Kalkulator testu t i ANOVA ze średnich i odchyleń standardowych

Autor: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 2 listopada 2026

Kalkulator testu t i ANOVA ze średnich, SD i liczebności

Jak używać kalkulatora

Do testu t i jednoczynnikowej analizy wariancji nie są potrzebne dane surowe. Wystarczą trzy liczby z każdej grupy: średnia, odchylenie standardowe i liczebność. Wynik jest dokładnie taki sam jak z danych, bo wszystkie sumy kwadratów da się z nich odtworzyć. Kalkulator przyda się, gdy:

• sprawdzasz wynik z artykułu albo pracy, w której podano tylko tabelę statystyk opisowych;
• promotor lub recenzent prosi o test Welcha, a masz już gotową tabelę z SPSS;
• chcesz policzyć wielkość efektu do przeglądu literatury.

1. Liczba grup. Przy jednej grupie kalkulator wykonuje test t dla jednej próby i pyta o wartość odniesienia μ₀. Przy dwóch grupach liczy test t dla prób niezależnych w dwóch wersjach. Od dwóch do ośmiu grup liczy też analizę wariancji.
2. Statystyki opisowe. Wpisz SD z mianownikiem n − 1, czyli takie, jakie podają SPSS, R i Excel (ODCH.STANDARD.PRÓBKI). Jeśli w źródle jest błąd standardowy średniej, przelicz go: SD = SE × √n.
3. Wynik. Pod tabelą pojawiają się testy, wielkości efektu, porównania parami (od trzech grup), wykres średnich z przedziałami ufności i gotowy opis. W polu „Wynik w gotowym opisie” wybierz, czy opis ma się opierać na wersji Welcha, czy na klasycznej.

Kalkulator nie zastępuje dwóch innych narzędzi. Gdy masz już gotowe t albo F z df i potrzebujesz tylko zdania do pracy, skorzystaj z generatora opisu wyników APA. Sam przedział ufności dla średniej albo różnicy średnich policzysz w kalkulatorze przedziału ufności.

Wzory

Dwie grupy. Test t Studenta zakłada równe wariancje i łączy je w jedną, ważoną liczbą stopni swobody. Test Welcha (1947) zostawia wariancje osobno, a stopnie swobody wyznacza przybliżeniem Welcha–Satterthwaite’a, więc zwykle nie są liczbą całkowitą:

Przedział ufności dla różnicy to różnica ± t_kryt × SE z odpowiednim df. d Cohena dzieli różnicę przez łączne s_p. g Hedgesa mnoży d przez poprawkę na obciążenie w małych próbach. Kalkulator używa jej dokładnej postaci z funkcją gamma (Hedges, 1981). Przedziały ufności dla d i g liczone są z przybliżonego, wielkopróbkowego błędu standardowego. To ta sama metoda, którą stosuje funkcja escalc() w pakiecie metafor:

Dwie i więcej grup. Klasyczna ANOVA porównuje zmienność średnich wokół średniej ogólnej M̄ ze zmiennością wewnątrz grup. Obie sumy kwadratów wynikają wprost ze statystyk opisowych:

ANOVA Welcha (1951) waży średnie odwrotnością ich wariancji, w_i = n_i/s_i², i koryguje mianownik oraz df2. Test Browna–Forsythe’a (1974) ma ten sam licznik co klasyczne F, ale w mianowniku sumuje wariancje grup z wagami (1 − n_i/N). Nie myl go z testem Browna–Forsythe’a dla wariancji, czyli wersją testu Levene’a z medianą:

Tu M̃ to średnia ważona wagami w_i, a W – suma wag. Przy dwóch grupach F Welcha i F* są równe kwadratowi t Welcha i mają te same df. Porównania parami Gamesa–Howella (1976) liczą dla każdej pary błąd i df jak w teście Welcha. Statystykę q = |M_i − M_j| √2 / SE porównują z rozkładem studentyzowanego rozstępu dla k grup. Kalkulator liczy ten rozkład całkowaniem numerycznym (kwadratura Gaussa–Legendre’a).

Przykład liczbowy

Trzy grupy ćwiczeniowe zakończyły kurs statystyki tym samym egzaminem (0–100 punktów; dane przykładowe). Grupa na zajęciach tradycyjnych uzyskała M = 66.4, SD = 10.2, n = 24. Grupa ćwicząca w R: M = 74.1, SD = 9.3, n = 22. Grupa z kursem online: M = 63.8, SD = 14.6, n = 20. Odchylenie w grupie online jest o połowę większe niż w grupie z R, więc wersje klasyczne i odporne dają tu nieco inne wyniki.

Wszystkie trzy testy wskazują, że średnie się różnią. Porównania parami pokazują, gdzie leży różnica: grupa ćwicząca w R wypadła lepiej od obu pozostałych, a grupy tradycyjna i online nie różnią się istotnie. Przedział dla pary tradycyjne − online obejmuje wartości od −6.9 do 12.1 punktu. Na podstawie tych danych nie można więc powiedzieć, że obie formy są równoważne.

Teraz wybierz w kalkulatorze dwie grupy: zostaną zajęcia tradycyjne i zajęcia z R. Test Welcha daje t(44.00) = −2.68, p = .010, a różnica wynosi −7.70, 95% CI [−13.49, −1.91]. Test Studenta: t(44) = −2.67, p = .011, 95% CI [−13.52, −1.88]. Wariancje obu grup są podobne, więc wyniki prawie się nie różnią. Wielkość efektu: d = −0.79, 95% CI [−1.39, −0.19], i g = −0.77, 95% CI [−1.37, −0.17]. Ujemny znak oznacza tylko, że pierwsza grupa ma niższą średnią.

# K21 – test t i ANOVA, gdy znasz tylko średnie, odchylenia standardowe i liczebności
suppressPackageStartupMessages(library(metafor))
set.seed(2111)

# Wynik egzaminu ze statystyki (0–100 pkt) w trzech grupach ćwiczeniowych (dane przykładowe)
opis <- data.frame(grupa = c("tradycyjne", "z R", "online"),
                   M = c(66.4, 74.1, 63.8), SD = c(10.2, 9.3, 14.6), n = c(24, 22, 20))

# Dane o dokładnie takich M i SD: funkcje R na tych danych dają wynik "ze statystyk zbiorczych"
odtworz <- function(M, SD, n) M + SD * as.numeric(scale(rnorm(n)))
d <- data.frame(wynik = unlist(Map(odtworz, opis$M, opis$SD, opis$n)),
                grupa = factor(rep(opis$grupa, opis$n), levels = opis$grupa))
aggregate(wynik ~ grupa, d, function(x) round(c(M = mean(x), SD = sd(x), n = length(x)), 2))

# Dwie grupy: tradycyjne vs z R – test t Welcha i Studenta
trad <- d$wynik[d$grupa == "tradycyjne"]; zr <- d$wynik[d$grupa == "z R"]
t.test(trad, zr)                       # Welch (domyślnie w R)
t.test(trad, zr, var.equal = TRUE)     # Student

# d Cohena (łączne SD) i g Hedgesa z 95% CI (wariancja wielkopróbkowa)
round(summary(escalc("SMD", m1i = 66.4, sd1i = 10.2, n1i = 24, m2i = 74.1, sd2i = 9.3, n2i = 22,
                     correct = FALSE))[, c("yi", "ci.lb", "ci.ub")], 3)   # d
round(summary(escalc("SMD", m1i = 66.4, sd1i = 10.2, n1i = 24, m2i = 74.1, sd2i = 9.3, n2i = 22))[, c("yi", "ci.lb", "ci.ub")], 3)   # g

# Trzy grupy: klasyczna ANOVA, η² i ω²
a <- summary(aov(wynik ~ grupa, d))[[1]]; a
ss <- a[["Sum Sq"]]; msw <- a[["Mean Sq"]][2]; k <- nrow(opis)
round(c(eta2 = ss[1] / sum(ss), omega2 = (ss[1] - (k - 1) * msw) / (sum(ss) + msw)), 3)

# ANOVA Welcha i F* Browna–Forsythe’a (wzór z 1974 r.)
oneway.test(wynik ~ grupa, d)
N <- sum(opis$n); c_i <- (1 - opis$n / N) * opis$SD^2
F_bf <- sum(opis$n * (opis$M - weighted.mean(opis$M, opis$n))^2) / sum(c_i)
df2_bf <- 1 / sum((c_i / sum(c_i))^2 / (opis$n - 1))
round(c(F = F_bf, df1 = k - 1, df2 = df2_bf, p = pf(F_bf, k - 1, df2_bf, lower.tail = FALSE)), 4)

# Games–Howell: każda para z błędem i df Welcha, p z rozkładu studentyzowanego rozstępu
pary <- combn(k, 2)
gh <- t(apply(pary, 2, function(p) {
  i <- p[1]; j <- p[2]; v <- opis$SD^2 / opis$n
  se <- sqrt(v[i] + v[j]); df <- (v[i] + v[j])^2 / (v[i]^2 / (opis$n[i] - 1) + v[j]^2 / (opis$n[j] - 1))
  r <- opis$M[i] - opis$M[j]; kr <- qtukey(0.95, k, df) / sqrt(2)
  c(roznica = r, df = df, p = ptukey(abs(r) / se * sqrt(2), k, df, lower.tail = FALSE),
    dolna = r - kr * se, gorna = r + kr * se)
}))
rownames(gh) <- apply(pary, 2, function(p) paste(opis$grupa[p], collapse = " − "))
round(gh, 3)

       grupa wynik.M wynik.SD wynik.n
1 tradycyjne    66.4     10.2    24.0
2        z R    74.1      9.3    22.0
3     online    63.8     14.6    20.0

	Welch Two Sample t-test

data:  trad and zr
t = -2.6781, df = 43.999, p-value = 0.01037
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -13.494443  -1.905557
sample estimates:
mean of x mean of y 
     66.4      74.1 


	Two Sample t-test

data:  trad and zr
t = -2.6672, df = 44, p-value = 0.01066
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -13.518221  -1.881779
sample estimates:
mean of x mean of y 
     66.4      74.1 


       yi   ci.lb   ci.ub 
1 -0.7870 -1.3880 -0.1870 


       yi   ci.lb   ci.ub 
1 -0.7740 -1.3730 -0.1740 

            Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)  
grupa        2 1230.8  615.38   4.694 0.01258 *
Residuals   63 8259.2  131.10                  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
  eta2 omega2 
 0.130  0.101 

	One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  wynik and grupa
F = 5.2299, num df = 2.00, denom df = 39.42, p-value = 0.009672

      F     df1     df2       p 
 4.5176  2.0000 49.1335  0.0158 
                    roznica     df     p   dolna  gorna
tradycyjne − z R       -7.7 43.999 0.027 -14.674 -0.726
tradycyjne − online     2.6 33.079 0.782  -6.900 12.100
z R − online           10.3 31.700 0.029   0.910 19.690

Jak interpretować wynik

Welch czy Student? Domyślnie wybieraj wersję Welcha. Delacre, Lakens i Leys (2017) pokazali, że test Welcha lepiej kontroluje błąd I rodzaju przy nierównych wariancjach i niewiele traci, gdy wariancje są równe. Odradzają też wybór testu na podstawie wstępnego testu równości wariancji. Delacre i in. (2019) przenoszą ten argument na analizę wariancji i zalecają domyślnie F Welcha. Klasyczne wersje warto podać obok, jeśli wymaga tego promotor albo czasopismo. Więcej o założeniu piszemy w haśle homogeniczność wariancji.

Welch czy Brown–Forsythe? Brown i Forsythe (1974) wykazali, że zarówno F*, jak i test Welcha dobrze znoszą nierówne wariancje. Który ma większą moc, zależy od układu średnich i ich błędów standardowych. W praktyce raportuje się zwykle test Welcha, a F* traktuje jako kontrolę. W przykładzie oba prowadzą do tego samego wniosku.

Wielkość efektu. Eta kwadrat (η²) to odsetek zmienności wyniku przypisany grupom w tej próbie. Systematycznie zawyża on efekt w populacji, zwłaszcza przy małych grupach. Omega kwadrat (ω²) koryguje to obciążenie, dlatego Albers i Lakens (2018) odradzają opieranie analiz mocy na η². Gdy grupy prawie się nie różnią, ω² może wyjść ujemne. W raporcie podaje się wtedy 0. Jak opisywać wartości słownie, wyjaśnia wpis o interpretacji wielkości efektu. Przy dwóch grupach podawaj g Hedgesa z przedziałem ufności. Szerokość przedziału pokazuje, jak mało precyzyjna bywa wielkość efektu w małej próbie.

Porównania parami. Games i Howell (1976) porównali w symulacjach kilka metod przy nierównych liczebnościach i wariancjach. Przy co najmniej sześciu osobach w grupie błąd I rodzaju zadowalająco kontrolowała tylko statystyka Behrensa–Fishera, czyli ta sama, której używa test Welcha. Na niej opiera się ich procedura. Wartości p i przedziały w tabeli są już skorygowane na liczbę porównań, więc nie stosuj dodatkowo poprawki Bonferroniego. Przegląd innych procedur znajdziesz w poradniku testy post hoc – który wybrać. Gdy porównujesz tylko kilka zaplanowanych par, możesz zamiast tego wykonać testy Welcha i poprawić je w kalkulatorze poprawek na wielokrotne porównania.

Ograniczenia

• Tylko grupy niezależne. W pomiarach powtarzanych liczy się odchylenie standardowe różnic, którego nie da się odtworzyć ze średnich i SD obu pomiarów. Potrzebna jest jeszcze korelacja między pomiarami. Zobacz hasło test t dla prób zależnych.
• Bez sprawdzenia rozkładu. Statystyki zbiorcze nie mówią nic o skośności ani obserwacjach odstających. Przy małych grupach i silnie skośnych danych sprawdź rozkład na danych surowych, np. w kalkulatorze statystyk opisowych i normalności. Kiedy rozkład ma znaczenie, wyjaśnia wpis o teście t przy rozkładzie nienormalnym.
• Zaokrąglenia. Średnie i SD zaokrąglone do jednego miejsca po przecinku zmieniają t i p w drugim albo trzecim miejscu. Przy sprawdzaniu cudzych wyników traktuj drobne rozbieżności jako efekt zaokrągleń.
• Jeden czynnik. Kalkulator nie liczy ANOVA wieloczynnikowej, interakcji ani analizy kowariancji. Do nich potrzebne są dane surowe, co opisuje poradnik ANOVA krok po kroku.
• Przybliżone CI dla d i g. Przedział z błędu standardowego jest symetryczny i przy bardzo małych grupach albo dużych efektach jest tylko przybliżeniem. Dokładniejsze są przedziały z rozkładu niecentralnego t.
• Porównania parami od trzech grup. Przy dwóch grupach test Gamesa–Howella daje to samo p co test Welcha, więc kalkulator go nie pokazuje.

Zapis w pracy (APA)

Przy teście t podaj średnie i SD obu grup, nazwę testu, t z df (przy Welchu z dwoma miejscami po przecinku), p, różnicę średnich z przedziałem ufności i wielkość efektu. Przy ANOVA podaj F z oboma df, p, miarę efektu i wyniki porównań parami z nazwą procedury. Tabelę wyników przygotujesz według haseł tabela testu t w APA i tabela ANOVA w APA.

Krok po kroku cały test omawia poradnik test t Studenta krok po kroku.

Najczęstsze pytania

Czy wynik testu t ze średnich i SD jest taki sam jak z danych surowych?

Tak, jeśli M i SD nie są zaokrąglone. Statystyka t, F i ich df zależą od danych tylko przez średnie, wariancje i liczebności grup. Kod R na tej stronie odtwarza dane o dokładnie takich statystykach i pokazuje, że t.test() i oneway.test() dają te same liczby co kalkulator. Rozbieżność w drugim miejscu po przecinku zwykle wynika z zaokrągleń w źródle.

Co wpisać, gdy w artykule podano błąd standardowy zamiast odchylenia standardowego?

Przelicz go: SD = SE × √n. Przy SE = 2.1 i n = 24 daje to SD = 10.29. Wpisanie błędu standardowego w miejsce SD mocno zawyża t i wielkość efektu, bo SE jest √n razy mniejszy. Sprawdź też, czy liczebność dotyczy osób, które weszły do analizy, a nie wszystkich zaproszonych do badania.

Który wynik podać w pracy: klasyczną ANOVA, ANOVA Welcha czy test Browna–Forsythe’a?

Domyślnie ANOVA Welcha, bo dobrze kontroluje błąd I rodzaju także przy nierównych wariancjach i nierównych grupach (Delacre i in., 2019). Klasyczne F możesz dodać, jeśli wymaga tego promotor. Test Browna–Forsythe’a dla średnich jest rozsądną kontrolą. Wybierz test przed analizą, a nie po porównaniu wartości p trzech wersji.

Dlaczego ω² jest mniejsze od η², a czasem wychodzi ujemne?

η² opisuje próbę i zawyża efekt w populacji, bo część różnic między średnimi grup wynika z samego losowania. ω² odejmuje od sumy kwadratów między grupami tyle, ile oczekuje się przy braku efektu. Gdy F < 1, wynik jest ujemny i w raporcie podaje się 0. W przykładzie η² = .130, a ω² = .101.

Czy kalkulator nadaje się do porównania dwóch pomiarów u tych samych osób?

Nie. Przy pomiarach powtarzanych potrzebne jest odchylenie standardowe różnic albo korelacja między pomiarami, a tych nie da się odtworzyć ze średnich i SD obu pomiarów. Potraktowanie pomiarów jak niezależnych grup zwykle daje zbyt duże p, bo pomija korelację. Jeśli masz t z testu dla prób zależnych, opis przygotujesz w generatorze opisu wyników APA.

Powiązane hasła

Przeczytaj też

@article{albers2018power, author={Albers, Casper and Lakens, Daniël}, title={{When power analyses based on pilot data are biased: Inaccurate effect size estimators and follow-up bias}}, journal={Journal of Experimental Social Psychology}, year={2018}, volume={74}, pages={187--195}, doi={10.1016/j.jesp.2017.09.004}}

@article{brown1974small, author={Brown, Morton B. and Forsythe, Alan B.}, title={{The small sample behavior of some statistics which test the equality of several means}}, journal={Technometrics}, year={1974}, volume={16}, number={1}, pages={129--132}, doi={10.1080/00401706.1974.10489158}}

@article{delacre2017why, author={Delacre, Marie and Lakens, Daniël and Leys, Christophe}, title={{Why psychologists should by default use Welch's t-test instead of Student's t-test}}, journal={International Review of Social Psychology}, year={2017}, volume={30}, number={1}, pages={92--101}, doi={10.5334/irsp.82}}

@article{delacre2019taking, author={Delacre, Marie and Leys, Christophe and Mora, Youri L. and Lakens, Daniël}, title={{Taking parametric assumptions seriously: Arguments for the use of Welch's F-test instead of the classical F-test in one-way ANOVA}}, journal={International Review of Social Psychology}, year={2019}, volume={32}, number={1}, eid={13}, doi={10.5334/irsp.198}}

@article{games1976pairwise, author={Games, Paul A. and Howell, John F.}, title={{Pairwise multiple comparison procedures with unequal N’s and/or variances: A Monte Carlo study}}, journal={Journal of Educational Statistics}, year={1976}, volume={1}, number={2}, pages={113--125}, doi={10.3102/10769986001002113}}

@article{hedges1981distribution, author={Hedges, Larry V.}, title={{Distribution theory for Glass’s estimator of effect size and related estimators}}, journal={Journal of Educational Statistics}, year={1981}, volume={6}, number={2}, pages={107--128}, doi={10.3102/10769986006002107}}

@article{welch1947generalization, author={Welch, B. L.}, title={{The generalization of 'Student's' problem when several different population variances are involved}}, journal={Biometrika}, year={1947}, volume={34}, number={1–2}, pages={28--35}, doi={10.1093/biomet/34.1-2.28}}

@article{welch1951comparison, author={Welch, B. L.}, title={{On the comparison of several mean values: An alternative approach}}, journal={Biometrika}, year={1951}, volume={38}, number={3–4}, pages={330--336}, doi={10.1093/biomet/38.3-4.330}}