Słownik metodologiczny · Wnioskowanie statystyczne

Rozkład F – iloraz wariancji w ANOVA i regresji

Rozkład F to rozkład ilorazu dwóch wariancji, na którym opiera się analiza wariancji i test modelu regresji. Pokazujemy, skąd się bierze, jak czytać jego dwa stopnie swobody, wartości krytyczne z R i opis do pracy.

Strona główna / Słownik / Rozkład F

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: Rozkład F to rozkład ilorazu dwóch niezależnych zmiennych chi-kwadrat podzielonych przez swoje stopnie swobody. Ma dwa parametry – df licznika i df mianownika – jest nieujemny i prawoskośny. Statystykę F mają analiza wariancji, ogólny test regresji i porównanie modeli zagnieżdżonych.

Co to jest rozkład F?

Rozkład F (rozkład Fishera–Snedecora, ang. F distribution) to rozkład ilorazu dwóch niezależnych zmiennych o rozkładzie chi-kwadrat, z których każdą podzielono przez jej liczbę stopni swobody: F = (χ²₁/d₁)/(χ²₂/d₂). Ma więc dwa parametry – df licznika d₁ i df mianownika d₂. Przyjmuje tylko wartości nieujemne, jest prawoskośny, a jego średnia dla d₂ > 2 wynosi d₂/(d₂ − 2) (Forbes i in., 2010). W symulacji 10 000 ilorazów dla F(3, 20) w R (set.seed(4390)) średnia wyniosła 1.121 wobec teoretycznej 1.111.

Gdzie się pojawia?

Statystykę F ma analiza wariancji (wariancja międzygrupowa podzielona przez wewnątrzgrupową), ogólny test modelu regresji i porównanie modeli zagnieżdżonych, w tym test RESET. Z rozkładu F korzysta też test ilorazu dwóch wariancji. Markowski i Markowski (1990) pokazali jednak, że ten test jest wrażliwy na brak normalności i słabo sprawdza się jako test wstępny przed testem t (zob. homogeniczność wariancji).

Rozkład F wiąże się z rozkładem t: kwadrat zmiennej t z d df ma rozkład F(1, d). Dlatego qf(.95, 1, 20) i qt(.975, 20)^2 dają tę samą wartość 4.351.

Przykład: wartości krytyczne

Dla α = .05 wartość krytyczna wynosi 3.493 dla F(2, 20), 2.758 dla F(3, 60) i 2.463 dla F(4, 100). Kolejność df ma znaczenie: F(2, 20) i F(20, 2) to różne rozkłady. Inne wartości odczytasz z tablic rozkładów t, χ² i F albo z funkcji qf(1 - alfa, df1, df2).

Jak opisać w pracy

Średnie trzech grup porównano jednoczynnikową analizą wariancji. Różnice między grupami były istotne statystycznie, F(2, 57) = 4.21, p = .020; wartość krytyczna dla α = .05 wynosiła 3.16.

Na co uważać

  • Zapis obu df. Podawaj F(df licznika, df mianownika) – sama wartość F bez df nie pozwala sprawdzić wyniku.
  • Prawy ogon. W ANOVA i regresji test F jest prawostronny; nie dziel p przez 2.
  • Założenia. Dokładny rozkład F wymaga normalności i równych wariancji; przy ich naruszeniu wynik jest tylko przybliżeniem.

Najczęstsze pytania

Co oznaczają dwie liczby w zapisie F(2, 57)?

Pierwsza to stopnie swobody licznika (w ANOVA: liczba grup minus 1), druga – mianownika (liczba osób minus liczba grup). Zapis F(2, 57) oznacza np. trzy grupy i 60 osób.

Jaki jest związek rozkładu F z rozkładem t?

Kwadrat zmiennej o rozkładzie t z d stopniami swobody ma rozkład F(1, d). Dlatego ANOVA dla dwóch grup daje F = t² i to samo p co dwustronny test t Studenta.

Czy statystyka F może być mniejsza od 1?

Tak. F < 1 oznacza, że zmienność wyjaśniona przez czynnik jest mniejsza niż losowa zmienność wewnątrz grup. Taki wynik nie jest błędem, ale nie daje podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Powiązane hasła

ANOVA (analiza wariancji)Rozkład chi-kwadratRozkład t-StudentaStopnie swobodyHomogeniczność wariancji

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Tablice rozkładów t, χ², F i z

Wartości krytyczne t, χ², F i z policzone w R oraz kalkulator wartości krytycznej i p dla dowolnych df z wykresem obszaru odrzucenia.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2010). Statistical distributions (4th ed.). Wiley. https://doi.org/10.1002/9780470627242
  2. Markowski, C. A., & Markowski, E. P. (1990). Conditions for the effectiveness of a preliminary test of variance. The American Statistician, 44(4), 322–326. https://doi.org/10.1080/00031305.1990.10475752

Cytowania BibTeX

@book{forbes2010statistical, author={Forbes, Catherine and Evans, Merran and Hastings, Nicholas and Peacock, Brian}, title={{Statistical distributions (4th ed.)}}, year={2010}, publisher={Wiley}, doi={10.1002/9780470627242}}
@article{markowski1990conditions, author={Markowski, Carol A. and Markowski, Edward P.}, title={{Conditions for the effectiveness of a preliminary test of variance}}, journal={The American Statistician}, year={1990}, volume={44}, number={4}, pages={322--326}, doi={10.1080/00031305.1990.10475752}}
R