Kalkulator statystyk opisowych i testu Shapiro–Wilka – M, SD, mediana, skośność i normalność

Autor: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 2 listopada 2026

Kalkulator statystyk opisowych i testu Shapiro–Wilka

Jak używać kalkulatora

Kalkulator jest pomyślany jako pierwszy krok rozdziału wyników: zanim policzysz test t albo korelację, musisz opisać zmienne i obejrzeć ich rozkład. Co i w jakiej kolejności podać w pracy, wyjaśnia poradnik statystyki opisowe w pracy. Tutaj liczysz to szybko na własnych danych.

1. Wklej dane. Zaznacz kolumnę w Excelu lub w widoku danych SPSS i wklej ją do pola. Pierwszy wiersz z nazwą zmiennej zostanie rozpoznany jako nagłówek i pominięty. Pusta komórka w środku kolumny, NA albo kropka liczą się jako brak danych.
2. Wybierz układ. Przy jednej zmiennej wybierz „Jedna kolumna liczb”. Jeśli chcesz porównać rozkłady, np. w dwóch grupach przed testem t, zaznacz dwie sąsiednie kolumny: wynik i grupę. Etykietą grupy może być tekst albo kod liczbowy.
3. Kliknij „Policz”. Dostaniesz tabelę statystyk dla każdej grupy, histogram i wykres Q-Q wybranej grupy oraz gotowy opis. Przycisk „Kopiuj tabelę” kopiuje wyniki z tabulatorami. Po wklejeniu do Excela albo Worda (Wstaw → Tabela → Konwertuj tekst na tabelę) dostajesz gotową tabelę do formatowania.
4. Sprawdź komunikaty pod tabelą. Kalkulator ostrzega, gdy próba jest bardzo mała albo bardzo duża, gdy dane mają niewiele różnych wartości i gdy nie da się policzyć testu.

Normalność sprawdzasz zwykle w grupach albo na resztach modelu, a nie na całej próbie naraz. Dlatego przy danych z grupą kalkulator nie liczy wyników dla wszystkich osób razem. Dwie grupy o różnych średnich dadzą razem rozkład dwugarbny, choć w każdej z nich rozkład może być normalny. Szerzej opisuje to wpis normalność reszt czy zmiennych.

Wzory

Średnia, odchylenie i błąd standardowy. Odchylenie standardowe liczysz z mianownikiem n − 1, tak jak sd() w R, SPSS i funkcja ODCH.STANDARD.PRÓBKI w Excelu. Błąd standardowy średniej opisuje precyzję oszacowania średniej, a nie zmienność wyników:

Przedział ufności dla średniej opiera się na rozkładzie t z n − 1 stopniami swobody. Daje ten sam wynik co t.test() w R i kalkulator przedziału ufności, w którym wpisujesz już gotowe M, SD i n:

Kwartyle. Mediana i kwartyle są liczone według definicji 7 z przeglądu Hyndmana i Fana (1996), czyli tak jak domyślnie robi to funkcja quantile() w R. Dla posortowanych wartości x₍₁₎ ≤ … ≤ x_(n) kwantyl rzędu p powstaje przez interpolację:

Hyndman i Fan (1996) zwracają uwagę, że pakiety statystyczne stosują różne definicje kwantyli z próby, czasem inną do tabeli, a inną do wykresu. Jeśli Twój program podaje nieco inne kwartyle, przyczyną jest zwykle właśnie definicja, a nie błąd. W nocie pod tabelą napisz, z jakiej definicji korzystasz. Rozstęp ćwiartkowy to IQR = Q3 − Q1, a rozstęp to max − min.

Skośność i kurtoza. Kalkulator podaje estymatory G1 i G2, oparte na momentach centralnych m_k = Σ(x − M)^k / n. Joanes i Gill (1998) porównali estymatory skośności i kurtozy stosowane w różnych pakietach. Dokumentacja pakietu e1071 opisuje G1 (typ 2) jako estymator używany w SAS i SPSS. Kurtoza jest tu nadwyżkowa, więc dla rozkładu normalnego wynosi 0, a nie 3:

Błędy standardowe zakładają rozkład normalny i zależą tylko od n. To te same wartości, które DescTools wykorzystuje w klasycznym przedziale dla skośności i kurtozy:

Test Shapiro–Wilka. Shapiro i Wilk (1965) zaproponowali statystykę W jako stosunek dwóch oszacowań wariancji. Licznik to kwadrat ważonej sumy uporządkowanych wyników, a mianownik to zwykła suma kwadratów odchyleń od średniej:

Współczynniki a_i zależą tylko od n. Dokładne wartości są znane jedynie dla małych prób, dlatego programy korzystają z przybliżenia Roystona (1992). Kalkulator liczy je jak algorytm AS R94 (Royston, 1995), z którego korzysta shapiro.test() w R. Punktem wyjścia są kwantyle rozkładu normalnego m_i = Φ⁻¹[(i − 3/8) / (n + 1/4)]. Dwa skrajne współczynniki koryguje wielomian w 1/√n, a pozostałe są proporcjonalne do m_i. Wartość p powstaje z normalizującej transformacji ln(1 − W). Dla 4 ≤ n ≤ 11 i dla n ≥ 12 stosuje się różne wzory, a dla n = 3 rozkład W jest znany dokładnie. Implementację napisaliśmy na podstawie opublikowanego opisu algorytmu. Wynik sprawdziliśmy z shapiro.test() dla prób od 3 do 5000 obserwacji, z wartościami powtórzonymi i z rozkładami skośnymi.

Przykład liczbowy

Prowadząca ćwiczenia ze statystyki zebrała czasy rozwiązania testu próbnego (w minutach). Część osób pisała test zdalnie, część w sali. Dane są symulowane, ale ich kształt jest typowy dla czasów: w grupie zdalnej kilka osób pracowało znacznie dłużej niż reszta. W każdej grupie jedna osoba nie oddała testu, więc ma brak danych. Wszystkie liczby pochodzą z kodu R w następnej sekcji i są wpisane domyślnie w kalkulator.

W grupie zdalnej średnia (22.33 min) wyraźnie przewyższa medianę (19.50 min). Najdłuższy czas, 55 minut, jest ponad dwa razy dłuższy niż trzeci kwartyl. Skośność wynosi 1.18, a test Shapiro–Wilka odrzuca normalność: W = .903, p = .010. W sali rozkład jest prawie symetryczny: średnia i mediana różnią się o niecałe 2 minuty, a skośność to −0.07. Tu test nie wykazał istotnego odchylenia, W = .975, p = .762.

Ten sam wniosek daje reguła Kim (2013), która ocenia skośność razem z jej błędem standardowym. W grupie zdalnej skośność podzielona przez jej SE daje z = 2.77. To powyżej progu 1.96, który autorka proponuje dla prób mniejszych niż 50 osób. Różnica definicji kwartyli też jest tu widoczna: według definicji 6 pierwszy kwartyl w grupie zdalnej wynosi 14.75, a nie 15.25, a trzeci 27.50 zamiast 26.75.

library(e1071)
set.seed(28)
zdalnie <- round(rlnorm(30, log(22), 0.5))   # czas rozwiązania testu próbnego (min), grupa zdalna
w_sali  <- round(rnorm(26, 31, 7))           # grupa pisząca w sali
dane <- data.frame(czas  = c(zdalnie, NA, w_sali, NA),   # po jednej osobie bez wyniku w każdej grupie
                   grupa = rep(c("zdalnie", "w sali"), c(31, 27)))

opisz <- function(x) {
  x <- x[!is.na(x)]; n <- length(x)
  ci <- t.test(x)$conf.int
  q <- quantile(x, c(.25, .5, .75), type = 7)        # definicja 7 – domyślna w R
  c(n = n, M = mean(x), SD = sd(x), SE = sd(x) / sqrt(n),
    CI_dolna = ci[1], CI_gorna = ci[2],
    Q1 = q[[1]], Me = q[[2]], Q3 = q[[3]], IQR = IQR(x),
    min = min(x), max = max(x), rozstep = diff(range(x)),
    skosnosc = skewness(x, type = 2),
    SE_skos = sqrt(6 * n * (n - 1) / ((n - 2) * (n + 1) * (n + 3))),
    kurtoza = kurtosis(x, type = 2),
    SE_kurt = 2 * sqrt(6 * n * (n - 1) / ((n - 2) * (n + 1) * (n + 3))) * sqrt((n^2 - 1) / ((n - 3) * (n + 5))),
    W = unname(shapiro.test(x)$statistic), p = shapiro.test(x)$p.value)
}
tapply(dane$czas, dane$grupa, function(x) sum(is.na(x)))   # braki danych w grupach
round(sapply(split(dane$czas, dane$grupa), opisz), 3)
by(dane$czas, dane$grupa, shapiro.test)

# skośność podzielona przez SE (z), kwartyle według innej definicji (typ 6) dla porównania
x <- na.omit(dane$czas[dane$grupa == "zdalnie"])
round(c(z_skos = skewness(x, type = 2) / sqrt(6 * 30 * 29 / (28 * 31 * 33))), 2)
quantile(x, c(.25, .75), type = 6)

# histogram i wykres Q-Q
par(mfrow = c(1, 2))
hist(x, main = "Zdalnie", xlab = "czas (min)")
qqnorm(x); qqline(x)

 w sali zdalnie 
      1       1 
         w sali zdalnie
n        26.000  30.000
M        30.423  22.333
SD        7.773  11.565
SE        1.524   2.111
CI_dolna 27.284  18.015
CI_gorna 33.563  26.652
Q1       25.000  15.250
Me       32.000  19.500
Q3       34.000  26.750
IQR       9.000  11.500
min      15.000   8.000
max      46.000  55.000
rozstep  31.000  47.000
skosnosc -0.073   1.184
SE_skos   0.456   0.427
kurtoza  -0.194   1.281
SE_kurt   0.887   0.833
W         0.975   0.903
p         0.762   0.010
dane$grupa: w sali

	Shapiro-Wilk normality test

data:  dd[x, ]
W = 0.97531, p-value = 0.7622

------------------------------------------------------------ 
dane$grupa: zdalnie

	Shapiro-Wilk normality test

data:  dd[x, ]
W = 0.9029, p-value = 0.009897

z_skos 
  2.77 
  25%   75% 
14.75 27.50 

Jak interpretować wynik

• Zacznij od wykresów, nie od p. Histogram pokazuje ogólny kształt, a wykres kwantylowy Q-Q – zwłaszcza ogony. Wilk i Gnanadesikan (1968) opisali wykresy kwantyl–kwantyl jako narzędzie do porównywania próby z rozkładem teoretycznym. Punkty układające się w łuk oznaczają skośność, a kształt litery S – nietypowe ogony. Pojedyncze punkty daleko od linii warto sprawdzić jako możliwe wartości odstające.
• Porównaj średnią z medianą. Gdy różnią się wyraźnie, a M − 2SD wypada poza możliwy zakres wyników, sama para M i SD źle opisuje rozkład. Podaj wtedy także medianę z kwartylami.
• Skośność i kurtozę czytaj z błędem standardowym. Skośność dodatnia oznacza długi prawy ogon, a ujemna – lewy. Kim (2013) proponuje dzielić skośność i kurtozę przez ich SE. Przy n < 50 próg dla |z| wynosi 1.96, przy 50–300 osobach 3.29, a w większych próbach liczą się same wartości i wykres.
• p < .05 w teście Shapiro–Wilka oznacza, że rozkład w próbie istotnie odbiega od normalnego. Wynik nieistotny nie dowodzi jednak normalności, zwłaszcza w małej próbie. W symulacjach Yap i Sim (2011) test Shapiro–Wilka był najmocniejszy z ośmiu porównywanych testów przy rozkładach asymetrycznych. Dlatego częściej wybiera się go niż test Kołmogorowa–Smirnowa. Innym testem opartym na skośności i kurtozie jest test Jarque–Bera. Jak czytać samo W i jak opisać wynik testu, wyjaśnia hasło test Shapiro–Wilka.
• Przy dużym n test alarmuje bez potrzeby. Przy kilkuset obserwacjach test wykrywa odchylenia tak małe, że nie mają znaczenia dla testu t czy ANOVA. Te metody są przy takich liczebnościach odporne na umiarkowaną skośność, co wynika z centralnego twierdzenia granicznego. Kalkulator pokazuje ostrzeżenie od n > 300. Całą procedurę oceny normalności krok po kroku opisuje poradnik jak sprawdzić normalność rozkładu.

Co dalej, gdy rozkład jest wyraźnie skośny? Najpierw sprawdź, czy normalność jest w ogóle założeniem Twojej analizy. Potem rozważ test Welcha z analizą wrażliwości, transformację logarytmiczną albo test nieparametryczny. Te możliwości omawia wpis test t przy rozkładzie nienormalnym. Jeśli nie wiesz, który test wybrać, skorzystaj z kreatora wyboru testu statystycznego.

Ograniczenia

• Zakres testu: od 3 do 5000 obserwacji. Tyle przyjmuje przybliżenie Roystona i shapiro.test() w R. Przy większej próbie kalkulator poda statystyki opisowe i wykresy, ale bez testu. Przy takich liczebnościach i tak lepiej oceniać kształt rozkładu na wykresie.
• Wartości powtórzone. Gdy zmienna przyjmuje tylko kilka wartości, np. pojedyncza pozycja skali 1–5, W spada, a test prawie zawsze odrzuca normalność. Taka zmienna jest porządkowa i opisuje się ją raczej liczebnościami i medianą.
• Braki danych są tylko liczone. Kalkulator pomija puste komórki i podaje ich liczbę, ale nie sprawdza, dlaczego ich brakuje. Przy wielu brakach zajrzyj do hasła braki danych MCAR, MAR i MNAR.
• Normalność surowych danych to nie to samo co normalność reszt. W regresji i ANCOVA test trzeba wykonać na resztach z modelu, a tych kalkulator nie policzy. Możesz jednak wkleić reszty zapisane w programie statystycznym.
• Histogram zależy od liczby przedziałów. Kalkulator stosuje regułę Sturgesa (jak domyślnie hist() w R), więc w innym programie histogram może wyglądać trochę inaczej. Liczby w tabeli od tego nie zależą.

Zapis w pracy (APA)

W rozdziale wyników podaj statystyki opisowe w tabeli, a w tekście wymień tylko to, co ważne dla dalszych analiz: kształt rozkładu i decyzję, jaką na tej podstawie podjęto. Układ tabeli pokazuje hasło tabela statystyk opisowych w APA. W nocie pod tabelą napisz, jak liczono kwartyle, skośność i kurtozę. Wynik testu podaj z W do trzech miejsc po przecinku i p bez zera przed kropką. Opis dla przykładu wygląda tak:

Gotowe zdania dla innych testów znajdziesz w generatorze opisu wyników APA. Jeśli piszesz pracę dyplomową i chcesz, żeby ktoś sprawdził opis zmiennych, ocenę założeń i dobór testów, zajrzyj do oferty analiz dla studentów.

Najczęstsze pytania

Jak policzyć test Shapiro–Wilka bez SPSS?

Wklej kolumnę wyników do kalkulatora na tej stronie i kliknij „Policz”. Dostaniesz W i p takie same jak z funkcji shapiro.test() w R, a do tego histogram i wykres Q-Q. Kalkulator działa dla 3–5000 obserwacji, a dane nie opuszczają przeglądarki. W R to jedna linia: shapiro.test(x).

Czy normalność sprawdzać dla całej próby, czy w każdej grupie osobno?

Przed testem t albo ANOVA sprawdzaj rozkład w każdej grupie osobno albo na resztach modelu. Cała próba złożona z grup o różnych średnich może mieć rozkład dwugarbny, choć w każdej grupie jest on normalny. Dlatego kalkulator przy danych z kolumną grupy liczy wszystko osobno dla każdej grupy.

Dlaczego mój program podaje inne kwartyle niż kalkulator?

Kwartyle z próby można liczyć według kilku definicji, a pakiety statystyczne wybierają różne (Hyndman i Fan, 1996). Kalkulator stosuje definicję 7, domyślną w R. W przykładzie na tej stronie definicja 6 daje pierwszy kwartyl 14.75 zamiast 15.25. W nocie pod tabelą napisz, jakiej definicji użyto. Przy dużych próbach różnice zwykle znikają.

Jaka skośność i kurtoza oznaczają rozkład zbliżony do normalnego?

Nie ma jednej granicy. Kim (2013) proponuje dzielić skośność i kurtozę przez ich błędy standardowe i porównywać wynik z progiem 1.96 przy n < 50 albo 3.29 przy 50–300 osobach, a w większych próbach patrzeć na same wartości i wykres. Kalkulator podaje skośność i kurtozę nadwyżkową (0 dla rozkładu normalnego) razem z SE, więc iloraz policzysz od razu.

Co zrobić, gdy test Shapiro–Wilka przy dużej próbie wyszedł istotny?

Przy kilkuset osobach test wykrywa nawet drobne odchylenia, które nie przeszkadzają testowi t ani ANOVA. Obejrzyj wykres Q-Q i sprawdź skośność. Jeśli odchylenie jest umiarkowane, zostań przy metodzie parametrycznej i opisz to w pracy. Jeśli rozkład jest silnie skośny albo są obserwacje odstające, rozważ transformację, metodę odporną albo test nieparametryczny.

Powiązane hasła

Przeczytaj też

@article{hyndman1996sample, author={Hyndman, Rob J. and Fan, Yanan}, title={{Sample quantiles in statistical packages}}, journal={The American Statistician}, year={1996}, volume={50}, number={4}, pages={361--365}, doi={10.1080/00031305.1996.10473566}}

@article{joanes1998comparing, author={Joanes, D. N. and Gill, C. A.}, title={{Comparing measures of sample skewness and kurtosis}}, journal={Journal of the Royal Statistical Society: Series D (The Statistician)}, year={1998}, volume={47}, number={1}, pages={183--189}, doi={10.1111/1467-9884.00122}}

@article{kim2013assessing, author={Kim, Hae-Young}, title={{Statistical notes for clinical researchers: Assessing normal distribution (2) using skewness and kurtosis}}, journal={Restorative Dentistry \& Endodontics}, year={2013}, volume={38}, number={1}, pages={52--54}, doi={10.5395/rde.2013.38.1.52}}

@article{royston1992approximating, author={Royston, Patrick}, title={{Approximating the Shapiro-Wilk W-test for non-normality}}, journal={Statistics and Computing}, year={1992}, volume={2}, number={3}, pages={117--119}, doi={10.1007/bf01891203}}

@article{royston1995remark, author={Royston, Patrick}, title={{Remark AS R94: A remark on algorithm AS 181: The W-test for normality}}, journal={Applied Statistics}, year={1995}, volume={44}, number={4}, pages={547--551}, doi={10.2307/2986146}}

@article{shapiro1965analysis, author={Shapiro, S. S. and Wilk, M. B.}, title={{An analysis of variance test for normality (complete samples)}}, journal={Biometrika}, year={1965}, volume={52}, number={3-4}, pages={591--611}, doi={10.1093/biomet/52.3-4.591}}

@article{wilk1968probability, author={Wilk, M. B. and Gnanadesikan, R.}, title={{Probability plotting methods for the analysis of data}}, journal={Biometrika}, year={1968}, volume={55}, number={1}, pages={1--17}, doi={10.1093/biomet/55.1.1}}

@article{yap2011comparisons, author={Yap, B. W. and Sim, C. H.}, title={{Comparisons of various types of normality tests}}, journal={Journal of Statistical Computation and Simulation}, year={2011}, volume={81}, number={12}, pages={2141--2155}, doi={10.1080/00949655.2010.520163}}