Rozstęp ćwiartkowy (IQR) – co to jest, jak go obliczyć i jak wyznaczyć obserwacje odstające

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 15 października 2026

Co to jest rozstęp ćwiartkowy (IQR)?

Rozstęp ćwiartkowy (inaczej rozstęp międzykwartylowy; ang. interquartile range, IQR) to różnica między trzecim a pierwszym kwartylem. Mówi, jak szeroko rozciąga się środkowe 50% uporządkowanych wyników (Mishra i in., 2019). Jest odporną miarą rozproszenia: w przeciwieństwie do odchylenia standardowego i zwykłego rozstępu (max − min) nie zależy od wartości najbardziej skrajnych wyników. Dlatego podaje się go razem z medianą, zwłaszcza przy skośnych rozkładach.

W polskich podręcznikach spotkasz też odchylenie ćwiartkowe Q = (Q3 − Q1) / 2, czyli połowę IQR. Rozstęp ćwiartkowy jest podstawą wykresu pudełkowego: długość pudełka to właśnie IQR. Ten typ wykresu wywodzi się z eksploracyjnej analizy danych, którą upowszechniła klasyczna monografia Tukeya (1977).

Wzór na IQR i płoty Tukeya

Na IQR opiera się popularna reguła wskazywania potencjalnych obserwacji odstających – tzw. płoty Tukeya (ang. Tukey's fences):

Wyniki poza płotami zaznacza się na wykresie pudełkowym jako osobne punkty, a wąsy kończą się na najbardziej skrajnych wynikach mieszczących się w płotach. Krzywinski i Altman (2014) opisują ten wariant jako wąsy w stylu Tukeya, sięgające najdalej 1.5 × IQR od krawędzi pudełka. SPSS dodatkowo oznacza gwiazdką wyniki odległe od pudełka o ponad 3 × IQR (tzw. wartości ekstremalne).

Przykład: IQR czasów reakcji

Wróćmy do 120 czasów reakcji z zadania Stroopa, które opisujemy też w hasłach o średniej i medianie (dane symulowane). Kwartyle obliczone domyślną metodą R (typ 7) wynoszą Q1 = 541.75 ms i Q3 = 719.50 ms, więc:

Środkowe 50% osób, czyli 60 ze 120, ma czasy reakcji w przedziale o szerokości 177.75 ms. Płoty Tukeya wynoszą:

• dolny: 541.75 − 1.5 × 177.75 = 275.1 ms – leży poniżej najszybszego wyniku (420 ms), więc dolny wąs kończy się na minimum;
• górny: 719.50 + 1.5 × 177.75 = 986.1 ms – górny wąs kończy się na 980 ms, ostatnim wyniku przed płotem.

Poza górnym płotem leżą cztery wyniki: 1037, 1038, 1198 i 1267 ms. Rysunek 1 pokazuje, jak te liczby przekładają się na elementy wykresu pudełkowego.

Dlaczego IQR jest odporny na wartości skrajne?

IQR zależy tylko od wyników w okolicy pierwszego i trzeciego kwartyla, więc wartości najbardziej skrajne nie mają na niego wpływu. Zamieńmy w naszych danych najwolniejszy wynik (1267 ms) na 5000 ms – jakby ktoś odszedł od komputera w trakcie zadania. Odchylenie standardowe wzrośnie wtedy ze 154.37 do 423.08 ms, rozstęp – z 847 do 4580 ms, a IQR pozostanie dokładnie taki sam: 177.75 ms.

Dla rozkładu normalnego IQR wynosi 1.349 odchylenia standardowego, dlatego iloraz IQR / 1.349 bywa używany jako odporne oszacowanie SD. W naszych skośnych danych daje 131.77 ms wobec SD = 154.37 ms – różnica pokazuje, jak bardzo długi prawy ogon zawyża odchylenie standardowe. Wan i in. (2014) proponują z kolei metody szacowania średniej i SD na podstawie liczebności próby, mediany, rozstępu i rozstępu ćwiartkowego. Przydają się w przeglądach systematycznych i metaanalizach, gdy autorzy badań podali tylko Mdn (IQR).

IQR a wykrywanie obserwacji odstających

Reguła 1.5 × IQR wskazuje kandydatów do sprawdzenia, a nie błędy do automatycznego usunięcia. Nawet w idealnie normalnym rozkładzie płoty leżą w odległości 2.698 SD od średniej, więc poza nimi znajduje się około 0.70% wyników. W symulacji 10 000 prób po 120 osób z rozkładu normalnego poza płotami wypadało średnio 1.16 wyniku, a w 60.1% prób wykres pudełkowy pokazał co najmniej jedną „obserwację odstającą”. W rozkładach skośnych, takich jak czasy reakcji, albo o grubych ogonach (z wysoką kurtozą) takich punktów jest więcej, a te za górnym płotem to często prawdziwe, choć powolne odpowiedzi.

Decyzje o obserwacjach odstających podejmuj więc według kryteriów ustalonych przed analizą (najlepiej w prerejestracji). Najpierw sprawdź, czy wynik nie jest błędem zapisu albo efektem nieuważnego wypełniania (zob. straightlining i nieuważne odpowiedzi). Jeśli potrzebujesz kryterium w stylu „średnia ± k odchyleń”, Leys i in. (2013) odradzają średnią i SD, bo same reagują na wartości odstające, i proponują w zamian medianę z medianowym odchyleniem bezwzględnym (MAD).

Jak opisać IQR w pracy (APA)

Rozstęp ćwiartkowy podawaj razem z medianą – w nawiasie albo w osobnej kolumnie tabeli. IQR to jedna liczba; jeśli chcesz pokazać granice środkowej połowy wyników, podaj Q1 i Q3. Krzywinski i Altman (2014) przypominają, że nie ma jednej metody liczenia kwartyli, dlatego w podpisie wykresu pudełkowego opisz sposób jego konstrukcji i podaj liczebność próby.

Przykładowy podpis wykresu: „Pudełko obejmuje wyniki od Q1 do Q3, linia w pudełku to mediana, wąsy sięgają do najbardziej skrajnych wyników w odległości 1.5 × IQR od krawędzi pudełka, a punkty oznaczają wyniki poza tym zakresem; n = 120, kwartyle obliczono w R (typ 7)”. Pamiętaj, że SPSS liczy kwartyle metodą typu 6 (tu IQR = 183.25 ms), a funkcja boxplot() w R rysuje pudełko z zawiasów Tukeya (540.5–721 ms) – więcej w haśle o kwartylach.

set.seed(53)
rt <- round(rnorm(120, mean = 500, sd = 50) + rexp(120, rate = 1 / 150))  # czasy reakcji (ms)
q <- quantile(rt, c(0.25, 0.75))            # Q1 i Q3 (typ 7, domyślny w R)
iqr <- IQR(rt)                              # IQR = Q3 - Q1
c(Q1 = q[[1]], Q3 = q[[2]], IQR = iqr, IQR_typ6 = IQR(rt, type = 6))
ploty <- c(dolny = q[[1]] - 1.5 * iqr, gorny = q[[2]] + 1.5 * iqr)
ploty                                       # płoty Tukeya
sort(rt[rt < ploty["dolny"] | rt > ploty["gorny"]])   # wyniki poza płotami
boxplot.stats(rt)$stats                     # tak liczy boxplot(): wąsy i zawiasy
zam <- rt; zam[which.max(rt)] <- 5000       # najwolniejszy wynik zamieniony na 5000 ms
round(c(SD = sd(rt), SD_po = sd(zam), IQR = IQR(rt), IQR_po = IQR(zam)), 2)

      Q1       Q3      IQR IQR_typ6
  541.75   719.50   177.75   183.25
  dolny   gorny
275.125 986.125
[1] 1037 1038 1198 1267
[1] 420.0 540.5 594.5 721.0 980.0
    SD  SD_po    IQR IQR_po
154.37 423.08 177.75 177.75

Najczęstsze błędy

• Zapis „IQR = 541.75–719.50” – to są kwartyle; IQR to ich różnica: 177.75.
• Automatyczne usuwanie wszystkich punktów poza płotami – nawet w danych z rozkładu normalnego w 60.1% prób po 120 osób pojawia się co najmniej jeden taki punkt.
• IQR razem ze średnią – łącz IQR z medianą, a średnią z odchyleniem standardowym.
• Porównywanie IQR z różnych programów bez sprawdzenia metody – R (typ 7) i SPSS (typ 6) dały tu 177.75 i 183.25 ms (Hyndman i Fan, 1996).
• Wykres pudełkowy dla bardzo małej próby – przy kilku obserwacjach lepiej pokazać same punkty; Krzywinski i Altman (2014) podają minimum n = 5.
• Reguła M ± 3 SD zamiast odpornego kryterium – średnia i SD same reagują na wartości odstające (Leys i in., 2013).

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć rozstęp ćwiartkowy?

Oblicz pierwszy (Q1) i trzeci (Q3) kwartyl, a następnie odejmij: IQR = Q3 − Q1. Dla 120 czasów reakcji z przykładu Q1 = 541.75 ms i Q3 = 719.50 ms, więc IQR = 177.75 ms. W R: IQR(x).

Co oznacza rozstęp ćwiartkowy?

To szerokość przedziału, w którym mieści się środkowe 50% uporządkowanych wyników. Im większy IQR, tym bardziej zróżnicowane są typowe wyniki. Nie zależy od wartości najbardziej skrajnych obserwacji, dlatego dobrze opisuje rozproszenie w skośnych rozkładach.

Jak wyznaczyć obserwacje odstające metodą 1.5 × IQR?

Policz płoty Tukeya: dolny Q1 − 1.5 × IQR i górny Q3 + 1.5 × IQR. Wyniki poza tym przedziałem to kandydaci na obserwacje odstające – sprawdź je, zanim cokolwiek usuniesz. W przykładzie górny płot wyniósł 986.1 ms, a poza nim znalazły się cztery wyniki.

Czym różni się rozstęp ćwiartkowy od rozstępu?

Rozstęp to różnica między największym a najmniejszym wynikiem, więc zależy od dwóch najbardziej skrajnych obserwacji. Rozstęp ćwiartkowy obejmuje tylko środkowe 50% wyników i jest odporny na wartości skrajne. Gdy w przykładzie najwolniejszy czas zamieniono na 5000 ms, rozstęp wzrósł z 847 do 4580 ms, a IQR się nie zmienił.

Podawać IQR czy odchylenie standardowe?

Przy rozkładach zbliżonych do symetrycznych podaj średnią i odchylenie standardowe. Przy wyraźnej skośności albo wartościach skrajnych – medianę i IQR. Nie łącz średniej z IQR ani mediany z SD.

Dlaczego SPSS podaje inny IQR niż R?

Bo programy liczą kwartyle różnymi metodami: SPSS typem 6, a R domyślnie typem 7. Dla 120 czasów reakcji IQR wyniósł 183.25 ms metodą SPSS i 177.75 ms w R. Szczegóły w haśle kwartyle.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{hyndman1996sample, author={Hyndman, Rob J. and Fan, Yanan}, title={{Sample quantiles in statistical packages}}, journal={The American Statistician}, year={1996}, volume={50}, number={4}, pages={361--365}, doi={10.1080/00031305.1996.10473566}}

@article{krzywinski2014visualizing, author={Krzywinski, Martin and Altman, Naomi}, title={{Visualizing samples with box plots}}, journal={Nature Methods}, year={2014}, volume={11}, number={2}, pages={119--120}, doi={10.1038/nmeth.2813}}

@article{leys2013detecting, author={Leys, Christophe and Ley, Christophe and Klein, Olivier and Bernard, Philippe and Licata, Laurent}, title={{Detecting outliers: Do not use standard deviation around the mean, use absolute deviation around the median}}, journal={Journal of Experimental Social Psychology}, year={2013}, volume={49}, number={4}, pages={764--766}, doi={10.1016/j.jesp.2013.03.013}}

@article{mishra2019descriptive, author={Mishra, Prabhaker and Pandey, Chandra M. and Singh, Uttam and Gupta, Anshul and Sahu, Chinmoy and Keshri, Amit}, title={{Descriptive statistics and normality tests for statistical data}}, journal={Annals of Cardiac Anaesthesia}, year={2019}, volume={22}, number={1}, pages={67--72}, doi={10.4103/aca.aca_157_18}}

@book{tukey1977exploratory, author={Tukey, John W.}, title={{Exploratory data analysis}}, year={1977}, publisher={Addison-Wesley}}

@article{wan2014estimating, author={Wan, Xiang and Wang, Wenqian and Liu, Jiming and Tong, Tiejun}, title={{Estimating the sample mean and standard deviation from the sample size, median, range and/or interquartile range}}, journal={BMC Medical Research Methodology}, year={2014}, volume={14}, number={1}, eid={135}, doi={10.1186/1471-2288-14-135}}