Słownik metodologiczny · Testy statystyczne

ANOVA Welcha – porównanie średnich przy nierównych wariancjach

ANOVA Welcha porównuje średnie kilku grup bez założenia równych wariancji. Pokazujemy wzór z wagami, przykład w R, w którym klasyczny test F i test Welcha dają różne wnioski, oraz zapis w APA.

Strona główna / Słownik / ANOVA Welcha

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: ANOVA Welcha porównuje średnie trzech lub więcej grup, ważąc każdą grupę przez n/s² i korygując mianownikowe stopnie swobody. Nie zakłada równych wariancji, dlatego warto ją stosować domyślnie, zwłaszcza przy nierównych liczebnościach. Porównania par wykonaj wtedy testem Gamesa–Howella.

Co to jest ANOVA Welcha?

ANOVA Welcha (test F Welcha, ang. Welch’s ANOVA, Welch’s F-test) to jednoczynnikowa analiza wariancji, która porównuje średnie trzech lub więcej niezależnych grup bez założenia równych wariancji. Welch (1951) zaproponował ją jako alternatywę dla klasycznego testu F, a dla dwóch grup sprowadza się do testu t Welcha. Delacre i in. (2019) pokazują, że przy realistycznym zróżnicowaniu wariancji klasyczny test F daje obciążone wyniki, i zalecają test Welcha jako domyślny.

Jak liczyć?

Każda grupa dostaje wagę wj = nj/sj², a średnie porównuje się ze średnią ważoną Mw:

FW = [Σwj(Mj − Mw)² / (k − 1)] / [1 + 2(k − 2)/(k² − 1) · Σhj],   hj = (1 − wj/Σw)² / (nj − 1),   df2 = (k² − 1) / (3Σhj)

Grupa o dużej wariancji i małej liczebności waży mało, a mianownikowe df są ułamkowe.

Przykład

Porównano stres (0–40 pkt) przy pracy stacjonarnej (n = 40, M = 20.32, SD = 3.66), hybrydowej (n = 25, M = 20.40, SD = 5.85) i zdalnej (n = 12, M = 25.42, SD = 8.20; dane symulowane). Klasyczna ANOVA daje F(2, 74) = 4.61, p = .013. Najmniejsza grupa ma jednak największą wariancję, której wspólna wariancja błędu nie oddaje. Test Welcha daje F(2, 23.88) = 2.14, p = .140, czyli różnicy nie potwierdza.

Jak opisać w pracy

Ponieważ wariancje i liczebności grup wyraźnie się różniły, średnie porównano testem F Welcha. Poziom stresu nie różnił się istotnie między osobami pracującymi stacjonarnie (M = 20.32, SD = 3.66), hybrydowo (M = 20.40, SD = 5.85) i zdalnie (M = 25.42, SD = 8.20), F(2, 23.88) = 2.14, p = .140.

Na co uważać

  • Nie uzależniaj wyboru od testu Levene’a. Wstępny test Levene’a ma małą moc w małych grupach. Stosuj test Welcha od razu, bez testu wstępnego.
  • Dobierz porównania par. Po teście Welcha naturalnym wyborem jest test Gamesa–Howella, a nie test Tukeya.
  • Welch to nie Brown–Forsythe. Brown i Forsythe (1974) pokazali, że oba testy są odporne na nierówne wariancje, ale mają inne obszary krytyczne. Porównanie znajdziesz w haśle test Browna–Forsythe’a.

Całą analizę pokazujemy we wpisie ANOVA krok po kroku.

Przykład reprodukowalny

ANOVA Welcha w R

Kod liczy statystyki opisowe z wagami Welcha i porównuje klasyczny test F z testem Welcha w funkcji oneway.test().

Klasyczna ANOVA a test F Welcha

Dane wejściowe: wynik stresu (0–40 pkt) w trzech grupach o liczebnościach 40, 25 i 12 (dane symulowane, set.seed(68)).

Co odczytać: n, M, SD i wagę w każdej grupie, a potem F, num df, denom df i p z obu testów.

R
set.seed(68)   # stres (0–40 pkt) przy pracy stacjonarnej, hybrydowej i zdalnej (dane symulowane)
forma <- factor(rep(c("stacjonarna", "hybrydowa", "zdalna"), c(40, 25, 12)),
                levels = c("stacjonarna", "hybrydowa", "zdalna"))
stres <- pmin(pmax(round(rnorm(77, mean = c(20, 21, 23)[forma], sd = c(4, 6, 10)[forma])), 0), 40)
opis <- aggregate(stres ~ forma, FUN = function(x) c(n = length(x), M = mean(x), SD = sd(x)))
tab <- cbind(opis$stres, waga = opis$stres[, "n"] / opis$stres[, "SD"]^2)   # waga Welcha n/s²
rownames(tab) <- opis$forma; round(tab, 2)
oneway.test(stres ~ forma, var.equal = TRUE)    # klasyczny test F
oneway.test(stres ~ forma)                      # test F Welcha (domyślnie var.equal = FALSE)
Wynik w R
             n     M   SD waga
stacjonarna 40 20.32 3.66 2.98
hybrydowa   25 20.40 5.85 0.73
zdalna      12 25.42 8.20 0.18

	One-way analysis of means

data:  stres and forma
F = 4.6121, num df = 2, denom df = 74, p-value = 0.01295


	One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data:  stres and forma
F = 2.1385, num df = 2.000, denom df = 23.882, p-value = 0.1398

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (funkcje aggregate() i oneway.test() z pakietu stats).

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

Najczęstsze pytania

Czy ANOVA Welcha wymaga równych liczebności grup?

Nie. Działa przy różnych liczebnościach i różnych wariancjach. Właśnie wtedy, gdy mała grupa ma dużą wariancję, klasyczna ANOVA bywa najbardziej myląca.

Jaki test post hoc wybrać po ANOVA Welcha?

Zwykle test Gamesa–Howella, bo też nie zakłada równych wariancji. Przy kilku zaplanowanych porównaniach możesz użyć testów t Welcha z korektą Holma.

Jak policzyć ANOVA Welcha w SPSS?

W oknie One-Way ANOVA kliknij Options i zaznacz Welch. Wynik pojawi się w tabeli Robust Tests of Equality of Means.

Powiązane hasła

Test WelchaANOVA (analiza wariancji)Test Gamesa–HowellaHomogeniczność wariancjiTest Browna–Forsythe’aTest Levene’a

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

ANOVA krok po kroku

Jednoczynnikowa i dwuczynnikowa ANOVA na przykładach: założenia, test Welcha, post hoc, η² i ω², efekty proste, typy sum kwadratów i opis APA.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Brown, M. B., & Forsythe, A. B. (1974). The small sample behavior of some statistics which test the equality of several means. Technometrics, 16(1), 129–132. https://doi.org/10.1080/00401706.1974.10489158
  2. Delacre, M., Leys, C., Mora, Y. L., & Lakens, D. (2019). Taking parametric assumptions seriously: Arguments for the use of Welch's F-test instead of the classical F-test in one-way ANOVA. International Review of Social Psychology, 32(1), Article 13. https://doi.org/10.5334/irsp.198 ● Otwarty dostęp
  3. Welch, B. L. (1951). On the comparison of several mean values: An alternative approach. Biometrika, 38(3–4), 330–336. https://doi.org/10.1093/biomet/38.3-4.330

Cytowania BibTeX

@article{brown1974small, author={Brown, Morton B. and Forsythe, Alan B.}, title={{The small sample behavior of some statistics which test the equality of several means}}, journal={Technometrics}, year={1974}, volume={16}, number={1}, pages={129--132}, doi={10.1080/00401706.1974.10489158}}
@article{delacre2019taking, author={Delacre, Marie and Leys, Christophe and Mora, Youri L. and Lakens, Daniël}, title={{Taking parametric assumptions seriously: Arguments for the use of Welch's F-test instead of the classical F-test in one-way ANOVA}}, journal={International Review of Social Psychology}, year={2019}, volume={32}, number={1}, eid={13}, doi={10.5334/irsp.198}}
@article{welch1951comparison, author={Welch, B. L.}, title={{On the comparison of several mean values: An alternative approach}}, journal={Biometrika}, year={1951}, volume={38}, number={3–4}, pages={330--336}, doi={10.1093/biomet/38.3-4.330}}
R