Kalkulator przedziału ufności: średnia, proporcja, korelacja i różnica średnich

Autor: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 26 października 2026

Kalkulator przedziału ufności online

Wybierz, co szacujesz, wpisz statystyki z próby i poziom ufności. Kalkulator liczy wszystko w Twojej przeglądarce i niczego nie wysyła. Jako separatora dziesiętnego możesz użyć kropki albo przecinka.

Wyniki kalkulatora sprawdziliśmy z R na 87 przypadkach testowych, także skrajnych (np. 0 „sukcesów”, dwie osoby w próbie, ułamkowe stopnie swobody). Różnice nie przekraczały jednej milionowej, czyli są niewidoczne po zaokrągleniu.

Jak używać kalkulatora

Przedział ufności to zakres wartości parametru zgodnych z danymi przy przyjętej metodzie. Zanim cokolwiek wpiszesz, ustal, jaki parametr szacujesz. Od tego zależy wzór, a pomyłka w wyborze daje przedział poprawny rachunkowo, ale odpowiadający na inne pytanie.

1. Średnia. Masz jedną grupę i wynik ilościowy, np. sumę skali stresu. Wpisz M, SD i n z tabeli statystyk opisowych. Odchylenie musi być odchyleniem z próby (z mianownikiem n − 1), a nie błędem standardowym. SPSS i jamovi podają oba, więc łatwo je pomylić.
2. Proporcja. Masz odpowiedź tak/nie albo odsetek osób w jednej kategorii. Wpisz liczbę osób z tą odpowiedzią (x) i liczebność próby (n), a nie procent. Kalkulator poda przedział Wilsona i, dla porównania, przedział Walda.
3. Korelacja. Masz współczynnik korelacji Pearsona i liczbę osób z kompletnymi danymi w obu zmiennych. Przy usuwaniu braków parami n może być inne dla każdej pary zmiennych.
4. Różnica dwóch średnich. Masz dwie niezależne grupy. Kalkulator liczy różnicę M₁ − M₂, więc kolejność grup decyduje o znaku. Dla tych samych osób zmierzonych dwa razy ten wariant się nie nadaje. Wtedy policz przedział dla średniej różnic: wpisz w wariancie „Średnia” średnią i SD różnic oraz liczbę par.

Poziom ufności wpisz w procentach. Najczęściej to 95%, co odpowiada poziomowi istotności α = .05 w teście dwustronnym. Pole „Gotowy zapis wyniku” podaje zdanie w stylu APA, które możesz skopiować i dopasować do swojej pracy.

Wzory, których używa kalkulator

Średnia: rozkład t

Wartość krytyczną bierzesz z rozkładu t o n − 1 stopniach swobody, a nie z rozkładu normalnego. Przy małej próbie ta różnica jest wyraźna: dla n = 5 mnożnik wynosi 2.776 zamiast 1.96.

Proporcja: przedział Wilsona

Przedział Walda to prostsze p ± z √(p(1 − p)/n). Brown i in. (2001) pokazali, że jego rzeczywiste pokrycie zmienia się chaotycznie i bywa znacznie niższe od deklarowanego, także przy dużych próbach. Zalecają przedział Wilsona lub Jeffreysa przy małych n. Agresti i Coull (1998) doszli do podobnego wniosku: przedział Wilsona ma pokrycie bliskie nominalnemu nawet przy bardzo małych próbach. Więcej o metodach dla proporcji znajdziesz w haśle przedział ufności dla proporcji.

Korelacja: transformacja Fishera

Rozkład r jest skośny, gdy korelacja w populacji jest daleka od zera. Dlatego przedział liczy się na skali z′, gdzie rozkład jest w przybliżeniu normalny, a granice przelicza z powrotem na skalę korelacji. Przedział wychodzi niesymetryczny wokół r i nigdy nie przekracza ±1.

Różnica dwóch średnich: Welch

To przedział z testu Welcha (Welch, 1947). Nie zakłada równych wariancji, więc stopnie swobody są zwykle ułamkowe. Delacre i in. (2017) zalecają test Welcha jako wybór domyślny w psychologii, bo przy równych wariancjach traci niewiele, a przy nierównych lepiej kontroluje błąd I rodzaju.

Przykład w R z domyślnymi wartościami kalkulatora

Domyślne wartości w kalkulatorze to cztery krótkie scenariusze z pracy dyplomowej (dane przykładowe). Wszystkie liczby poniżej pochodzą z kodu R pokazanego niżej.

Średnia. Błąd standardowy wynosi 6.2/√48 = 0.895, a wartość krytyczna t dla 47 stopni swobody to 2.012. Margines błędu ma więc 1.80 punktu, a przedział – od 22.80 do 26.40. Funkcja t.test() na danych o tej samej średniej i SD daje identyczne granice. Przy 99% przedział rozszerza się do [22.20, 27.00], a przy 90% zwęża do [23.10, 26.10].

Proporcja. Przy 6 osobach z 40 przedział Wilsona [.071, .291] jest przesunięty w stronę 0.5 względem oszacowania .150, a przedział Walda [.039, .261] jest symetryczny. Która metoda jest lepsza, pokazuje rzeczywiste pokrycie, policzone w R dokładnie z rozkładu dwumianowego. Przy prawdziwej proporcji .15 i n = 40 nominalnie 95-procentowy przedział Walda obejmuje ją w 93.9% prób, a przedział Wilsona w 95.8%. Przy proporcji .05 pokrycie Walda spada do 86.8%, a Wilsona wynosi 95.2%.

Korelacja. Dla r = .32 wartość z′ = 0.3316, a SE = 1/√82 = 0.1104. Granice na skali z′ to 0.1152 i 0.5481, a po powrocie na skalę korelacji – .115 i .499. Od r do dolnej granicy jest 0.21, a do górnej 0.18. Funkcja cor.test() daje te same granice.

Różnica średnich. SE różnicy wynosi 1.676, a df Welcha 58.53. Przedział [−7.05, −0.35] jest identyczny z wynikiem t.test(), w którym test Welcha jest ustawieniem domyślnym: t(58.53) = −2.21, p = .031. Klasyczny przedział Studenta z założeniem równych wariancji dałby [−7.13, −0.27].

# Kalkulator przedziału ufności (K5) – przykład liczbowy z domyślnymi wartościami kalkulatora.
# Uruchomienie z folderu kod/: LANG=en_US.UTF-8 LC_ALL=en_US.UTF-8 Rscript k5-przyklad.R > k5-przyklad-wynik.txt
library(MASS)    # mvrnorm(empirical = TRUE): dane o dokładnie zadanej korelacji
options(width = 100)
dane_ms <- function(n, m, s, ziarno) { set.seed(ziarno); m + s * as.numeric(scale(rnorm(n))) }

# 1. Średnia: wynik skali stresu (0–40), M = 24.6, SD = 6.2, n = 48
M <- 24.6; SD <- 6.2; n <- 48
se <- SD / sqrt(n); t_kr <- qt(.975, df = n - 1)
round(c(SE = se, t_kr = t_kr, margines = t_kr * se, dolna = M - t_kr * se, gorna = M + t_kr * se), 3)
stres <- dane_ms(n, M, SD, 48)                 # dane o dokładnie takiej M i SD
t.test(stres)$conf.int                          # to samo z t.test()
round(M + c(-1, 1) * qt(.995, n - 1) * se, 2)   # 99% CI
round(M + c(-1, 1) * qt(.95, n - 1) * se, 2)    # 90% CI
round(c(t_n5 = qt(.975, 4), z = qnorm(.975)), 3) # mnożnik dla n = 5 i dla rozkładu normalnego

# 2. Proporcja: 6 z 40 osób zgłasza objawy wypalenia
x <- 6; np <- 40; p <- x / np; z <- qnorm(.975)
wilson <- prop.test(x, np, correct = FALSE)$conf.int    # przedział Wilsona (score)
wald <- p + c(-1, 1) * z * sqrt(p * (1 - p) / np)
round(c(p = p, wilson_dolna = wilson[1], wilson_gorna = wilson[2], wald_dolna = wald[1], wald_gorna = wald[2]), 4)
# rzeczywiste pokrycie obu metod przy prawdziwym pi = .15 i n = 40 (dokładnie, z rozkładu dwumianowego)
pokrycie <- function(pi, n) {
  k <- 0:n; ph <- k / n; w <- dbinom(k, n, pi)
  wl <- sapply(k, function(i) suppressWarnings(prop.test(i, n, correct = FALSE))$conf.int)
  c(Wald = sum(w[abs(ph - pi) <= z * sqrt(ph * (1 - ph) / n)]),
    Wilson = sum(w[wl[1, ] <= pi & pi <= wl[2, ]]))
}
round(pokrycie(.15, 40), 3)
round(pokrycie(.05, 40), 3)

# 3. Korelacja: r = .32 między wsparciem społecznym a satysfakcją z życia, n = 85
r <- .32; nr <- 85
zr <- atanh(r); se_z <- 1 / sqrt(nr - 3)
round(c(z = zr, SE = se_z, z_dolna = zr - z * se_z, z_gorna = zr + z * se_z,
        r_dolna = tanh(zr - z * se_z), r_gorna = tanh(zr + z * se_z)), 4)
set.seed(85)
xy <- mvrnorm(nr, c(0, 0), matrix(c(1, r, r, 1), 2), empirical = TRUE)
cor.test(xy[, 1], xy[, 2])$conf.int             # to samo z cor.test()

# 4. Różnica średnich (Welch): lęk egzaminacyjny po treningu (n = 30) i w grupie kontrolnej (n = 34)
m1 <- 22.1; s1 <- 5.4; n1 <- 30; m2 <- 25.8; s2 <- 7.9; n2 <- 34
v1 <- s1^2 / n1; v2 <- s2^2 / n2; se_r <- sqrt(v1 + v2)
df_w <- (v1 + v2)^2 / (v1^2 / (n1 - 1) + v2^2 / (n2 - 1))
round(c(roznica = m1 - m2, SE = se_r, df = df_w, t_kr = qt(.975, df_w),
        dolna = m1 - m2 - qt(.975, df_w) * se_r, gorna = m1 - m2 + qt(.975, df_w) * se_r), 3)
t.test(dane_ms(n1, m1, s1, 30), dane_ms(n2, m2, s2, 34))   # Welch: domyślne ustawienie t.test()
# dla porównania klasyczny przedział Studenta (równe wariancje)
round(t.test(dane_ms(n1, m1, s1, 30), dane_ms(n2, m2, s2, 34), var.equal = TRUE)$conf.int, 2)

      SE     t_kr margines    dolna    gorna 
   0.895    2.012    1.800   22.800   26.400 
[1] 22.79971 26.40029
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
[1] 22.2 27.0
[1] 23.1 26.1
 t_n5     z 
2.776 1.960 
           p wilson_dolna wilson_gorna   wald_dolna   wald_gorna 
      0.1500       0.0706       0.2907       0.0393       0.2607 
  Wald Wilson 
 0.939  0.958 
  Wald Wilson 
 0.868  0.952 
      z      SE z_dolna z_gorna r_dolna r_gorna 
 0.3316  0.1104  0.1152  0.5481  0.1147  0.4991 
[1] 0.1146983 0.4990865
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
roznica      SE      df    t_kr   dolna   gorna 
 -3.700   1.676  58.527   2.001  -7.053  -0.347 

	Welch Two Sample t-test

data:  dane_ms(n1, m1, s1, 30) and dane_ms(n2, m2, s2, 34)
t = -2.2082, df = 58.527, p-value = 0.03116
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -7.0534062 -0.3465938
sample estimates:
mean of x mean of y 
     22.1      25.8 

[1] -7.13 -0.27
attr(,"conf.level")
[1] 0.95

Jak interpretować wynik

Poprawne zdanie brzmi tak: metoda, której użyto, w 95% powtórzonych prób daje przedział obejmujący prawdziwą wartość. O jednym, konkretnym przedziale nie wolno powiedzieć, że z prawdopodobieństwem 95% zawiera parametr. Ten błąd jest bardzo powszechny. Hoekstra i in. (2014) pokazali, że studenci psychologii i badacze akceptowali średnio ponad trzy z sześciu fałszywych interpretacji przedziału ufności, a doświadczenie badaczy nie chroniło przed błędami.

W praktyce czytaj przedział jako zakres wartości zgodnych z danymi. Zwróć uwagę na trzy rzeczy:

• Szerokość. Przedział [22.80, 26.40] dla średniej stresu jest wąski względem skali 0–40. Przedział [.11, .50] dla korelacji jest szeroki: dane pasują zarówno do słabego, jak i do dość silnego związku. To informacja o precyzji, której sama wartość p nie daje.
• Położenie wobec zera. Przedział dla różnicy średnich [−7.05, −0.35] nie obejmuje zera, co odpowiada wynikowi istotnemu na poziomie .05. Górna granica leży jednak blisko zera, więc dane są zgodne także z bardzo małą różnicą.
• Znaczenie praktyczne. Porównaj granice z wartością, która w Twoim temacie ma znaczenie, np. z różnicą odczuwalną dla badanych. Cumming (2014) proponuje, żeby wnioskowanie opierać na wielkości efektu i jej przedziale ufności, a nie na samej decyzji „istotne – nieistotne”.

Jeśli przedział jest za szeroki, by cokolwiek rozstrzygnąć, potrzebujesz większej próby. Ile osób zbadać, żeby przedział miał zadaną szerokość, policzysz w kalkulatorze liczebności próby. Gdy potrzebujesz samej wartości p albo wartości krytycznej, użyj kalkulatora wartości p.

Ograniczenia kalkulatora

• Założenia metod. Przedział dla średniej i dla różnicy średnich zakłada rozkład normalny albo próbę na tyle dużą, by średnia miała rozkład zbliżony do normalnego. Przy małej próbie i silnej skośności sprawdź rozkład (zob. jak sprawdzić normalność rozkładu).
• Korelacja przy danych nienormalnych. Bishara i Hittner (2017) wykazali, że brak normalności potrafi obniżyć rzeczywiste pokrycie 95-procentowego przedziału Fishera nawet do 68%, a zwiększenie próby czasem pogarszało problem. Ryzyko wskazywały kurtoza co najmniej 2, skośność co najmniej 1 w wartości bezwzględnej albo istotne testy normalności. W takiej sytuacji rozważ korelację Spearmana i opisz to w pracy.
• Tylko próby niezależne. Wariant Welcha nie nadaje się do pomiarów powtarzanych ani do par. Do nich użyj wariantu „Średnia” dla różnic, jak w poradniku test t Studenta krok po kroku.
• Prosty dobór losowy. Wszystkie wzory zakładają niezależne obserwacje. Przy próbie warstwowej, klastrowej albo przy wagach sondażowych przedział wychodzi zbyt wąski. Wtedy, a także przy marginesie błędu w sondażu z poprawką na populację skończoną, kalkulator nie wystarczy.
• Jedna proporcja i jedna korelacja. Kalkulator nie porównuje dwóch proporcji ani dwóch korelacji. Do różnicy proporcji zajrzyj do hasła test dla dwóch proporcji.

Jeśli Twoje dane wymagają innej metody, np. bootstrapu, modelu mieszanego albo przedziałów dla wielkości efektu, możesz skorzystać z pomocy w analizie danych do pracy dyplomowej. Wyjaśnimy wynik tak, żebyś umiał(a) go samodzielnie opisać.

Jak zapisać przedział ufności w APA

W stylu APA 7 podaj poziom ufności przy pierwszym przedziale, a granice w nawiasach kwadratowych, oddzielone przecinkiem: „95% CI [22.80, 26.40]”. Liczba miejsc po przecinku granic ma być taka sama jak oszacowania. Dla korelacji i proporcji pomiń zero przed kropką, bo te wartości nie przekraczają 1. Gdy w tekście jest wiele przedziałów tego samego poziomu, możesz napisać „95% CI” tylko przy pierwszym. Więcej gotowych zdań znajdziesz we wpisie jak opisać wyniki w stylu APA.

W części „Metoda” albo w opisie analiz dopisz, jaką metodą liczono przedziały, np. „Przedziały ufności dla proporcji obliczono metodą Wilsona, a dla korelacji – z transformacją Fishera”. Recenzent nie musi wtedy zgadywać, skąd wzięły się niesymetryczne granice.

Najczęstsze pytania

Jak policzyć przedział ufności dla średniej, mając tylko M, SD i n?

Podziel SD przez √n, żeby dostać błąd standardowy, i pomnóż go przez wartość krytyczną t dla n − 1 stopni swobody (dla 95% i n = 48 to 2.012). Wynik odejmij od średniej i dodaj do niej. Dla M = 24.6, SD = 6.2 i n = 48 daje to 95% CI [22.80, 26.40].

Dlaczego przedział Wilsona jest lepszy od przedziału Walda?

Przedział Walda ma rzeczywiste pokrycie często niższe od deklarowanego, zwłaszcza gdy proporcja jest bliska 0 lub 1, i potrafi wyjść poza zakres 0–1. Przedział Wilsona trzyma pokrycie blisko nominalnego nawet przy małych próbach (Agresti i Coull, 1998; Brown i in., 2001). Przy prawdziwej proporcji .15 i n = 40 pokrycie 95-procentowego Walda wynosi 93.9%, a Wilsona 95.8%.

Dlaczego przedział ufności dla korelacji nie jest symetryczny wokół r?

Bo liczy się go na skali z′ Fishera, gdzie rozkład jest w przybliżeniu normalny, a potem granice przelicza z powrotem na skalę korelacji. Dla r = .32 i n = 85 przedział [.11, .50] sięga 0.21 w dół i 0.18 w górę. Im bliżej ±1, tym większa asymetria.

Co oznacza, że przedział dla różnicy średnich prawie dotyka zera?

Przedział niezawierający zera odpowiada wynikowi istotnemu na danym poziomie, ale granica blisko zera mówi, że dane są zgodne także z bardzo małą różnicą. Przedział [−7.05, −0.35] wskazuje różnicę od niemal zerowej do około siedmiu punktów. Opisz obie granice, a nie tylko decyzję o istotności.

Jaki poziom ufności wybrać do pracy dyplomowej?

Standardem w psychologii jest 95%, który odpowiada testom dwustronnym na poziomie α = .05. Inny poziom, np. 90% przy testach równoważności, wybierz przed analizą i uzasadnij. Wyższy poziom ufności daje szerszy przedział: dla średniej stresu 99% CI to [22.20, 27.00], a 90% CI to [23.10, 26.10].

Powiązane hasła

Przeczytaj też

@article{agresti1998approximate, author={Agresti, Alan and Coull, Brent A.}, title={{Approximate is better than “exact” for interval estimation of binomial proportions}}, journal={The American Statistician}, year={1998}, volume={52}, number={2}, pages={119--126}, doi={10.1080/00031305.1998.10480550}}

@article{bishara2017confidence, author={Bishara, Anthony J. and Hittner, James B.}, title={{Confidence intervals for correlations when data are not normal}}, journal={Behavior Research Methods}, year={2017}, volume={49}, number={1}, pages={294--309}, doi={10.3758/s13428-016-0702-8}}

@article{brown2001interval, author={Brown, Lawrence D. and Cai, T. Tony and DasGupta, Anirban}, title={{Interval estimation for a binomial proportion}}, journal={Statistical Science}, year={2001}, volume={16}, number={2}, pages={101--133}, doi={10.1214/ss/1009213286}}

@article{cumming2014new, author={Cumming, Geoff}, title={{The new statistics: Why and how}}, journal={Psychological Science}, year={2014}, volume={25}, number={1}, pages={7--29}, doi={10.1177/0956797613504966}}

@article{delacre2017why, author={Delacre, Marie and Lakens, Daniël and Leys, Christophe}, title={{Why psychologists should by default use Welch's t-test instead of Student's t-test}}, journal={International Review of Social Psychology}, year={2017}, volume={30}, number={1}, pages={92--101}, doi={10.5334/irsp.82}}

@article{hoekstra2014robust, author={Hoekstra, Rink and Morey, Richard D. and Rouder, Jeffrey N. and Wagenmakers, Eric-Jan}, title={{Robust misinterpretation of confidence intervals}}, journal={Psychonomic Bulletin \& Review}, year={2014}, volume={21}, number={5}, pages={1157--1164}, doi={10.3758/s13423-013-0572-3}}

@article{welch1947generalization, author={Welch, B. L.}, title={{The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved}}, journal={Biometrika}, year={1947}, volume={34}, number={1–2}, pages={28--35}, doi={10.1093/biomet/34.1-2.28}}