Tabela krzyżowa – co to jest? Przykład tabeli 2 × 2 z testem chi-kwadrat

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 8 października 2026

Co to jest tabela krzyżowa?

Tabela krzyżowa (ang. cross-tabulation, contingency table; po polsku także tabela kontyngencji, tabela dwudzielcza lub tabela wielodzielcza) to tabela liczebności dla dwóch (lub więcej) zmiennych mierzonych na skali nominalnej lub porządkowej. Każda komórka zawiera liczbę obserwacji, które mają określoną kombinację kategorii. Na marginesach znajdują się sumy wierszy i kolumn (liczebności brzegowe).

Wymiar tabeli zapisuje się jako liczba wierszy × liczba kolumn. Najprostsza jest tabela 2 × 2, w której obie zmienne są dychotomiczne:

Tabela krzyżowa jest podstawą testu chi-kwadrat niezależności, ilorazu szans i ryzyka względnego, a także macierzy pomyłek, która jest tabelą krzyżową prognoz i rzeczywistości. W ankietach tabele krzyżowe są najczęstszym sposobem porównywania odpowiedzi różnych grup — zob. analiza ankiet.

Liczebności i procenty: jak czytać tabelę

Surowe liczebności trudno porównywać, gdy grupy mają różną wielkość, dlatego tabelę uzupełnia się procentami. Można je liczyć na trzy sposoby:

• procenty w wierszach — każdy wiersz sumuje się do 100%; odpowiadają na pytanie „jaki odsetek osób z danej grupy ma daną cechę?”;
• procenty w kolumnach — każda kolumna sumuje się do 100%;
• procenty z całości — wszystkie komórki sumują się do 100%.

Zasada: procenty liczy się w obrębie kategorii zmiennej niezależnej. Jeśli pytamy, czy warsztaty zwiększają zdawalność, porównujemy odsetek zdających wśród uczestników i nieuczestników warsztatów, czyli procenty w wierszach (gdy grupy są w wierszach).

Przykład: tabela 2 × 2 i test chi-kwadrat

Sprawdzamy, czy udział w warsztatach przygotowawczych wiąże się ze zdaniem egzaminu. W przykładowych danych było po 100 osób w każdej grupie (N = 200).

Krok 1. Liczebności oczekiwane. Gdyby zmienne były niezależne, w każdej grupie zdawalność byłaby taka sama jak w całej próbie: 119 / 200 = 59,5%. Liczebność oczekiwana komórki to (suma wiersza × suma kolumny) / N, np. dla uczestników, którzy zdali: 100 · 119 / 200 = 59,5.

Wszystkie liczebności oczekiwane są większe od 5, więc klasyczny test chi-kwadrat jest odpowiedni (McHugh, 2013).

Krok 2. Statystyka chi-kwadrat sumuje znormalizowane odchylenia liczebności obserwowanych od oczekiwanych:

Przy df = (2 − 1)(2 − 1) = 1 odpowiada to p = 0,014. Skorygowane reszty standaryzowane wynoszą ±2,45, czyli przekraczają ±1,96: uczestnicy warsztatów zdawali częściej, a nieuczestnicy rzadziej, niż wynikałoby z niezależności (por. Sharpe, 2015).

Krok 3. Wielkość efektu. Sama istotność nie mówi, jak silny jest związek (Kim, 2017). Dla tabeli 2 × 2 podaje się:

• współczynnik φ = √(χ² / N) = √(6,00 / 200) = 0,17 — słaby związek według konwencji Cohena (0,10 / 0,30 / 0,50);
• iloraz szans OR = (a · d) / (b · c) = (68 · 49) / (32 · 51) = 2,04, 95% CI [1,15; 3,63] — szanse zdania egzaminu były u uczestników warsztatów około dwukrotnie większe (Szumilas, 2010);
• ryzyko względne RR = 68% / 51% = 1,33 — odsetek zdających był o jedną trzecią wyższy.

Iloraz szans i ryzyko względne to różne miary: przy częstym wyniku (tu zdawało ok. 60% osób) OR jest wyraźnie większy od RR, dlatego nie należy interpretować OR = 2 jako „dwa razy większe prawdopodobieństwo”. Więcej o mierze siły efektu w haśle wielkość efektu.

Tabela krzyżowa w formacie APA

Według stylu APA (7. wydanie) tabela ma numer zapisany pogrubioną czcionką, pod nim tytuł kursywą, tylko poziome linie oraz notkę pod tabelą, rozpoczętą słowem „Uwaga.” zapisanym kursywą (American Psychological Association, b.d.). W notce podaj liczebność, sposób liczenia procentów i wynik testu. Tak może wyglądać tabela z przykładu:

W tekście pracy przywołaj tabelę i opisz najważniejszy wynik, nie powtarzając wszystkich liczb. Zasady formatowania opisuje też hasło styl APA i poradnik wytyczne APA w metodologii i statystyce.

Kalkulator tabeli krzyżowej 2 × 2

Kalkulator liczy χ² Pearsona i z poprawką Yatesa (jak chisq.test() w R), dokładny test Fishera (jak fisher.test()), φ oraz iloraz szans z 95% przedziałem ufności Woolfa (logitowym). Dla danych z przykładu wyniki są identyczne z R. Iloraz szans z fisher.test() (2,03) to estymator warunkowy, dlatego nieznacznie różni się od zwykłego OR.

# Udział w warsztatach przygotowawczych a zdanie egzaminu: N = 200
tab <- matrix(c(68, 32,
                51, 49), nrow = 2, byrow = TRUE,
              dimnames = list(Warsztaty = c("tak", "nie"), Egzamin = c("zdany", "niezdany")))
tab
addmargins(tab)                          # liczebności brzegowe
round(100 * prop.table(tab, 1), 1)       # procenty w wierszach
test <- chisq.test(tab, correct = FALSE) # test chi-kwadrat Pearsona
test
test$expected                            # liczebności oczekiwane
chisq.test(tab)                          # z poprawką Yatesa (domyślnie w R dla 2×2)
fisher.test(tab)                         # dokładny test Fishera
phi <- unname(sqrt(test$statistic / sum(tab)) * sign(tab[1, 1] * tab[2, 2] - tab[1, 2] * tab[2, 1]))
OR  <- (tab[1, 1] * tab[2, 2]) / (tab[1, 2] * tab[2, 1])
se  <- sqrt(sum(1 / tab))
c(phi = phi, OR = OR, OR_dolna = exp(log(OR) - 1.96 * se), OR_gorna = exp(log(OR) + 1.96 * se))
test$stdres                              # skorygowane reszty standaryzowane
chi_N1 <- unname(test$statistic) * (sum(tab) - 1) / sum(tab)   # wariant „N − 1” (Campbell, 2007)
c(chi_N1 = chi_N1, p = pchisq(chi_N1, df = 1, lower.tail = FALSE))

         Egzamin
Warsztaty zdany niezdany
      tak    68       32
      nie    51       49
         Egzamin
Warsztaty zdany niezdany Sum
      tak    68       32 100
      nie    51       49 100
      Sum   119       81 200
         Egzamin
Warsztaty zdany niezdany
      tak    68       32
      nie    51       49

	Pearson's Chi-squared test

data:  tab
X-squared = 5.9965, df = 1, p-value = 0.01433

         Egzamin
Warsztaty zdany niezdany
      tak  59.5     40.5
      nie  59.5     40.5

	Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  tab
X-squared = 5.3118, df = 1, p-value = 0.02118


	Fisher's Exact Test for Count Data

data:  tab
p-value = 0.02092
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 1.105598 3.782145
sample estimates:
odds ratio 
   2.03427 

      phi        OR  OR_dolna  OR_gorna 
0.1731542 2.0416667 1.1492110 3.6271868 
         Egzamin
Warsztaty    zdany niezdany
      tak  2.44877 -2.44877
      nie -2.44877  2.44877
    chi_N1          p 
5.96649030 0.01458027 

Jak opisać wynik w tekście

Pamiętaj, że w badaniu nieeksperymentalnym związek nie oznacza wpływu: na warsztaty mogli częściej zapisywać się studenci bardziej zmotywowani.

Najczęstsze błędy

• Procenty liczone w złym kierunku (w kolumnach zamiast w grupach) albo brak informacji, jak je policzono.
• Test chi-kwadrat na procentach zamiast na liczebnościach.
• Ta sama osoba w kilku komórkach (np. pytania wielokrotnego wyboru) — test chi-kwadrat wymaga niezależnych obserwacji.
• Pomijanie liczebności oczekiwanych przy małych próbach.
• Raportowanie samego p bez φ, V Craméra lub ilorazu szans.
• Interpretowanie ilorazu szans jak ryzyka względnego przy częstym wyniku.

Najczęstsze pytania

Co to jest tabela krzyżowa?

Tabela krzyżowa (tabela kontyngencji, tabela dwudzielcza) to tabela, która pokazuje liczebności osób dla każdej kombinacji kategorii dwóch zmiennych jakościowych. Wiersze odpowiadają kategoriom jednej zmiennej, kolumny — drugiej, a w komórkach są liczby osób (często z procentami). Tabela 2 × 2 to najprostszy przypadek: dwie zmienne o dwóch kategoriach.

Jak policzyć test chi-kwadrat dla tabeli 2 × 2?

Dla każdej komórki oblicza się liczebność oczekiwaną: (suma wiersza × suma kolumny) / N. Następnie sumuje się (obserwowana − oczekiwana)² / oczekiwana po czterech komórkach. Wynik porównuje się z rozkładem chi-kwadrat z 1 stopniem swobody. W R wystarczy chisq.test(tabela, correct = FALSE); kalkulator na tej stronie zrobi to automatycznie.

Procenty w wierszach czy w kolumnach?

Procenty liczy się w obrębie kategorii zmiennej niezależnej (wyjaśniającej). Jeśli wiersze to grupy (np. udział w warsztatach), a kolumny to wynik (zdany/niezdany), podaj procenty w wierszach — wtedy porównujesz odsetek zdających w każdej grupie. W notce pod tabelą napisz, jak policzono procenty.

Kiedy zamiast chi-kwadrat użyć testu Fishera?

Tradycyjna reguła Cochrana mówi, by przejść na test Fishera, gdy którakolwiek liczebność oczekiwana jest mniejsza niż 5. Badania symulacyjne (Campbell, 2007) wskazują, że wariant chi-kwadrat „N − 1” działa dobrze już przy najmniejszej liczebności oczekiwanej co najmniej 1; poniżej tej wartości lepszy jest dokładny test Fishera.

Jak przedstawić tabelę krzyżową w stylu APA?

Nad tabelą umieść numer pogrubiony (Tabela 1), a pod nim tytuł kursywą. W tabeli używaj tylko linii poziomych, podaj liczebności i procenty. Pod tabelą dodaj notkę zaczynającą się od słowa „Uwaga.” zapisanego kursywą — z liczebnością próby, sposobem liczenia procentów i wynikiem testu. Wzór znajdziesz na tej stronie.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{mchugh2013the, author={McHugh, Mary L.}, title={The chi-square test of independence}, journal={Biochemia Medica}, year={2013}, volume={23}, number={2}, pages={143--149}, doi={10.11613/BM.2013.018}}

@article{kim2017statistical, author={Kim, Hae-Young}, title={Statistical notes for clinical researchers: Chi-squared test and Fisher's exact test}, journal={Restorative Dentistry \& Endodontics}, year={2017}, volume={42}, number={2}, pages={152--155}, doi={10.5395/rde.2017.42.2.152}}

@article{sharpe2015chisquare, author={Sharpe, Donald}, title={Chi-square test is statistically significant: Now what?}, journal={Practical Assessment, Research, and Evaluation}, year={2015}, volume={20}, eid={8}, doi={10.7275/tbfa-x148}}

@article{campbell2007chisquared, author={Campbell, Ian}, title={Chi-squared and Fisher–Irwin tests of two-by-two tables with small sample recommendations}, journal={Statistics in Medicine}, year={2007}, volume={26}, number={19}, pages={3661--3675}, doi={10.1002/sim.2832}}

@article{szumilas2010explaining, author={Szumilas, Magdalena}, title={Explaining odds ratios}, journal={Journal of the Canadian Academy of Child and Adolescent Psychiatry}, year={2010}, volume={19}, number={3}, pages={227--229}, url={https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2938757/}}

@misc{apa_table_setup, author={{American Psychological Association}}, title={Table setup}, howpublished={APA Style}, url={https://apastyle.apa.org/style-grammar-guidelines/tables-figures/tables}, note={Pobrano 8 października 2026}}