Kalkulator wartości p z z, t, χ², F i r – z wartością krytyczną dla α

Autor: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 26 października 2026

Kalkulator wartości p

Obliczenia wykonuje Twoja przeglądarka. Wpisane liczby nie są nigdzie wysyłane ani zapisywane.

Jak używać kalkulatora

Kalkulator przydaje się, gdy masz już wartość statystyki testowej, a brakuje Ci dokładnej wartości p: artykuł podaje tylko „p < .05”, wydruk pokazuje „.000”, policzyłeś test ręcznie albo chcesz sprawdzić, czy liczby w czyjejś tabeli są spójne. Nie zastępuje programu statystycznego – nie liczy testu z surowych danych.

1. Wybierz statystykę. z dla testów opartych na rozkładzie normalnym, t dla testu t i współczynników regresji, χ² dla testu chi-kwadrat, F dla ANOVA i testów modelu regresji, r dla korelacji Pearsona.
2. Wpisz wartość i stopnie swobody. Dla F potrzebne są dwie liczby: df efektu i df reszty. Dla r wpisz liczbę obserwacji n; kalkulator sam użyje df = n − 2. Ułamkowe df (np. z testu Welcha) są dozwolone.
3. Wybierz kierunek testu. Domyślny jest test dwustronny. Test jednostronny wybierz tylko wtedy, gdy kierunek hipotezy zapisałeś przed zebraniem danych (więcej w haśle test jednostronny i dwustronny). Dla χ² i F pole jest zablokowane, bo te testy zawsze patrzą na prawy ogon rozkładu.
4. Podaj α. Zwykle .05. Kalkulator pokaże wartość krytyczną dla tego poziomu i powie, czy p jest od niego mniejsze.

Wynik ma trzy części: wartość p w zapisie APA, dokładną wartość (przy bardzo małych p w postaci potęgi dziesięciu) oraz gotowy zapis statystyki do skopiowania.

Wzory

Wartość p to pole pod krzywą rozkładu statystyki testowej, liczone od uzyskanej wartości w stronę wartości jeszcze bardziej skrajnych – przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Dla rozkładów symetrycznych (z, t) test dwustronny sumuje oba ogony:

Dla χ² i F, które nie przyjmują wartości ujemnych, liczy się prawy ogon:

Korelację Pearsona przelicza się na statystykę t o n − 2 stopniach swobody, a wartość krytyczną t – z powrotem na r:

Wartość krytyczna to taka wartość statystyki, przy której ogon ma pole α (dwustronnie: α/2 w każdym ogonie). Wynik jest istotny na poziomie α dokładnie wtedy, gdy |statystyka| przekracza wartość krytyczną, czyli gdy p < α.

Pola pod krzywymi kalkulator liczy z regularyzowanych niekompletnych funkcji gamma (rozkład normalny i χ²) oraz beta (t i F). Ułamki łańcuchowe tych funkcji liczy zmodyfikowaną metodą Lentza, która wyznacza ułamek od początku i ma wbudowaną kontrolę błędu (Lentz, 1976). Wartości krytyczne znajduje przez bisekcję. Na 62 przypadkach testowych, także skrajnych (t przy df = 1 i df = 1 000 000, p rzędu 10⁻⁸⁶), różnica względem funkcji pt, pchisq, pf, qt i pokrewnych z R nie przekroczyła 2 × 10⁻¹².

Przykład liczbowy

Domyślne wartości kalkulatora to pięć wyników, jakie student może znaleźć w artykule albo na wydruku. Tak wyglądają policzone dla nich wartości p i wartości krytyczne przy α = .05.

Wszystkie pięć wyników przekracza swoje wartości krytyczne, więc każde p jest mniejsze od .05. Przy t(48) widać też, że wartość jednostronna jest dokładnie połową dwustronnej – ale tylko wtedy, gdy wynik wypadł w przewidywanym kierunku. Gdyby t wyniosło −2.31, a hipoteza jednostronna zakładała wartość większą, p byłoby bliskie 1.

Ta sama wartość t = 2.31 daje różne p w zależności od stopni swobody: przy df = 5 – .069, przy df = 10 – .044, przy df = 30 – .028, przy df = 48 – .025, przy df = 100 – .023, a w rozkładzie normalnym (df → ∞) – .021. Dlatego przepisując wynik, nie gub df.

Wzór dla korelacji sprawdzono też na danych symulowanych (n = 60). Funkcja cor.test dała r = .27 i p = .037 – dokładnie tyle samo, ile daje przeliczenie r na t(58).

# t(48) = 2.31: dwustronnie i jednostronnie
p_t <- 2 * pt(2.31, df = 48, lower.tail = FALSE)
c(dwustronnie = p_t, jednostronnie = pt(2.31, 48, lower.tail = FALSE))
qt(0.025, 48, lower.tail = FALSE)                   # wartość krytyczna dla α = .05 dwustronnie
qt(0.05, 48, lower.tail = FALSE)                    # jednostronnie
# z = 2.17
c(p_z = 2 * pnorm(2.17, lower.tail = FALSE), z_kryt = qnorm(0.025, lower.tail = FALSE))
# chi2(2) = 7.82
c(p_chi2 = pchisq(7.82, 2, lower.tail = FALSE), chi2_kryt = qchisq(0.05, 2, lower.tail = FALSE))
# F(2, 87) = 3.47
c(p_F = pf(3.47, 2, 87, lower.tail = FALSE), F_kryt = qf(0.05, 2, 87, lower.tail = FALSE))
# r = .28, n = 60
r <- 0.28; n <- 60
t_r <- r * sqrt(n - 2) / sqrt(1 - r^2)
t_kr <- qt(0.025, n - 2, lower.tail = FALSE)
c(t = t_r, p_r = 2 * pt(t_r, n - 2, lower.tail = FALSE), r_kryt = t_kr / sqrt(t_kr^2 + n - 2))
# kontrola: cor.test na danych symulowanych daje tę samą wartość p co wzór
set.seed(1015)
x <- rnorm(60); y <- 0.3 * x + rnorm(60)
ct <- cor.test(x, y)
r_s <- unname(ct$estimate)
c(r = r_s, p_cor.test = ct$p.value,
  p_wzor = 2 * pt(abs(r_s) * sqrt(58) / sqrt(1 - r_s^2), 58, lower.tail = FALSE))
# ta sama statystyka t przy różnych df
sapply(c(5, 10, 30, 48, 100, Inf), function(d) round(2 * pt(2.31, d, lower.tail = FALSE), 4))

  dwustronnie jednostronnie
   0.02523294    0.01261647
[1] 2.010635
[1] 1.677224
       p_z     z_kryt
0.03000685 1.95996398
   p_chi2 chi2_kryt
0.0200405 5.9914645
       p_F     F_kryt
0.03548855 3.10129576
         t        p_r     r_kryt
2.22126716 0.03025077 0.25420429
         r p_cor.test     p_wzor
0.26976628 0.03711833 0.03711833
[1] 0.0689 0.0435 0.0279 0.0252 0.0229 0.0209

Jak interpretować wartość p

Wartość p mówi, jak bardzo dane są niezgodne z modelem statystycznym, w którym hipoteza zerowa jest prawdziwa. Wasserstein i Lazar (2016) w oświadczeniu Amerykańskiego Towarzystwa Statystycznego podkreślają, że p nie mierzy prawdopodobieństwa prawdziwości hipotezy ani wielkości efektu, a wnioski nie powinny zależeć wyłącznie od przekroczenia progu istotności.

• p = .025 nie oznacza 2.5% szans, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. To prawdopodobieństwo wyniku co najmniej tak skrajnego przy założeniu, że H0 jest prawdziwa. Greenland i in. (2016) zebrali 25 takich błędnych odczytań wartości p, przedziałów ufności i mocy.
• Mała wartość p nie znaczy, że efekt jest duży. Przy dużej próbie nawet słaby związek daje bardzo małe p. Zawsze podawaj wielkość efektu, np. d Cohena, i przedział ufności; ten drugi policzysz w kalkulatorze przedziału ufności.
• p ≥ α nie dowodzi braku efektu. Oznacza tylko, że dane nie pozwalają odrzucić H0 przy przyjętym poziomie istotności. Lakens (2021) proponuje uzupełnić zestaw narzędzi o testy równoważności i testy minimalnego efektu, gdy pytanie dotyczy właśnie tego, czy efekt jest pomijalny.
• Próg .05 jest umowny. Benjamin i in. (2018) zaproponowali obniżenie domyślnego progu do .005 dla twierdzeń o nowych odkryciach. Jeśli przyjmujesz inny poziom α niż .05, ustal go przed analizą i napisz o tym w metodzie.

Jak wartość p powstaje z rozkładu z prób i pola pod krzywą, krok po kroku pokazuje wpis p value krok po kroku. Najczęstsze błędne interpretacje wraz z symulacjami omawia wpis wartość p – jak ją poprawnie interpretować.

Ograniczenia

• Kalkulator ufa wpisanej statystyce. Jeśli test był źle dobrany albo założenia są poważnie naruszone, poprawnie policzone p nadal będzie mylące. Kalkulator nie sprawdza założeń.
• Test jednostronny wymaga uzasadnienia. Ruxton i Neuhäuser (2010) piszą, że jest on uzasadniony tylko wtedy, gdy autor potrafi wyjaśnić, dlaczego interesuje go jeden kierunek i dlaczego duży efekt w przeciwnym kierunku potraktowałby tak samo jak brak efektu. Przełączenie na test jednostronny po zobaczeniu wyniku to forma p-hackingu.
• Jedna wartość p z wielu testów. Przy wielu porównaniach rośnie ryzyko błędu I rodzaju. Kalkulator liczy p dla jednego testu; do korekty użyj np. korekty Bonferroniego albo metody Holma.
• Zaokrąglone dane wejściowe. Statystyki przepisane z artykułu są zwykle zaokrąglone do dwóch miejsc, więc trzecie miejsce po kropce w p może się nieznacznie różnić od wartości z oryginalnego wydruku.
• Bardzo małe p. Wartości poniżej 10⁻³⁰⁰ wychodzą poza zakres liczb w przeglądarce; kalkulator informuje wtedy, że p jest mniejsze od tej granicy. W pracy i tak piszesz „p < .001”.

Zapis w pracy (APA)

Podaj symbol statystyki kursywą, stopnie swobody w nawiasie, wartość statystyki z dwoma miejscami po kropce i dokładne p. Przewodnik APA Style zaleca dokładne wartości p z dwoma lub trzema miejscami po kropce, zapis „p < .001” dla mniejszych wartości i pomijanie zera przed kropką dla statystyk, które nie mogą przekroczyć 1 (American Psychological Association, 2024). Nie pisz „p = .000”.

W prawdziwym opisie uzupełnij te zdania o średnie, wielkość efektu i przedział ufności – wzory pełnych zdań znajdziesz we wpisie jak opisać wyniki w stylu APA. Przy teście jednostronnym dopisz to wprost, np. „t(48) = 2.31, p = .013, test jednostronny”. Jeśli nie wiesz, który test wybrać albo jak opisać wynik, możesz skorzystać z pomocy w analizie dla studentów.

Najczęstsze pytania

Jak policzyć dokładne p, gdy w artykule jest tylko t i df?

Wpisz w kalkulator wartość t i stopnie swobody, wybierz test dwustronny i odczytaj p. Dla t(48) = 2.31 wychodzi p = .025. Ponieważ statystyki w artykułach są zaokrąglone, trzecie miejsce po kropce może się nieznacznie różnić od oryginału.

Dlaczego dla chi-kwadrat i F nie ma testu dwustronnego?

Statystyki χ² i F rosną wraz z odchyleniem danych od hipotezy zerowej w dowolnym kierunku, więc wszystkie „skrajne” wyniki leżą w prawym ogonie rozkładu. Dlatego p liczy się z prawego ogona, a test i tak wykrywa różnice w obu kierunkach.

Jak sprawdzić, czy korelacja jest istotna bez programu statystycznego?

Przelicz r na t = r√(n − 2)/√(1 − r²) i odczytaj p z rozkładu t o n − 2 stopniach swobody; kalkulator robi to automatycznie. Dla r = .28 i n = 60 wychodzi t(58) = 2.22 i p = .030, a wartość krytyczna przy α = .05 wynosi .254.

Czy jednostronne p to zawsze połowa dwustronnego?

Tylko wtedy, gdy wynik wypadł w kierunku przewidzianym przez hipotezę. Dla t(48) = 2.31 jednostronne p wynosi .013, czyli połowę z .025. Gdyby t wyniosło −2.31 przy hipotezie o wartości większej, jednostronne p byłoby bliskie 1.

Jaka jest wartość krytyczna t dla α = .05?

Zależy od stopni swobody i kierunku testu. Dla df = 48 dwustronnie wynosi 2.011, a jednostronnie 1.677; przy df = 1 dwustronna wartość to aż 12.706, a przy bardzo dużych df zbliża się do 1.960 z rozkładu normalnego.

Powiązane hasła

Przeczytaj też

@misc{apa2024numbers, author={{American Psychological Association}}, title={{APA Style numbers and statistics guide}}, howpublished={APA Style}, year={2024}, publisher={American Psychological Association}, url={https://apastyle.apa.org/instructional-aids/numbers-statistics-guide.pdf}}

@article{benjamin2018redefine, author={Benjamin, Daniel J. and Berger, James O. and Johannesson, Magnus and Nosek, Brian A. and Wagenmakers, Eric-Jan and Berk, Richard and Bollen, Kenneth A. and Brembs, Björn and Brown, Lawrence and Camerer, Colin and Cesarini, David and Chambers, Christopher D. and Clyde, Merlise and Cook, Thomas D. and De Boeck, Paul and Dienes, Zoltan and Dreber, Anna and Easwaran, Kenny and Efferson, Charles and others}, title={{Redefine statistical significance}}, journal={Nature Human Behaviour}, year={2018}, volume={2}, number={1}, pages={6--10}, doi={10.1038/s41562-017-0189-z}}

@article{greenland2016statistical, author={Greenland, Sander and Senn, Stephen J. and Rothman, Kenneth J. and Carlin, John B. and Poole, Charles and Goodman, Steven N. and Altman, Douglas G.}, title={{Statistical tests, P values, confidence intervals, and power: A guide to misinterpretations}}, journal={European Journal of Epidemiology}, year={2016}, volume={31}, number={4}, pages={337--350}, doi={10.1007/s10654-016-0149-3}}

@article{lakens2021practical, author={Lakens, Daniël}, title={{The practical alternative to the p value is the correctly used p value}}, journal={Perspectives on Psychological Science}, year={2021}, volume={16}, number={3}, pages={639--648}, doi={10.1177/1745691620958012}}

@article{lentz1976generating, author={Lentz, William J.}, title={{Generating Bessel functions in Mie scattering calculations using continued fractions}}, journal={Applied Optics}, year={1976}, volume={15}, number={3}, pages={668}, doi={10.1364/ao.15.000668}}

@article{ruxton2010when, author={Ruxton, Graeme D. and Neuhäuser, Markus}, title={{When should we use one-tailed hypothesis testing?}}, journal={Methods in Ecology and Evolution}, year={2010}, volume={1}, number={2}, pages={114--117}, doi={10.1111/j.2041-210x.2010.00014.x}}

@article{wasserstein2016asa, author={Wasserstein, Ronald L. and Lazar, Nicole A.}, title={{The ASA statement on p-values: Context, process, and purpose}}, journal={The American Statistician}, year={2016}, volume={70}, number={2}, pages={129--133}, doi={10.1080/00031305.2016.1154108}}