Kalkulator tabeli 2×2 i r×c – chi-kwadrat, test Fishera, OR i RR

Autor: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 28 października 2026

Kalkulator tabeli krzyżowej

Jak używać kalkulatora

Kalkulator przyjmuje tabelę krzyżową, czyli liczebności osób w każdej kombinacji kategorii dwóch zmiennych jakościowych. Każda osoba trafia do dokładnie jednej komórki. Kalkulator nie przyjmuje procentów, średnich ani pomiarów powtarzanych na tych samych osobach.

1. Ustal wymiar tabeli. Od 2 × 2 (np. grupa × wynik tak/nie) do 5 × 5 (np. kierunek studiów × preferowana forma zajęć). Masz tabelę w Excelu albo w wyniku z SPSS? Skopiuj same liczby i wklej je w pole tekstowe. Kalkulator sam ustawi liczbę wierszy i kolumn.
2. Ułóż tabelę 2 × 2 we właściwą stronę. Pierwszy wiersz to grupa, którą porównujesz (np. osoby po kursie, eksponowani, grupa eksperymentalna). Drugi wiersz to grupa odniesienia. Pierwsza kolumna to zdarzenie, którego odsetek liczysz (np. „zdał”, „zachorował”). Od tego układu zależy kierunek ilorazu szans i ryzyka względnego. Na samą wartość χ² układ nie ma wpływu.
3. Odczytaj testy. Kalkulator zawsze podaje test chi-kwadrat niezależności i test dokładny Fishera. Dla tabeli 2 × 2 dodaje wersję „N − 1”, a na życzenie także wynik z poprawką Yatesa.
4. Sprawdź liczebności oczekiwane. Komórki z liczebnością oczekiwaną poniżej 5 są zaznaczone na czerwono. Gdy jest ich za dużo, opis do pracy sam przełącza się na test Fishera.
5. Zobacz, skąd bierze się związek. W tabeli reszt pogrubione są komórki, w których obserwacji jest wyraźnie więcej lub mniej, niż wynikałoby z niezależności zmiennych.

Pod wynikiem pojawia się gotowe zdanie w stylu APA. Jeśli dopiero uczysz się tego testu, zacznij od poradnika test chi-kwadrat krok po kroku.

Wzory

Dla komórki w wierszu i i kolumnie j liczebność oczekiwana przy niezależności zmiennych to iloczyn sum brzegowych podzielony przez liczebność całej próby:

Statystyka χ² Pearsona sumuje kwadraty odchyleń od liczebności oczekiwanych. Ma (r − 1)(c − 1) stopni swobody:

Poprawka Yatesa odejmuje od każdego |O − E| wartość 0.5. Kalkulator robi to tak samo jak funkcja chisq.test() w R, czyli odejmuje mniejszą z liczb 0.5 i najmniejszego |O − E|. Wersja „N − 1” to χ² × (N − 1) / N. Campbell (2007) porównał w symulacjach siedem testów dla tabel 2 × 2. Najlepiej wypadła strategia: χ² w wersji „N − 1”, gdy najmniejsza liczebność oczekiwana wynosi co najmniej 1, a w przeciwnym razie test Fishera. Poprawki Yatesa nie było wśród zaleceń.

Siłę związku opisuje V Craméra. W tabeli 2 × 2 V jest równe wartości bezwzględnej współczynnika phi:

Skorygowana reszta standaryzowana mówi, o ile odchyleń standardowych liczebność w komórce odbiega od oczekiwanej. Przy niezależności ma w przybliżeniu standardowy rozkład normalny. Analizę reszt w tabelach r × c opisał Haberman (1973):

Test dokładny Fishera bierze wszystkie tabele o tych samych sumach brzegowych. Każdej przypisuje prawdopodobieństwo hipergeometryczne, a dwustronne p to suma prawdopodobieństw tabel nie bardziej prawdopodobnych niż obserwowana. Tak samo liczy fisher.test() w R. Dla tabel większych niż 2 × 2 tę samą zasadę stosuje się do uogólnionego rozkładu hipergeometrycznego. Liczba tabel szybko jednak rośnie, dlatego Mehta i Patel (1983) zaproponowali algorytm sieciowy. Kalkulator przelicza tabele po kolei i przerywa po milionie tabel.

Dla tabeli 2 × 2 z komórkami a, b (pierwszy wiersz) i c, d (drugi wiersz) kalkulator liczy trzy miary efektu. Iloraz szans z przedziałem metodą Woolfa, czyli na skali logarytmu:

Gdy któraś komórka jest zerem, kalkulator dodaje 0.5 do każdej komórki i wyświetla komunikat. Tak samo robi funkcja OddsRatio() z pakietu DescTools. Ryzyko względne to iloraz odsetków zdarzenia w obu wierszach. Przedział liczy się metodą logarytmiczną, którą Katz i in. (1978) zalecili w symulacjach jako najprostszą i mniej zachowawczą od alternatywy:

Różnicę ryzyka (różnicę odsetków) kalkulator podaje w punktach procentowych. Przedział łączy przedziały Wilsona dla obu odsetków. Newcombe (1998) porównał jedenaście metod i pokazał, że ta działa dobrze i łatwo ją policzyć przy każdej liczebności. Wynik jest zgodny z BinomDiffCI(method = "score") z pakietu DescTools. Więcej o wyborze przedziału piszemy we wpisie jak porównać odsetki w dwóch grupach.

Przykład liczbowy

Tabela 2 × 2 (wartości domyślne). Na roku liczącym 95 osób 45 studentów chodziło na kurs przygotowawczy do egzaminu ze statystyki, a 50 nie chodziło (dane fikcyjne). Egzamin zdało 34 z 45 osób po kursie (75.6%) i 27 z 50 osób bez kursu (54.0%). Wszystkie liczby poniżej pochodzą z kodu R w następnej sekcji.

Wszystkie liczebności oczekiwane przekraczają 5, więc przybliżenie χ² jest tu bezpieczne. Mimo to cztery wersje testu dały cztery różne p, od .029 do .048. Wniosek się nie zmienia, ale widać, że wybór testu należy ustalić przed obliczeniami, a nie pod wynik. Skorygowane reszty wynoszą ±2.19. W tabeli 2 × 2 są równe pierwiastkowi z χ² (2.19² ≈ 4.79), więc niczego nowego nie wnoszą.

Tabela 3 × 3 (przycisk „Przykład 3 × 3”). Zapytano 110 studentów trzech kierunków o preferowaną formę zajęć. Zajęcia stacjonarne wybrało 45.0% studentów psychologii, 22.5% pedagogiki i 20.0% socjologii. Zajęcia zdalne wybrało odpowiednio 20.0%, 40.0% i 56.7%.

Wynik: χ²(4, N = 110) = 12.21, p = .016, V = .24. Test Fishera dał p = .017, a najmniejsza liczebność oczekiwana wyniosła 9. Trzy reszty przekraczają 1.96. Próg z korektą Bonferroniego na dziewięć komórek wynosi jednak 2.77. Po korekcie wyróżnia się tylko jedna komórka: studenci psychologii rzadziej, niż wynikałoby z niezależności, wybierają zajęcia zdalne.

library(DescTools)

# (1) Tabela 2 × 2: kurs przygotowawczy a zdanie egzaminu ze statystyki (dane fikcyjne)
kurs <- matrix(c(34, 11,
                 27, 23), nrow = 2, byrow = TRUE,
               dimnames = list(grupa = c("Kurs", "Bez kursu"), egzamin = c("Zdał", "Nie zdał")))
round(prop.table(kurs, 1) * 100, 1)                    # odsetki w wierszach

chisq.test(kurs, correct = FALSE)                       # chi-kwadrat Pearsona
chisq.test(kurs)                                        # z poprawką Yatesa (domyślnie w R)
chisq.test(kurs)$expected                               # liczebności oczekiwane
x2_n1 <- chisq.test(kurs, correct = FALSE)$statistic * (95 - 1) / 95
round(c(x2_n1, p = pchisq(x2_n1, df = 1, lower.tail = FALSE)), 6)   # wersja „N − 1”
round(chisq.test(kurs)$stdres, 2)                       # skorygowane reszty standaryzowane
fisher.test(kurs)$p.value                               # test dokładny Fishera
CramerV(kurs)                                           # phi = V Craméra dla 2 × 2

OddsRatio(kurs, method = "wald", conf.level = 0.95)    # OR, przedział Woolfa
p1 <- 34 / 45; p2 <- 27 / 50                            # RR, przedział logarytmiczny
se <- sqrt(1/34 - 1/45 + 1/27 - 1/50)
round(c(RR = p1 / p2, exp(log(p1 / p2) + c(-1, 1) * qnorm(0.975) * se)), 3)
BinomDiffCI(34, 45, 27, 50, method = "score")           # różnica ryzyka, Newcombe (Wilson)

# (2) Tabela 3 × 3: kierunek studiów a preferowana forma zajęć (dane fikcyjne)
forma <- matrix(c(18, 14,  8,
                   9, 15, 16,
                   6,  7, 17), nrow = 3, byrow = TRUE,
                dimnames = list(kierunek = c("Psychologia", "Pedagogika", "Socjologia"),
                                forma = c("Stacjonarne", "Hybrydowe", "Zdalne")))
round(prop.table(forma, 1) * 100, 1)                   # odsetki w wierszach
test <- chisq.test(forma)
test
round(test$expected, 2)
round(CramerV(forma), 3)
round(test$stdres, 2)                                   # skorygowane reszty standaryzowane
round(qnorm(1 - 0.05 / (2 * 9)), 2)                     # próg z poprawką Bonferroniego (9 komórek)
fisher.test(forma)$p.value

           egzamin
grupa       Zdał Nie zdał
  Kurs      75.6     24.4
  Bez kursu 54.0     46.0

	Pearson's Chi-squared test

data:  kurs
X-squared = 4.7887, df = 1, p-value = 0.02865


	Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  kurs
X-squared = 3.8966, df = 1, p-value = 0.04838

           egzamin
grupa           Zdał Nie zdał
  Kurs      28.89474 16.10526
  Bez kursu 32.10526 17.89474
  X-squared p.X-squared 
   4.738273    0.029499 
           egzamin
grupa        Zdał Nie zdał
  Kurs       2.19    -2.19
  Bez kursu -2.19     2.19
[1] 0.03380289
[1] 0.2245154
odds ratio     lwr.ci     upr.ci 
  2.632997   1.093922   6.337444 
   RR             
1.399 1.031 1.898 
           est     lwr.ci    upr.ci
[1,] 0.2155556 0.02261708 0.3856184
             forma
kierunek      Stacjonarne Hybrydowe Zdalne
  Psychologia        45.0      35.0   20.0
  Pedagogika         22.5      37.5   40.0
  Socjologia         20.0      23.3   56.7

	Pearson's Chi-squared test

data:  forma
X-squared = 12.209, df = 4, p-value = 0.01586

             forma
kierunek      Stacjonarne Hybrydowe Zdalne
  Psychologia          12     13.09  14.91
  Pedagogika           12     13.09  14.91
  Socjologia            9      9.82  11.18
[1] 0.236
             forma
kierunek      Stacjonarne Hybrydowe Zdalne
  Psychologia         2.6      0.38  -2.83
  Pedagogika         -1.3      0.81   0.45
  Socjologia         -1.4     -1.29   2.58
[1] 2.77
[1] 0.0172771

Jak interpretować wynik

Test mówi, czy związek jest, a miara efektu – jak duży. Wartość p z testu χ² zależy od liczebności próby. W bardzo dużej próbie nawet słaby związek wyjdzie istotny. Dlatego obok testu zawsze podawaj V Craméra, a w tabeli 2 × 2 także różnicę odsetków albo OR lub RR z przedziałem ufności. Jak rozumieć samo p, wyjaśnia wpis o interpretacji wartości p.

• OR czy RR? W przykładzie OR = 2.63, a RR = 1.40. To nie błąd, tylko dwie różne miary. Szanse zdania (34:11 wobec 27:23) różnią się bardziej niż odsetki (75.6% wobec 54.0%). Davies i in. (1998) pokazali, że iloraz szans odczytany jak ryzyko względne zawsze zawyża efekt, i to tym bardziej, im częstsze jest zdarzenie. Przy częstym wyniku pisz więc o ryzyku względnym albo o różnicy odsetków. OR zostaw do regresji logistycznej i do badań kliniczno-kontrolnych, w których ryzyka nie da się policzyć. Bland i Altman (2000) wskazują, że właśnie w tych sytuacjach OR jest najwygodniejszą miarą związku dwóch zmiennych dychotomicznych.
• Różnica ryzyka jest najłatwiejsza do opowiedzenia: na 100 osób po kursie przypada około 22 osób więcej, które zdały. Szeroki przedział (od 2.3 do 38.6 p.p.) przypomina, że przy 95 osobach efekt jest oszacowany mało precyzyjnie.
• Reszty pokazują, skąd się bierze związek. Istotny χ² dla tabeli większej niż 2 × 2 mówi tylko, że zmienne nie są niezależne. Sharpe (2015) omawia cztery sposoby dalszej analizy: reszty, porównania par komórek, przeszukiwanie tabeli i jej podział. Reszty są najprostsze. Przy wielu komórkach rośnie jednak ryzyko przypadkowych „istotnych” reszt, dlatego kalkulator podaje też próg z korektą Bonferroniego. Więcej o tym problemie piszemy w poradniku o poprawkach na wielokrotne porównania.
• Fisher i χ² mogą się nie zgadzać. Mehta i Patel (1983) zauważyli, że w tabelach z wieloma małymi liczebnościami oba testy często prowadzą do sprzecznych wniosków. Gdy liczebności oczekiwane są małe, opieraj wniosek na teście Fishera. Szczegóły i reguły wyboru omawia wpis chi-kwadrat czy test Fishera.

Ograniczenia

• Tylko próby niezależne. Jeśli te same osoby odpowiadały dwa razy (przed i po), tabela 2 × 2 wymaga testu McNemara. Policzysz go w kalkulatorze kappy i testu McNemara.
• Kategorie uporządkowane. χ² nie bierze pod uwagę kolejności kategorii. Gdy kolumny są stopniami (np. „nigdy – czasem – często”), a wiersze to dwie grupy, mocniejszy bywa test trendu Cochrana–Armitage’a.
• Test Fishera dla dużych tabel. Kalkulator przelicza wszystkie tabele o tych samych sumach brzegowych. Gdy jest ich więcej niż milion, przerywa i to zgłasza. Wtedy policz p w R funkcją fisher.test() albo z symulacją (simulate.p.value = TRUE).
• Zera w tabeli 2 × 2. Poprawka 0.5 pozwala policzyć OR i RR, ale przedział jest wtedy bardzo szeroki i zależy od samej poprawki. Raportuj surowe liczebności.
• Bez czynników zakłócających. Tabela krzyżowa nie uwzględnia wieku, płci ani innych zmiennych. Do tego potrzebna jest regresja logistyczna.
• Plan badania. Kalkulator nie liczy mocy. Liczebność dla testu χ² zaplanujesz w kalkulatorze mocy dla ANOVA, chi-kwadrat i regresji.

Zapis w pracy (APA)

Podaj liczebności i odsetki w grupach, statystykę χ² ze stopniami swobody i liczebnością próby w nawiasie, dokładne p (bez zera przed kropką, p < .001 dla bardzo małych wartości) i miarę efektu. Gdy korzystasz z testu Fishera, napisz dlaczego. Więcej gotowych zdań znajdziesz we wpisie jak opisać wyniki w stylu APA.

Dla tabeli większej niż 2 × 2 dodaj zdanie o resztach, np.: „Skorygowane reszty standaryzowane wskazały, że studenci psychologii rzadziej niż oczekiwano wybierali zajęcia zdalne (z = −2.83; próg z korektą Bonferroniego 2.77)”. Jeśli opis wyników ma się zgadzać z całym rozdziałem, wypróbuj też generator opisu wyników APA. Masz kilka tabel i nie wiesz, który test wybrać do pracy? Zajrzyj do oferty analiz dla studentów.

Najczęstsze pytania

Jak ułożyć tabelę 2 × 2, żeby iloraz szans i ryzyko względne wyszły we właściwą stronę?

W pierwszym wierszu wpisz grupę, którą porównujesz (np. osoby po kursie albo eksponowanych), w drugim – grupę odniesienia. W pierwszej kolumnie wpisz zdarzenie, którego odsetek liczysz (np. „zdał”), w drugiej jego brak. Wtedy OR i RR powyżej 1 oznaczają, że zdarzenie jest częstsze w pierwszym wierszu. Zamiana wierszy daje odwrotność ilorazu (1 / OR), a RR zmienia się analogicznie. Na χ² i test Fishera układ nie ma wpływu.

Dlaczego dla tej samej tabeli 2 × 2 kalkulator podaje kilka różnych wartości p?

Bo to różne testy tej samej hipotezy. W przykładzie χ² Pearsona daje p = .029, wersja „N − 1” – .029, test Fishera – .034, a χ² z poprawką Yatesa – .048. Wersję wybierz przed obliczeniami. Campbell (2007) zaleca χ² „N − 1”, gdy najmniejsza liczebność oczekiwana wynosi co najmniej 1, a w przeciwnym razie test Fishera. Uwaga: chisq.test() w R domyślnie stosuje poprawkę Yatesa dla 2 × 2.

Co oznacza gwiazdka przy reszcie w tabeli r × c?

Pogrubiona reszta przekracza 1.96, czyli w tej komórce obserwacji jest wyraźnie więcej (reszta dodatnia) albo mniej (ujemna), niż wynikałoby z niezależności zmiennych. Gwiazdka oznacza, że reszta przekracza też próg z korektą Bonferroniego na liczbę komórek, np. 2.77 dla tabeli 3 × 3. Tylko takie komórki opisuj jako wyraźne źródło związku, bo przy wielu komórkach pojedyncze reszty powyżej 1.96 mogą być przypadkowe.

Dlaczego kalkulator nie policzył testu Fishera dla mojej tabeli?

Test Fishera dla tabeli większej niż 2 × 2 wymaga przejrzenia wszystkich tabel o tych samych sumach brzegowych. Przy dużej liczebności i wielu komórkach jest ich miliony, więc kalkulator przerywa po milionie tabel, żeby nie zablokować przeglądarki. Przy takich liczebnościach oczekiwanych χ² zwykle wystarcza. Jeśli wiele komórek ma liczebność oczekiwaną poniżej 5, policz p w R: fisher.test(tab, simulate.p.value = TRUE, B = 1e5).

Co zrobić, gdy w tabeli 2 × 2 jest zero i iloraz szans wychodzi nieskończony?

Kalkulator dodaje wtedy 0.5 do każdej komórki i pokazuje komunikat, tak samo jak funkcja OddsRatio() z pakietu DescTools. Tak poprawione OR ma bardzo szeroki przedział, który zależy od samej poprawki. W pracy podaj surowe liczebności, wynik testu Fishera i różnicę odsetków z przedziałem Newcombe’a, która przy zerze nie wymaga żadnej poprawki.

Powiązane hasła

Przeczytaj też

@article{bland2000statistics, author={Bland, J. Martin and Altman, Douglas G.}, title={{Statistics notes: The odds ratio}}, journal={BMJ}, year={2000}, volume={320}, number={7247}, pages={1468}, doi={10.1136/bmj.320.7247.1468}}

@article{campbell2007chi, author={Campbell, Ian}, title={{Chi-squared and Fisher–Irwin tests of two-by-two tables with small sample recommendations}}, journal={Statistics in Medicine}, year={2007}, volume={26}, number={19}, pages={3661--3675}, doi={10.1002/sim.2832}}

@article{davies1998when, author={Davies, Huw T. O. and Crombie, Iain K. and Tavakoli, Manouchehr}, title={{When can odds ratios mislead?}}, journal={BMJ}, year={1998}, volume={316}, number={7136}, pages={989--991}, doi={10.1136/bmj.316.7136.989}}

@article{haberman1973analysis, author={Haberman, Shelby J.}, title={{The analysis of residuals in cross-classified tables}}, journal={Biometrics}, year={1973}, volume={29}, number={1}, pages={205--220}, doi={10.2307/2529686}}

@article{katz1978obtaining, author={Katz, D. and Baptista, J. and Azen, S. P. and Pike, M. C.}, title={{Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies}}, journal={Biometrics}, year={1978}, volume={34}, number={3}, pages={469--474}, doi={10.2307/2530610}}

@article{mehta1983network, author={Mehta, Cyrus R. and Patel, Nitin R.}, title={{A network algorithm for performing Fisher’s exact test in r × c contingency tables}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1983}, volume={78}, number={382}, pages={427--434}, doi={10.1080/01621459.1983.10477989}}

@article{newcombe1998interval, author={Newcombe, Robert G.}, title={{Interval estimation for the difference between independent proportions: Comparison of eleven methods}}, journal={Statistics in Medicine}, year={1998}, volume={17}, number={8}, pages={873--890}, doi={10.1002/(sici)1097-0258(19980430)17:8<873::aid-sim779>3.0.co;2-i}}

@article{sharpe2015chisquare, author={Sharpe, Donald}, title={{Chi-square test is statistically significant: Now what?}}, journal={Practical Assessment, Research, and Evaluation}, year={2015}, volume={20}, eid={8}, doi={10.7275/tbfa-x148}}