Test chi-kwadrat zgodności – czy rozkład w próbie zgadza się z oczekiwanym?

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 15 października 2026

Co to jest test chi-kwadrat zgodności?

Test chi-kwadrat zgodności (ang. chi-square goodness-of-fit test) sprawdza, czy rozkład jednej zmiennej jakościowej w próbie jest zgodny z rozkładem oczekiwanym, określonym z góry: równymi proporcjami, znaną strukturą populacji albo przewidywaniem teorii. Porównuje liczebności obserwowane w kategoriach z liczebnościami, jakich należałoby się spodziewać, gdyby ten rozkład był prawdziwy.

To najstarszy test z rodziny χ². Kryterium zaproponował Karl Pearson (1900), a Plackett (1983) rekonstruuje kontekst powstania tej pracy i pokazuje, że interpretacja pierwotnej procedury nie jest dla współczesnego czytelnika oczywista. Cochran (1952) w przystępnym przeglądzie dla użytkowników statystyki omówił historię testu, badania nad minimalną liczebnością oczekiwaną w kategorii i tworzeniem kategorii, a także testy alternatywne.

W psychologii test zgodności przydaje się zwłaszcza wtedy, gdy chcesz sprawdzić, czy struktura próby (np. płeć, wiek, kierunek studiów z metryczki) odpowiada strukturze populacji, albo czy odpowiedzi z kafeterii są wybierane równie często. Testy niezależności, jednorodności i zgodności mają niemal identyczny wzór, ale odpowiadają na różne pytania (Franke i in., 2012): test zgodności dotyczy jednej zmiennej i rozkładu teoretycznego, a test chi-kwadrat niezależności – związku dwóch zmiennych.

Wzór i stopnie swobody

• O_i – liczebność obserwowana w kategorii i,
• π_i – oczekiwany odsetek w kategorii i (zapisany jako proporcja, np. 0.25),
• E_i – liczebność oczekiwana, N – liczebność próby, k – liczba kategorii.

Hipoteza zerowa mówi, że rozkład w populacji, z której pochodzi próba, jest zgodny z oczekiwanym; alternatywna – że nie jest. Duże różnice między O i E dają duże χ², które porównuje się z rozkładem χ² o k − 1 stopniach swobody. Jeśli parametry rozkładu oczekiwanego oszacowano z tych samych danych (np. średnią i odchylenie standardowe przy sprawdzaniu zgodności z rozkładem normalnym), liczba stopni swobody maleje o liczbę oszacowanych parametrów: df = k − 1 − m. Do sprawdzania normalności zmiennej ilościowej lepiej jednak użyć testu Shapiro-Wilka.

Założenia testu zgodności

• Liczebności niezależnych obserwacji. Każda osoba trafia do dokładnie jednej kategorii; kategorie są rozłączne i obejmują wszystkie możliwe odpowiedzi.
• Rozkład oczekiwany ustalony z góry – z teorii, rejestrów lub statystyk publicznych, a nie dopasowany do tych samych danych po ich obejrzeniu.
• Wystarczające liczebności oczekiwane. Najczęściej przyjmuje się, że najwyżej 20% kategorii może mieć liczebność oczekiwaną mniejszą niż 5 i żadna nie może mieć mniejszej niż 1 (Kim, 2017). Gdy warunek nie jest spełniony, połącz sąsiednie kategorie (jeśli ma to sens merytoryczny) albo policz wartość p metodą Monte Carlo: chisq.test(x, p = proporcje, simulate.p.value = TRUE).

Przykład 1: czy struktura wieku w ankiecie odpowiada populacji?

Ankietę internetową o dobrostanie wypełniło 400 dorosłych osób (dane symulowane). Badaczka porównuje strukturę wieku w próbie ze strukturą populacji; na potrzeby przykładu przyjmujemy, że w populacji 20% osób ma 18–29 lat, 30% – 30–44 lata, 25% – 45–59 lat i 25% – 60 lat lub więcej. Liczebności oczekiwane to 400 × 0.20 = 80, 400 × 0.30 = 120 i dwa razy 400 × 0.25 = 100.

Suma ostatnich składników daje χ²(3, N = 400) = 27.72, p < .001: struktura wieku w próbie istotnie odbiega od populacyjnej. Dwie skrajne grupy wieku odpowiadają łącznie za 96.3% wartości χ². Które kategorie odbiegają istotnie, pokazują skorygowane reszty standaryzowane:

Taka reszta odpowiada testowi, czy odsetek w jednej kategorii różni się od oczekiwanego. Przy czterech kategoriach próg z korektą Bonferroniego wynosi |z| > 2.50. Przekraczają go grupa 18–29 lat (z = 4.25 – nadreprezentacja) i grupa 60+ (z = −4.04 – niedoreprezentacja); osoby w wieku 30–59 lat są w próbie mniej więcej w takich proporcjach jak w populacji.

Próba nadreprezentuje młodych dorosłych i niedoreprezentuje seniorów. Taki wzór może wynikać ze sposobu rekrutacji: ankieta rozsyłana w mediach społecznościowych to zwykle dobór wygodny (zob. też gdzie znaleźć respondentów do ankiety). W takiej sytuacji uogólniaj wyniki ostrożnie, opisz ograniczenie w pracy, a przy planowaniu kolejnego badania rozważ próbę kwotową.

Przykład 2: czy odpowiedzi są wybierane równie często?

Gdy nie podasz proporcji, test zakłada równe proporcje wszystkich kategorii. W ankiecie 160 studentów wskazało preferowaną formę pomocy psychologicznej (dane symulowane): gabinet – 47 osób, wideorozmowa – 46, czat lub komunikator – 44, telefon – 23. Przy równych proporcjach w każdej kategorii oczekujemy 160 / 4 = 40 osób.

Wynik: χ²(3, N = 160) = 9.75, p = .021 – formy pomocy nie są wybierane równie często. Skorygowane reszty pokazują, że odpowiada za to głównie telefon (z = −3.10, jedyna reszta powyżej progu 2.50); reszty dla trzech pozostałych form wynoszą od 0.73 do 1.28. W analizie eksploracyjnej możesz to potwierdzić testem bez kategorii „telefon”: trzy pozostałe formy wybierano podobnie często, χ²(2, N = 137) = 0.10, p = .950.

Wielkość efektu: w Cohena

Wartość χ² rośnie razem z liczebnością próby, dlatego obok wyniku testu podaj wielkość efektu – w Cohena:

gdzie p_i to odsetek obserwowany w kategorii i, a π_i – oczekiwany. W przykładzie 1: w = √(27.72 / 400) = 0.26, w przykładzie 2: w = √(9.75 / 160) = 0.25. Cohen (1992) podaje dla w konwencjonalne wartości efektu małego, średniego i dużego: 0.10, 0.30 i 0.50 – oba efekty leżą więc między małym a średnim. W teście zgodności w może przekroczyć 1, dlatego zapisuje się je z zerem przed kropką.

Wielkość efektu pomaga też uniknąć pułapki „nieistotny wynik = zgodność”. Gdyby ankietę wypełniło tylko 40 osób o podobnej strukturze wieku (11, 13, 9 i 7 osób), test dałby χ²(3, N = 40) = 2.21, p = .530, choć odchylenie od populacji byłoby prawie takie samo (w = 0.23). Przy małej próbie test ma niską moc, a przy bardzo dużej – wykrywa nawet nieistotne praktycznie odchylenia.

Jak opisać wynik w pracy (APA)

Podaj liczbę stopni swobody, liczebność próby, wartość χ², p i w w formacie χ²(df, N = …) = …, p = …, a następnie opisz, które kategorie odbiegają od oczekiwań. Opis przykładu 1:

Opis przykładu 2 (równe proporcje):

Strukturę próby warto też pokazać w tabeli charakterystyki próby – zob. jak opisać charakterystykę próby badawczej.

proba <- c("18-29" = 114, "30-44" = 128, "45-59" = 93, "60+" = 65)   # ankieta online, N = 400
populacja <- c(.20, .30, .25, .25)                                  # struktura populacji
test <- chisq.test(proba, p = populacja)
test
test$expected                            # liczebności oczekiwane
round(test$stdres, 2)                    # skorygowane reszty standaryzowane
unname(sqrt(test$statistic / sum(proba)))   # w Cohena
wybory <- c(gabinet = 47, wideo = 46, czat = 44, telefon = 23)
chisq.test(wybory)                       # domyślnie: równe proporcje (po 25%)
round(chisq.test(wybory)$stdres, 2)

	Chi-squared test for given probabilities

data:  proba
X-squared = 27.723, df = 3, p-value = 4.152e-06

18-29 30-44 45-59   60+
   80   120   100   100
18-29 30-44 45-59   60+
 4.25  0.87 -0.81 -4.04
[1] 0.2632648

	Chi-squared test for given probabilities

data:  wybory
X-squared = 9.75, df = 3, p-value = 0.02082

gabinet   wideo    czat telefon
   1.28    1.10    0.73   -3.10 

Najczęstsze błędy

• „Wynik nieistotny, więc próba jest reprezentatywna”. Test pokazuje tylko, czy odchylenie w jednej zmiennej da się wykryć przy danej liczebności. Reprezentatywność próby zależy przede wszystkim od sposobu doboru osób (zob. próba losowa), a nie od zgodności kilku rozkładów brzegowych.
• Procenty zamiast liczebności. Wpisanie „28.5” zamiast 114 osób zmienia N i całkowicie zmienia wynik testu.
• Rozkład oczekiwany ustalony po obejrzeniu danych albo oszacowany z tej samej próby bez obniżenia liczby stopni swobody.
• Test zgodności do porównania dwóch grup – np. rozkładu odpowiedzi kobiet i mężczyzn. To pytanie o związek dwóch zmiennych, czyli test niezależności.
• Sam wynik ogólny bez wskazania, które kategorie odbiegają od oczekiwań, i bez wielkości efektu w.

Najczęstsze pytania

Co to jest test chi-kwadrat zgodności?

To test, który sprawdza, czy rozkład jednej zmiennej jakościowej w próbie zgadza się z rozkładem oczekiwanym – np. czy struktura wieku w ankiecie odpowiada strukturze populacji albo czy cztery odpowiedzi są wybierane równie często. Porównuje liczebności obserwowane z oczekiwanymi i daje statystykę χ² z k − 1 stopniami swobody.

Czym różni się test chi-kwadrat zgodności od testu niezależności?

Test zgodności dotyczy jednej zmiennej i porównuje jej rozkład z rozkładem teoretycznym ustalonym z góry. Test niezależności dotyczy dwóch zmiennych w tabeli krzyżowej i sprawdza, czy są ze sobą powiązane. Wzory są podobne, ale liczebności oczekiwane i stopnie swobody liczy się inaczej.

Jak obliczyć liczebności oczekiwane w teście zgodności?

Pomnóż liczebność próby przez oczekiwany odsetek każdej kategorii: E = N × π. Przy N = 400 i oczekiwanym odsetku 20% liczebność oczekiwana wynosi 80. Przy równych proporcjach każda kategoria ma E = N / k, np. 160 / 4 = 40.

Czy test chi-kwadrat zgodności potwierdza reprezentatywność próby?

Nie. Nieistotny wynik oznacza tylko, że w danej zmiennej nie wykryto odchylenia od struktury populacji – przy małej próbie test ma niską moc, a zgodność kilku rozkładów nie gwarantuje zgodności w innych cechach. O reprezentatywności decyduje przede wszystkim sposób doboru próby; test zgodności pomaga ją opisać i skontrolować.

Jak obliczyć wielkość efektu w teście chi-kwadrat zgodności?

Najczęściej podaje się w Cohena: w = √(χ² / N). Na przykład przy χ² = 27.72 i N = 400: w = 0.26. Konwencjonalne progi efektu małego, średniego i dużego to 0.10, 0.30 i 0.50.

Jak zapisać wynik testu chi-kwadrat zgodności w APA?

Użyj formatu χ²(df, N = …) = …, p = …, np. χ²(3, N = 400) = 27.72, p < .001, w = 0.26. Następnie opisz, które kategorie występowały częściej lub rzadziej, niż oczekiwano, podając odsetki obserwowane i oczekiwane.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{cochran1952chi, author={Cochran, William G.}, title={{The χ² test of goodness of fit}}, journal={The Annals of Mathematical Statistics}, year={1952}, volume={23}, number={3}, pages={315--345}, doi={10.1214/aoms/1177729380}}

@article{cohen1992power, author={Cohen, Jacob}, title={{A power primer}}, journal={Psychological Bulletin}, year={1992}, volume={112}, number={1}, pages={155--159}, doi={10.1037/0033-2909.112.1.155}}

@article{franke2012chi, author={Franke, Todd Michael and Ho, Timothy and Christie, Christina A.}, title={{The chi-square test: Often used and more often misinterpreted}}, journal={American Journal of Evaluation}, year={2012}, volume={33}, number={3}, pages={448--458}, doi={10.1177/1098214011426594}}

@article{kim2017chi, author={Kim, Hae-Young}, title={{Statistical notes for clinical researchers: Chi-squared test and Fisher's exact test}}, journal={Restorative Dentistry \& Endodontics}, year={2017}, volume={42}, number={2}, pages={152--155}, doi={10.5395/rde.2017.42.2.152}}

@article{pearson1900criterion, author={Pearson, Karl}, title={{On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling}}, journal={The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science}, year={1900}, volume={50}, number={302}, pages={157--175}, doi={10.1080/14786440009463897}}

@article{plackett1983karl, author={Plackett, R. L.}, title={{Karl Pearson and the chi-squared test}}, journal={International Statistical Review}, year={1983}, volume={51}, number={1}, pages={59--72}, doi={10.2307/1402731}}