.05, 3, 40, lower.tail = FALSE)
w <- (1/30 - 1/36) / (1/30 - 1/40)                 # interpolacja względem 1/df2
c(df2_30 = f30, df2_40 = f40, liniowo_df2 = f30 + (36 - 30) / 10 * (f40 - f30),
  liniowo_1_df2 = f30 + w * (f40 - f30), dokladnie = qf(0.05, 3, 36, lower.tail = FALSE),
  p = pf(3.10, 3, 36, lower.tail = FALSE))
# z = 2.17, test dwustronny
c(kryt_05 = qnorm(0.025, lower.tail = FALSE), p = 2 * pnorm(2.17, lower.tail = FALSE))
# związki między rozkładami
c(t_kw = qt(0.025, 24, lower.tail = FALSE)^2, F_1_24 = qf(0.05, 1, 24, lower.tail = FALSE))
c(z_kw = qnorm(0.025, lower.tail = FALSE)^2, chi2_1 = qchisq(0.05, 1, lower.tail = FALSE))
c(F_5_inf = qf(0.05, 5, Inf, lower.tail = FALSE), chi2_5_przez_5 = qchisq(0.05, 5, lower.tail = FALSE) / 5)
# t przy rosnących df zbliża się do z = 1.960
round(sapply(c(5, 10, 30, 60, 120, 1000, Inf), function(d) qt(0.025, d, lower.tail = FALSE)), 3)

   kryt_05    kryt_01          p 
2.06389856 2.79693950 0.02450989 
   kryt_05   kryt_025          p 
7.81472790 9.34840360 0.02799046 
       df2_30        df2_40   liniowo_df2 liniowo_1_df2     dokladnie 
   2.92227719    2.83874540    2.87215812    2.86658933    2.86626555 
            p 
   0.03871197 
   kryt_05          p 
1.95996398 0.03000685 
    t_kw   F_1_24 
4.259677 4.259677 
    z_kw   chi2_1 
3.841459 3.841459 
       F_5_inf chi2_5_przez_5 
        2.2141         2.2141 
[1] 2.571 2.228 2.042 2.000 1.980 1.962 1.960

Gdy df nie ma w tablicy

Tablice drukowane mają luki – zwykle po df = 30. Masz trzy wyjścia.

• Weź mniejsze df z tablicy. Dla df2 = 36 odczytaj wiersz 30. Wartość krytyczna maleje wraz z df, więc próg z mniejszego df jest wyższy (2.922 zamiast 2.866) i decyzja jest ostrożna: jeśli statystyka go przekracza, przekracza też dokładny próg.
• Interpoluj. Interpolacja liniowa względem df dała 2.872, a interpolacja liniowa względem 1/df2 – 2.867, prawie dokładnie tyle, ile wynosi wartość z R (2.866). Między df = 30 a 120 interpoluj więc względem 1/df.
• Policz dokładnie. Kalkulator na górze strony albo funkcje qt, qchisq, qf w R podają wartość dla dowolnych df, także ułamkowych.

Gdy decyzja zależy od trzeciego miejsca po kropce, nie interpoluj – policz dokładne p. Przy dużych df rozkład t niewiele różni się od normalnego: przy df = 120 dwustronny próg dla α = .05 to 1.980, przy df = 1000 – 1.962.

Poziom α wybierasz przed analizą. Benjamin i in. (2018) zaproponowali próg .005 dla twierdzeń o nowych odkryciach; dlatego tablice mają kolumny .005 i .001. Lakens i in. (2018) odpowiadają, że zamiast jednego progu dla wszystkich badacz powinien wybrać α i uzasadnić ten wybór. Niezależnie od progu tablica nie powie, jak duży jest efekt – do tego potrzebujesz wielkości efektu i przedziału ufności, który policzysz w kalkulatorze przedziału ufności.

Ograniczenia

• Tablica daje decyzję, nie dokładne p. Z tablicy odczytasz najwyżej przedział, np. .01 < p < .05. W pracy podawaj dokładną wartość p z programu albo z kalkulatora wartości p.
• Wartości krytyczne zakładają spełnione założenia testu. Jeśli rozkład reszt jest silnie skośny albo wariancje są nierówne, próg z tablicy może dawać inny odsetek błędów I rodzaju niż α. Zobacz wpis test t przy rozkładzie nienormalnym.
• Tablice dotyczą rozkładów centralnych. Do analizy mocy potrzebne są rozkłady niecentralne – użyj kalkulatora mocy.
• Wiele testów. Przy wielu porównaniach próg α dla pojedynczego testu trzeba skorygować, np. korektą Bonferroniego albo w kalkulatorze poprawek na wielokrotne porównania.
• Zakres liczb w przeglądarce. Kalkulator przyjmuje df do 10 000 000 (albo ∞) i α nie mniejsze niż 10⁻³⁰⁰.

Zapis w pracy (APA)

Wartości krytycznej zwykle nie podaje się w wynikach – wystarczy statystyka, stopnie swobody i dokładne p. Przewodnik APA Style zaleca dokładne wartości p z dwoma lub trzema miejscami po kropce, zapis „p < .001” dla mniejszych wartości i pomijanie zera przed kropką (American Psychological Association, 2024). Wartość krytyczna przydaje się w metodzie, gdy opisujesz regułę decyzji, albo w pracy zaliczeniowej liczonej ręcznie.

W prawdziwym opisie dodaj średnie, wielkość efektu i przedział ufności. Wzory pełnych zdań zebraliśmy we wpisie jak opisać wyniki w stylu APA. Jeśli nie masz pewności, który test i które stopnie swobody pasują do Twoich danych, możesz skorzystać z pomocy w analizie dla studentów.

Najczęstsze pytania

Jak odczytać wartość krytyczną z tablicy rozkładu t?

Znajdź wiersz ze stopniami swobody testu i kolumnę z poziomem α. W teście dwustronnym przy α = .05 wybierz kolumnę opisaną „.025 / .05”, bo α dzieli się na dwa ogony. Dla df = 24 to 2.064: wynik jest istotny, gdy |t| ≥ 2.064.

Co zrobić, gdy w tablicy F nie ma moich stopni swobody?

Najprościej odczytaj wiersz z najbliższym mniejszym df2 – próg będzie trochę wyższy, więc decyzja ostrożna. Możesz też interpolować względem 1/df2: dla F(3, 36) daje to 2.867 przy dokładnej wartości 2.866. Najdokładniej policz próg w kalkulatorze albo funkcją qf w R.

Ile wynosi wartość krytyczna chi-kwadrat dla 1 stopnia swobody?

W prawym ogonie 3.841 przy α = .05, 6.635 przy α = .01 i 10.828 przy α = .001. Wartość dla α = .05 to kwadrat liczby 1.960, bo χ² z jednym stopniem swobody jest kwadratem zmiennej o rozkładzie normalnym standaryzowanym.

Czy tablice statystyczne są jeszcze potrzebne, skoro program podaje p?

Do raportowania wyników nie: w pracy podajesz dokładne p z programu. Tablice przydają się na egzaminie i w zadaniach liczonych ręcznie, przy planowaniu reguły decyzji i przy sprawdzaniu, czy statystyka z czyjegoś artykułu w ogóle mogła dać podane p.

Dlaczego w tablicy t przy małych df progi są dużo wyższe niż 1.96?

Bo rozkład t ma grubsze ogony niż normalny – uwzględnia niepewność oszacowania odchylenia standardowego z próby. Przy df = 5 dwustronny próg dla α = .05 wynosi 2.571, przy df = 30 – 2.042, a przy df = 120 – 1.980. Dopiero przy nieskończonych df równa się 1.960.

Powiązane hasła

Przeczytaj też

@misc{apa2024numbers, author={{American Psychological Association}}, title={{APA Style numbers and statistics guide}}, howpublished={APA Style}, year={2024}, publisher={American Psychological Association}, url={https://apastyle.apa.org/instructional-aids/numbers-statistics-guide.pdf}}

@article{benjamin2018redefine, author={Benjamin, Daniel J. and Berger, James O. and Johannesson, Magnus and Nosek, Brian A. and Wagenmakers, Eric-Jan and Berk, Richard and Bollen, Kenneth A. and Brembs, Björn and Brown, Lawrence and Camerer, Colin and Cesarini, David and Chambers, Christopher D. and Clyde, Merlise and Cook, Thomas D. and De Boeck, Paul and Dienes, Zoltan and Dreber, Anna and Easwaran, Kenny and Efferson, Charles and others}, title={{Redefine statistical significance}}, journal={Nature Human Behaviour}, year={2018}, volume={2}, number={1}, pages={6--10}, doi={10.1038/s41562-017-0189-z}}

@article{lakens2018justify, author={Lakens, Daniël and Adolfi, Federico G. and Albers, Casper J. and Anvari, Farid and Apps, Matthew A. J. and Argamon, Shlomo E. and Baguley, Thom and Becker, Raymond B. and Benning, Stephen D. and Bradford, Daniel E. and Buchanan, Erin M. and Caldwell, Aaron R. and Van Calster, Ben and Carlsson, Rickard and Chen, Sau-Chin and Chung, Bryan and Colling, Lincoln J. and Collins, Gary S. and Crook, Zander and others}, title={{Justify your alpha}}, journal={Nature Human Behaviour}, year={2018}, volume={2}, number={3}, pages={168--171}, doi={10.1038/s41562-018-0311-x}}

@article{lentz1976generating, author={Lentz, William J.}, title={{Generating Bessel functions in Mie scattering calculations using continued fractions}}, journal={Applied Optics}, year={1976}, volume={15}, number={3}, pages={668}, doi={10.1364/ao.15.000668}}

@article{neyman1933problem, author={Neyman, Jerzy and Pearson, Egon S.}, title={{On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses}}, journal={Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character}, year={1933}, volume={231}, number={694–706}, pages={289--337}, doi={10.1098/rsta.1933.0009}}

@article{pearson1900criterion, author={Pearson, Karl}, title={{On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling}}, journal={The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science}, year={1900}, volume={50}, number={302}, pages={157--175}, doi={10.1080/14786440009463897}}

@article{student1908probable, author={{Student}}, title={{The probable error of a mean}}, journal={Biometrika}, year={1908}, volume={6}, number={1}, pages={1--25}, doi={10.1093/biomet/6.1.1}}