Słownik metodologiczny · Wnioskowanie statystyczne

Przedział ufności dla proporcji – Wald, Wilson czy Agresti–Coull?

Przy proporcjach podręcznikowy przedział Walda często zawodzi, zwłaszcza przy małej próbie i odsetku bliskim 0. Porównujemy cztery metody na przykładzie z R i podpowiadamy, którą wybrać.

Strona główna / Słownik / Przedział ufności dla proporcji

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: Przedział ufności dla proporcji pokazuje, jakie odsetki w populacji są zgodne z danymi. Przedział Walda zawodzi przy małym n i odsetkach bliskich 0 lub 100%; używaj przedziału Wilsona (przy małych próbach) lub Agrestiego–Coulla i zawsze podawaj metodę.

Co to jest przedział ufności dla proporcji?

Przedział ufności dla proporcji (ang. confidence interval for a proportion) to zakres wartości odsetka w populacji, które są zgodne z odsetkiem p = x/n zaobserwowanym w próbie. Ogólną logikę przedziałów opisuje hasło przedział ufności. Tutaj liczy się przede wszystkim wybór metody, bo przy proporcjach podręcznikowy wzór często zawodzi.

Wald, Wilson i Agresti–Coull

  • Przedział Walda: p ± 1.96·√[p(1 − p)/n], gdzie pierwiastek to błąd standardowy proporcji. Jest prosty, ale Brown i in. (2001) pokazali, że jego pokrycie jest chaotyczne i zawodzi częściej, niż się sądzi, a reguły typu „np ≥ 5” nie chronią przed tym.
  • Przedział Wilsona odwraca test score. Jego pokrycie jest bliskie 95% nawet przy bardzo małych próbach (Agresti i Coull, 1998). Brown i in. (2001) zalecają go przy małym n.
  • Przedział Agrestiego–Coulla to przedział Walda po dodaniu mniej więcej dwóch sukcesów i dwóch porażek:
p̃ = (x + z²/2) / (n + z²),   p̃ ± z·√[p̃(1 − p̃)/(n + z²)]

„Dokładny” przedział Cloppera–Pearsona jest z kolei zbyt zachowawczy (Agresti i Coull, 1998).

Przykład

W badaniu pilotażowym 1 z 30 uczestników zrezygnował przed końcem programu (3.3%; dane przykładowe). Przedział Walda wynosi [−3.1%, 9.8%], więc zawiera niemożliwe wartości ujemne. Przedział Wilsona to [0.6%, 16.7%], Agrestiego–Coulla [−0.8%, 18.1%] (dolną granicę obcina się do 0), a Cloppera–Pearsona [0.1%, 17.2%]. Przy prawdziwym odsetku 5% i n = 30 nominalnie 95% przedział Walda obejmuje go tylko w 78.2% prób, a przedział Wilsona – w 93.9%.

Jak opisać w pracy

Przed końcem programu zrezygnowała 1 z 30 osób (3.3%, 95% CI [0.6, 16.7]; przedział Wilsona).

Zawsze podaj metodę, bo przy małym n przedziały różnią się wyraźnie.

Na co uważać

  • Nie używaj przedziału Walda przy małym n ani przy odsetku bliskim 0 lub 100%.
  • Szeroki przedział to informacja. Górna granica 16.7% mówi, że rezygnacja w pełnym badaniu może być kilka razy częstsza niż w pilotażu.
  • W sondażach połowę szerokości przedziału nazywa się marginesem błędu, a porównanie dwóch odsetków opisuje test dla dwóch proporcji. Przy próbie warstwowej lub gronowej uwzględnij efekt schematu.
Przykład reprodukowalny

Przedziały dla proporcji w R

Kod liczy cztery przedziały dla tej samej proporcji funkcjami z pakietu stats i prostymi wzorami. Liczby z przykładu pochodzą z tego kodu.

Wald, Wilson, Agresti–Coull i Clopper–Pearson

Dane wejściowe: 1 rezygnacja na 30 uczestników (dane przykładowe).

Co odczytać: dolną i górną granicę 95% przedziału (jako proporcje) dla każdej metody.

R
x <- 1; n <- 30; z <- qnorm(0.975)
p <- x / n
wald <- p + c(-1, 1) * z * sqrt(p * (1 - p) / n)
wilson <- prop.test(x, n, correct = FALSE)$conf.int              # przedział Wilsona (score)
nt <- n + z^2; pt <- (x + z^2 / 2) / nt                           # Agresti–Coull: ok. +2 sukcesy i +2 porażki
ac <- pt + c(-1, 1) * z * sqrt(pt * (1 - pt) / nt)
cp <- binom.test(x, n)$conf.int                                   # „dokładny” Clopper–Pearson
round(rbind(Wald = wald, Wilson = wilson, AgrestiCoull = ac, ClopperPearson = cp), 3)
Wynik w R
                 [,1]  [,2]
Wald           -0.031 0.098
Wilson          0.006 0.167
AgrestiCoull   -0.008 0.181
ClopperPearson  0.001 0.172

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (funkcje pakietów base i stats).

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

Najczęstsze pytania

Dlaczego przedział Walda dla proporcji bywa ujemny?

Bo jest symetryczny wokół odsetka z próby i nie uwzględnia, że proporcja leży między 0 a 1. Przy małym odsetku i małej próbie dolna granica spada poniżej zera.

Jaką metodę przedziału dla proporcji wybrać przy małej próbie?

Przedział Wilsona: jego pokrycie jest bliskie 95% nawet przy małych próbach. W R daje go prop.test(x, n, correct = FALSE).

Jak policzyć przedział ufności, gdy nikt nie wybrał danej odpowiedzi?

Przy 0 sukcesach przedział Walda ma zerową szerokość, więc jest bezużyteczny. Użyj przedziału Wilsona lub Cloppera–Pearsona, które dają dodatnią górną granicę.

Powiązane hasła

Przedział ufnościMargines błędu w sondażuTest dla dwóch proporcjiBłąd standardowyEfekt schematu (design effect)

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Analiza ankiety do pracy licencjackiej i magisterskiej

Analiza ankiety do pracy dyplomowej: przygotowanie bazy, kodowanie pytań, skale, testy, modele i raport wyników do licencjatu lub magisterki.

Czytaj →Poradnik

Badanie pilotażowe: po co, ile osób, co sprawdzić

Pilotaż a pretest, ile osób zbadać, co sprawdzić w danych i dlaczego nie liczyć mocy z efektu z pilotażu. Z symulacją, kodem R i wzorem opisu.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Agresti, A., & Coull, B. A. (1998). Approximate is better than “exact” for interval estimation of binomial proportions. The American Statistician, 52(2), 119–126. https://doi.org/10.1080/00031305.1998.10480550
  2. Brown, L. D., Cai, T. T., & DasGupta, A. (2001). Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science, 16(2), 101–133. https://doi.org/10.1214/ss/1009213286

Cytowania BibTeX

@article{agresti1998approximate, author={Agresti, Alan and Coull, Brent A.}, title={{Approximate is better than “exact” for interval estimation of binomial proportions}}, journal={The American Statistician}, year={1998}, volume={52}, number={2}, pages={119--126}, doi={10.1080/00031305.1998.10480550}}
@article{brown2001interval, author={Brown, Lawrence D. and Cai, T. Tony and DasGupta, Anirban}, title={{Interval estimation for a binomial proportion}}, journal={Statistical Science}, year={2001}, volume={16}, number={2}, pages={101--133}, doi={10.1214/ss/1009213286}}
R