MAD – medianowe odchylenie bezwzględne: wzór i próg

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 18 października 2026

W skrócie: MAD (medianowe odchylenie bezwzględne) to mediana odległości wyników od mediany, zwykle mnożona przez 1.4826, by przy rozkładzie normalnym szacowała odchylenie standardowe. Reguła mediana ± 3 MAD wykrywa obserwacje odstające pewniej niż średnia ± 3 SD, bo skrajne wyniki nie rozciągają jej granic.

Co to jest MAD?

MAD, czyli medianowe odchylenie bezwzględne (ang. median absolute deviation), to mediana odległości wyników od ich mediany. Jest odpornym odpowiednikiem odchylenia standardowego: kilka skrajnych wyników prawie go nie zmienia. W psychologii służy głównie do wykrywania obserwacji odstających, np. w czasach reakcji i czasach wypełniania ankiet. Leys i in. (2013) proponują go w miejsce popularnej reguły średnia ± 3 SD, bo średnia i SD same reagują na wartości odstające.

Wzór i reguła mediana ± 3 MAD

MAD = 1.4826 × Mdn(|x_i − Mdn(x)|)

Stała 1.4826 (= 1/0.6745) sprawia, że przy rozkładzie normalnym MAD szacuje odchylenie standardowe; tak domyślnie liczy funkcja mad() w R. Za odstające uznaje się wyniki spoza przedziału Mdn ± 3 MAD – taki próg zalecają Leys i in. (2019). Rousseeuw i Croux (1993) podkreślają, że MAD ma punkt załamania 50% (nie załamuje się, dopóki skrajnych wyników jest mniej niż połowa), ale jest pomyślany dla rozkładów symetrycznych, a przy rozkładzie normalnym szacuje rozproszenie mniej precyzyjnie niż SD (efektywność 37%).

Przykład

Jedenaście osób wypełniało ankietę online przez 2.0, 6.8, 7.3, 7.9, 8.2, 8.6, 9.1, 9.4, 10.2, 11.0 i 34.0 min. Mediana wynosi 8.60 min, mediana odchyleń bezwzględnych 1.30 min, a MAD = 1.4826 × 1.30 = 1.93 min. Granice Mdn ± 3 MAD (2.82–14.38 min) oznaczają obie podejrzane osoby: zbyt szybką (por. nieuważne odpowiedzi w ankietach online) i zbyt wolną, która prawdopodobnie zrobiła przerwę. Reguła średnia ± 3 SD (M = 10.41, SD = 8.17) nie oznacza żadnej, bo jej granice to −14.10 i 34.92 min.

Jak zapisać w pracy

Obserwacje odstające określono regułą mediana ± 3 MAD (Leys i in., 2019); poza granicami 2.82–14.38 min znalazły się czasy wypełniania dwóch z 11 osób (2.0 i 34.0 min).

Na co uważać

Mylenie MAD z IQR. Rozstęp ćwiartkowy to szerokość środkowych 50% danych i znosi tylko 25% skrajnych wyników. Przy rozkładzie symetrycznym mediana odchyleń bez stałej to w przybliżeniu połowa IQR, ale przy skośnym granice Mdn ± 3 MAD są symetryczne wokół mediany, a płoty Tukeya – nie. W przykładzie IQR / 1.349 = 1.63 min, a MAD = 1.93 min.
Brak stałej. Sprawdź, czy program podaje MAD z mnożnikiem 1.4826, czy surową medianę odchyleń (tu 1.30 min). MAD bywa też skrótem średniego odchylenia bezwzględnego (ang. mean absolute deviation) – to inna miara.
Próg ustalony po obejrzeniu danych. Regułę zapisz w planie analizy. Co robić z oznaczonymi wynikami – usunąć, poprawić czy użyć średniej ucinanej – opisujemy w poradniku wartości odstające: jak je wykryć.

Przykład reprodukowalny

Przykład w R

Kod liczy medianę, surową medianę odchyleń i MAD, porównuje granice Mdn ± 3 MAD z granicami średnia ± 3 SD, wypisuje wyniki odstające i zestawia MAD z IQR.

MAD i reguła mediana ± 3 MAD w R

Dane wejściowe: czasy wypełniania ankiety online 11 osób (minuty; proste dane przykładowe).

Co odczytać: MAD, granice obu reguł, wyniki poza Mdn ± 3 MAD oraz IQR i IQR / 1.349.

czas <- c(2.0, 6.8, 7.3, 7.9, 8.2, 8.6, 9.1, 9.4, 10.2, 11.0, 34.0)   # minuty
Mdn <- median(czas)
MAD <- mad(czas)                                   # mad() mnoży medianę odchyleń przez 1.4826
round(c(Mdn = Mdn, surowe = median(abs(czas - Mdn)), MAD = MAD, M = mean(czas), SD = sd(czas)), 2)
round(rbind("Mdn ± 3 MAD" = Mdn + c(-3, 3) * MAD,
            "M ± 3 SD" = mean(czas) + c(-3, 3) * sd(czas)), 2)
czas[abs(czas - Mdn) / MAD > 3]                    # wyniki poza Mdn ± 3 MAD
round(c(IQR = IQR(czas), IQR_przez_1.349 = IQR(czas) / 1.349), 2)

Wynik w R

   Mdn surowe    MAD      M     SD
  8.60   1.30   1.93  10.41   8.17
              [,1]  [,2]
Mdn ± 3 MAD   2.82 14.38
M ± 3 SD    -14.10 34.92
[1]  2 34
            IQR IQR_przez_1.349
           2.20            1.63

Bibliografia oprogramowania

Wyniki na tej stronie pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (funkcje pakietu stats). W pracy podaj wersje faktycznie użytych pakietów (sessionInfo()).

R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

Najczęstsze pytania

Dlaczego MAD mnoży się przez 1.4826?

Przy rozkładzie normalnym mediana odchyleń bezwzględnych wynosi 0.6745 odchylenia standardowego, a 1 / 0.6745 = 1.4826. Po tej korekcie MAD szacuje SD, więc można go używać w regule mediana ± 3 MAD.

Jaki próg MAD przyjąć dla obserwacji odstających?

Leys i in. (2019) zalecają próg 3, czyli granice mediana ± 3 MAD. Próg zapisz przed analizą, najlepiej w prerejestracji, i sprawdź, czy wnioski zmieniają się bez oznaczonych wyników.

Czym różni się MAD od rozstępu ćwiartkowego?

Obie miary są odporne, ale MAD to typowa odległość od mediany (punkt załamania 50%), a IQR – szerokość środkowych 50% danych (punkt załamania 25%). Przy symetrycznym rozkładzie surowy MAD to ok. połowa IQR.

Powiązane hasła

Rozstęp ćwiartkowy (IQR)Obserwacja odstająca Mediana Odchylenie standardowe Średnia ucinana i winsoryzacja Reguła trzech sigm

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Wartości odstające: jak je wykryć i co z nimi zrobić

Reguły ustalone z góry, MAD zamiast ±3 SD, Mahalanobis i MCD, odległość Cooka, winsoryzacja, test Yuena, analiza wrażliwości i opis APA – z kodem R.

Czytaj →Poradnik

Nieuważne odpowiedzi w ankietach online

Jak wykryć straightlining, losowe klikanie i speeding: longstring, IRV, D² Mahalanobisa i pytania kontrolne w R, reguła wykluczeń i opis w APA.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizę Oferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

Leys, C., Delacre, M., Mora, Y. L., Lakens, D., & Ley, C. (2019). How to classify, detect, and manage univariate and multivariate outliers, with emphasis on pre-registration. International Review of Social Psychology, 32(1), Article 5. https://doi.org/10.5334/irsp.289 ● Otwarty dostęp
Leys, C., Ley, C., Klein, O., Bernard, P., & Licata, L. (2013). Detecting outliers: Do not use standard deviation around the mean, use absolute deviation around the median. Journal of Experimental Social Psychology, 49(4), 764–766. https://doi.org/10.1016/j.jesp.2013.03.013 ● Otwarty dostęp
Rousseeuw, P. J., & Croux, C. (1993). Alternatives to the median absolute deviation. Journal of the American Statistical Association, 88(424), 1273–1283. https://doi.org/10.1080/01621459.1993.10476408

Cytowania BibTeX

@article{leys2019how, author={Leys, Christophe and Delacre, Marie and Mora, Youri L. and Lakens, Daniël and Ley, Christophe}, title={{How to classify, detect, and manage univariate and multivariate outliers, with emphasis on pre-registration}}, journal={International Review of Social Psychology}, year={2019}, volume={32}, number={1}, eid={5}, doi={10.5334/irsp.289}}

@article{leys2013detecting, author={Leys, Christophe and Ley, Christophe and Klein, Olivier and Bernard, Philippe and Licata, Laurent}, title={{Detecting outliers: Do not use standard deviation around the mean, use absolute deviation around the median}}, journal={Journal of Experimental Social Psychology}, year={2013}, volume={49}, number={4}, pages={764--766}, doi={10.1016/j.jesp.2013.03.013}}

@article{rousseeuw1993alternatives, author={Rousseeuw, Peter J. and Croux, Christophe}, title={{Alternatives to the median absolute deviation}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1993}, volume={88}, number={424}, pages={1273--1283}, doi={10.1080/01621459.1993.10476408}}