Słownik metodologiczny · Wnioskowanie statystyczne

Rozkład chi-kwadrat – skąd się bierze i do czego służy?

Rozkład chi-kwadrat opisuje sumę kwadratów niezależnych zmiennych normalnych i jest podstawą testów liczebności. Pokazujemy jego własności, wartości krytyczne z R, opis do pracy i najczęstsze pomyłki.

Strona główna / Słownik / Rozkład chi-kwadrat

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: Rozkład chi-kwadrat (χ²) to rozkład sumy kwadratów k niezależnych zmiennych o standardowym rozkładzie normalnym. Ma jeden parametr – liczbę stopni swobody – średnią k i wariancję 2k. Jest prawoskośny i nieujemny, a w przybliżeniu ma go statystyka testów chi-kwadrat zgodności, niezależności i McNemara.

Co to jest rozkład chi-kwadrat?

Rozkład chi-kwadrat (χ², ang. chi-squared distribution) to rozkład sumy kwadratów k niezależnych zmiennych o standardowym rozkładzie normalnym. Ma jeden parametr – liczbę stopni swobody k. Jego średnia wynosi k, a wariancja 2k (Forbes i in., 2010). Wartości są zawsze nieujemne, a rozkład jest prawoskośny: przy małym k skupia się blisko zera, a wraz ze wzrostem k przesuwa się w prawo i coraz bardziej przypomina rozkład normalny.

Gdzie się pojawia?

Pearson (1900) wykorzystał go do oceny, czy odchylenia liczebności obserwowanych od oczekiwanych mogą wynikać z losowania. Stąd pochodzą test chi-kwadrat zgodności i test chi-kwadrat niezależności w tabeli krzyżowej. Rozkład χ² ma też statystyka testu McNemara, test ilorazu wiarygodności porównujący modele zagnieżdżone, a przy danych z rozkładu normalnego – iloraz (n − 1)s²/σ², z którego buduje się przedział ufności dla wariancji. W testach liczebności rozkład χ² jest tylko przybliżeniem, dobrym przy odpowiednio dużych liczebnościach oczekiwanych.

Przykład: wartości krytyczne

Testy χ² są zwykle prawostronne, bo duża statystyka oznacza duże odchylenie od hipotezy zerowej. Wartość krytyczna dla α = .05 wynosi 3.841 przy df = 1, 5.991 przy df = 2, 9.488 przy df = 4, 18.307 przy df = 10 i 43.773 przy df = 30 (w R: qchisq(.95, df)). W symulacji 10 000 sum kwadratów trzech zmiennych normalnych (set.seed(4380)) średnia wyniosła 2.991, wariancja 5.879, a 5.0% wyników przekroczyło 7.815, czyli wartość krytyczną dla df = 3. Wartości dla innych df i α znajdziesz w tablicach rozkładów t, χ² i F.

Jak opisać w pracy

Związek między zmiennymi oceniono testem chi-kwadrat niezależności. Statystykę testu porównano z rozkładem χ² o (r − 1)(c − 1) = 2 stopniach swobody: χ²(2, N = 180) = 7.12, p = .028.

Na co uważać

  • Stopnie swobody to nie liczebność. W testach liczebności df zależą od liczby kategorii, a nie od N. Liczebność próby podaj osobno.
  • Małe liczebności oczekiwane. Przy nich przybliżenie rozkładem χ² zawodzi i lepszy jest test dokładny.
  • Związek z rozkładem F. Iloraz dwóch niezależnych zmiennych χ², z których każdą podzielono przez jej df, ma rozkład F.

Najczęstsze pytania

Ile stopni swobody ma rozkład chi-kwadrat w teście niezależności?

W tabeli o r wierszach i c kolumnach df = (r − 1)(c − 1), np. 2 dla tabeli 2 × 3. W teście zgodności df to liczba kategorii minus 1 (i minus liczba parametrów oszacowanych z danych), a w teście McNemara df = 1.

Dlaczego rozkład chi-kwadrat nie ma wartości ujemnych?

Bo jest rozkładem sumy kwadratów, a kwadrat liczby nie może być ujemny. Z tego samego powodu statystyka χ² rośnie z każdym odchyleniem od hipotezy zerowej, niezależnie od jego kierunku, a test jest prawostronny.

Czym rozkład chi-kwadrat różni się od testu chi-kwadrat?

Rozkład to model teoretyczny o znanym kształcie. Test chi-kwadrat to procedura, której statystyka przy prawdziwej hipotezie zerowej ma w przybliżeniu ten rozkład – dlatego z rozkładu odczytuje się wartość p i wartość krytyczną.

Powiązane hasła

Chi-kwadrat (test niezależności)Test chi-kwadrat zgodnościStopnie swobodyWartość krytycznaRozkład F

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Tablice rozkładów t, χ², F i z

Wartości krytyczne t, χ², F i z policzone w R oraz kalkulator wartości krytycznej i p dla dowolnych df z wykresem obszaru odrzucenia.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2010). Statistical distributions (4th ed.). Wiley. https://doi.org/10.1002/9780470627242
  2. Pearson, K. (1900). On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 50(302), 157–175. https://doi.org/10.1080/14786440009463897

Cytowania BibTeX

@book{forbes2010statistical, author={Forbes, Catherine and Evans, Merran and Hastings, Nicholas and Peacock, Brian}, title={{Statistical distributions (4th ed.)}}, year={2010}, publisher={Wiley}, doi={10.1002/9780470627242}}
@article{pearson1900criterion, author={Pearson, Karl}, title={{On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling}}, journal={The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science}, year={1900}, volume={50}, number={302}, pages={157--175}, doi={10.1080/14786440009463897}}
R