Kalkulator metaanalizy z wykresem lasu: REML, Knapp–Hartung, I² i przedział predykcji

Autor: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 28 października 2026

Kalkulator metaanalizy online

Jak używać kalkulatora

Kalkulator służy do szybkiej metaanalizy kilku lub kilkunastu badań, gdy masz już policzone wielkości efektu. Przyda się do sprawdzenia liczb z cudzej metaanalizy, do minimetaanalizy własnych badań w artykule albo do wstępnego obejrzenia danych przed pełną analizą w R. Każde badanie wnosi jeden efekt. Jak zaplanować cały przegląd, wyszukać badania i wyliczyć efekty, pokazuje poradnik metaanaliza krok po kroku.

1. Przygotuj efekty na wspólnej skali. Wszystkie badania muszą mieć tę samą miarę i ten sam kierunek, np. g Hedgesa, w którym wartość dodatnia oznacza poprawę. Średnie i odchylenia standardowe przelicz najpierw na standaryzowaną różnicę średnich, np. w konwerterze wielkości efektu. Korelacje przelicz na z Fishera, a po metaanalizie z powrotem na r.
2. Wpisz błąd standardowy albo przedział ufności. Gdy artykuł podaje tylko przedział ufności, wpisz jego granice. Kalkulator odtworzy błąd standardowy z szerokości przedziału. W jednym zestawie możesz mieszać wiersze z SE i wiersze z CI. Jeśli przedziały w artykułach mają poziom 90% albo 99%, zmień pole „Poziom przedziałów w danych”.
3. Ilorazy licz na skali logarytmu. Dla ilorazu szans, ryzyka względnego i ilorazu hazardów wybierz drugą skalę i wpisz wartości tak, jak w artykule (np. OR = 1.73 [0.84, 3.56]). Kalkulator policzy wszystko na logarytmach i wyniki przeliczy z powrotem. Jeśli podajesz SE, musi to być SE logarytmu ilorazu.
4. Wybierz opcje modelu. Domyślne ustawienia to REML z poprawką Knappa–Hartunga, tak jak w poradniku. Estymator DerSimoniana–Lairda i test z przydają się do porównania z dawnymi publikacjami.

Wynik zawiera model efektów losowych i model efektu stałego, statystyki heterogeniczności, tabelę wag, wykres lasu do pobrania jako plik SVG i gotowe zdanie do pracy. Plik SVG otworzysz w przeglądarce, w programie graficznym albo wstawisz do edytora tekstu.

Wzory

Każde badanie i daje efekt y_i i wariancję v_i = SE_i². Gdy podajesz przedział ufności, błąd standardowy to szerokość przedziału podzielona przez dwie wartości krytyczne rozkładu normalnego (dla ilorazów na skali logarytmu):

Model efektu stałego waży badania odwrotnością wariancji, w_i = 1 / v_i. Z tych samych wag powstaje statystyka Q Cochrana, porównywana z rozkładem χ² o k − 1 stopniach swobody:

Model efektów losowych zakłada, że prawdziwe efekty różnią się między badaniami z wariancją τ². Wagi mają wtedy postać w_i* = 1 / (v_i + τ̂²), a średni efekt i jego SE liczy się tak samo jak wyżej, tylko z wagami w_i*. Estymator DerSimoniana i Laird (1986) ma jawny wzór:

REML (ograniczona największa wiarygodność) nie ma jawnego wzoru. Kalkulator szuka maksimum algorytmem Fishera, tak jak funkcja rma() pakietu metafor (Viechtbauer, 2010). Startuje z prostego estymatora momentów, a gdy krok wypadłby poniżej zera, skraca go o połowę. Kończy, gdy zmiana τ² spada poniżej 10⁻¹⁰.

Poprawka Knappa–Hartunga zastępuje błąd standardowy wersją opartą na rzeczywistym rozrzucie efektów i używa rozkładu t z k − 1 stopniami swobody:

I² i H² Higgins i Thompson (2002) zaproponowali jako miary wpływu heterogeniczności niezależne od liczby badań i od skali efektu. Kalkulator liczy je tak jak metafor: w modelu losowym z oszacowanego τ² i „typowej” wariancji w badaniu s², a w modelu stałym z Q. Przy estymatorze DL obie wersje dają ten sam wynik.

Przedział predykcji dodaje do niepewności średniej rozrzut prawdziwych efektów:

Wartość krytyczna c pochodzi z tego samego rozkładu co przedział ufności: normalnego albo t z k − 1 df przy poprawce Knappa–Hartunga. Tak liczy metafor. Riley i in. (2011) proponują rozkład t z k − 2 stopniami swobody i ten wariant też możesz wybrać. Przy k = 2 nie da się go policzyć.

Przykład liczbowy

Przykład 1: g Hedgesa z SE. Dziesięć badań z losowym przydziałem porównywało trening uważności z grupą kontrolną. Wynikiem był lęk studentów, a dodatnie g oznacza mniej lęku po treningu (dane symulowane). Dane z każdego badania to g i jego SE. Są wpisane domyślnie w kalkulator.

Średni efekt jest prawie taki sam we wszystkich modelach. Różni się szerokość przedziału. Model stały daje najwęższy przedział, bo zakłada jeden wspólny efekt. Poprawka Knappa–Hartunga daje najszerszy, bo przy dziesięciu badaniach korzysta z rozkładu t z 9 df: t(9) = 3.81, p = .004. Heterogeniczność jest umiarkowana: Q(9) = 12.58, p = .182, τ = 0.13, H² = 1.43. Wagi badań w modelu losowym wahają się od 6.2% do 13.4%.

Najwięcej mówi przedział predykcji: 95% PI [−0.06, 0.62]. W nowym badaniu podobnego treningu prawdziwy efekt może więc wynieść od zera do umiarkowanej poprawy, choć średni efekt jest wyraźnie istotny. Wariant Riley i in. (2011) z 8 df daje prawie to samo, [−0.06, 0.63].

Przykład 2: iloraz szans z przedziałów ufności. Sześć badań podało iloraz szans remisji po terapii w porównaniu z grupą kontrolną z 95% CI (dane symulowane). Wybierz skalę ilorazu i kliknij „Wstaw przykład dla wybranej skali”. Kalkulator odtworzy SE logarytmu OR z każdego przedziału.

To typowa sytuacja, w której wybór metody zmienia wniosek. Przy sześciu wyraźnie różnych badaniach test z daje wynik istotny, a poprawka Knappa–Hartunga – nie. Przedział predykcji od 0.45 do 5.90 pokazuje, że w nowym badaniu terapia mogłaby zarówno wyraźnie pomóc, jak i zaszkodzić.

library(metafor)

# (a) 10 badań: trening uważności a lęk u studentów, g Hedgesa (dodatni = mniej lęku)
set.seed(1515)
k <- 10
n <- sample(20:80, k, replace = TRUE)                # osób w każdej grupie
theta <- rnorm(k, 0.40, 0.20)                        # prawdziwe efekty badań
grupy <- t(sapply(seq_len(k), function(i) {
  kontrola <- rnorm(n[i], 24, 6)                     # lęk w grupie kontrolnej
  trening  <- rnorm(n[i], 24 - 6 * theta[i], 6)      # lęk po treningu uważności
  c(mean(kontrola), sd(kontrola), mean(trening), sd(trening))
}))
es <- escalc("SMD", m1i = grupy[, 1], sd1i = grupy[, 2], n1i = n,
             m2i = grupy[, 3], sd2i = grupy[, 4], n2i = n)
dane <- data.frame(badanie = paste("Badanie", 1:k), g = round(es$yi, 2), se = round(sqrt(es$vi), 3))
cat(sprintf("%s; %.2f; %.3f", dane$badanie, dane$g, dane$se), sep = "\n")   # do wklejenia w kalkulator

fe   <- rma(yi = g, sei = se, data = dane, method = "FE")
reml <- rma(yi = g, sei = se, data = dane, method = "REML")
kh   <- rma(yi = g, sei = se, data = dane, method = "REML", test = "knha")
dl   <- rma(yi = g, sei = se, data = dane, method = "DL", test = "knha")
kh
predict(kh)
predict(kh, predtype = "Riley")                      # przedział predykcji z t o k − 2 df
podsumuj <- function(m, nazwa) data.frame(model = nazwa, est = m$b[1], se = m$se, ci.lb = m$ci.lb, ci.ub = m$ci.ub,
                                         pval = m$pval, tau2 = m$tau2, I2 = m$I2, H2 = m$H2)
print(rbind(podsumuj(fe, "FE"), podsumuj(reml, "REML z"), podsumuj(kh, "REML KH"), podsumuj(dl, "DL KH")), digits = 3)
round(weights(kh), 1)                                # wagi w modelu losowym, %

# (b) iloraz szans z 95% CI z artykułów: 6 badań, remisja po terapii a kontrola
set.seed(2815)
n1 <- sample(30:120, 6); n2 <- sample(30:120, 6)
p2 <- runif(6, 0.20, 0.40); p1 <- plogis(qlogis(p2) + rnorm(6, 0.55, 0.25))
x1 <- rbinom(6, n1, p1); x2 <- rbinom(6, n2, p2)
or <- escalc("OR", ai = x1, n1i = n1, ci = x2, n2i = n2)
s <- summary(or)
art <- data.frame(badanie = paste("Badanie", LETTERS[1:6]), OR = round(exp(s$yi), 2),
                  dolna = round(exp(s$ci.lb), 2), gorna = round(exp(s$ci.ub), 2))
cat(sprintf("%s; %.2f; %.2f; %.2f", art$badanie, art$OR, art$dolna, art$gorna), sep = "\n")
# SE logarytmu OR odtworzony z zaokrąglonego przedziału ufności
art$yi  <- log(art$OR)
art$sei <- (log(art$gorna) - log(art$dolna)) / (2 * qnorm(0.975))
m_or <- rma(yi = yi, sei = sei, data = art, method = "REML", test = "knha")
m_or
predict(m_or, transf = exp)
m_or_z <- rma(yi = yi, sei = sei, data = art, method = "REML")   # bez poprawki Knappa–Hartunga
round(c(OR = exp(m_or_z$b[1]), ci.lb = exp(m_or_z$ci.lb), ci.ub = exp(m_or_z$ci.ub), pval = m_or_z$pval), 4)

Badanie 1; 0.07; 0.209
Badanie 2; 0.33; 0.231
Badanie 3; 0.15; 0.160
Badanie 4; 0.14; 0.273
Badanie 5; -0.05; 0.183
Badanie 6; 0.67; 0.236
Badanie 7; 0.12; 0.254
Badanie 8; 0.61; 0.174
Badanie 9; 0.41; 0.177
Badanie 10; 0.33; 0.166

Random-Effects Model (k = 10; tau^2 estimator: REML)

tau^2 (estimated amount of total heterogeneity): 0.0170 (SE = 0.0264)
tau (square root of estimated tau^2 value):      0.1304
I^2 (total heterogeneity / total variability):   30.29%
H^2 (total variability / sampling variability):  1.43

Test for Heterogeneity:
Q(df = 9) = 12.5842, p-val = 0.1823

Model Results:

estimate      se    tval  df    pval   ci.lb   ci.ub     
  0.2819  0.0740  3.8068   9  0.0042  0.1144  0.4494  ** 

---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


   pred     se  ci.lb  ci.ub   pi.lb  pi.ub 
 0.2819 0.0740 0.1144 0.4494 -0.0574 0.6212 


   pred     se  ci.lb  ci.ub   pi.lb  pi.ub 
 0.2819 0.0740 0.1144 0.4494 -0.0640 0.6277 

    model   est     se ci.lb ci.ub     pval   tau2   I2   H2
1      FE 0.283 0.0622 0.161 0.405 5.44e-06 0.0000 28.5 1.40
2  REML z 0.282 0.0756 0.134 0.430 1.91e-04 0.0170 30.3 1.43
3 REML KH 0.282 0.0740 0.114 0.449 4.17e-03 0.0170 30.3 1.43
4   DL KH 0.282 0.0740 0.114 0.449 4.16e-03 0.0156 28.5 1.40
   1    2    3    4    5    6    7    8    9   10 
 9.4  8.1 13.4  6.2 11.3  7.9  7.0 12.1 11.8 12.8 
Badanie A; 1.73; 0.84; 3.56
Badanie B; 0.49; 0.19; 1.28
Badanie C; 1.39; 0.72; 2.71
Badanie D; 1.41; 0.63; 3.15
Badanie E; 2.64; 1.35; 5.18
Badanie F; 2.99; 1.57; 5.70

Random-Effects Model (k = 6; tau^2 estimator: REML)

tau^2 (estimated amount of total heterogeneity): 0.1886 (SE = 0.2082)
tau (square root of estimated tau^2 value):      0.4343
I^2 (total heterogeneity / total variability):   57.76%
H^2 (total variability / sampling variability):  2.37

Test for Heterogeneity:
Q(df = 5) = 11.6706, p-val = 0.0396

Model Results:

estimate      se    tval  df    pval    ci.lb   ci.ub    
  0.4911  0.2471  1.9870   5  0.1036  -0.1442  1.1263    

---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


   pred  ci.lb  ci.ub  pi.lb  pi.ub 
 1.6340 0.8657 3.0844 0.4523 5.9035 

    OR  ci.lb  ci.ub   pval 
1.6340 1.0317 2.5880 0.0363 

Jak interpretować wynik

Średni efekt to nie efekt, którego możesz się spodziewać w każdym badaniu. W modelu losowym θ̂ to średnia rozkładu prawdziwych efektów. Riley i in. (2011) podkreślają, że do zastosowania wyników w praktyce potrzebny jest przedział predykcji, bo opisuje prawdopodobny efekt w pojedynczym nowym kontekście. IntHout i in. (2016) przeanalizowali 479 istotnych metaanaliz z bazy Cochrane z I² > 0. W 72.4% z nich 95% przedział predykcji obejmował efekt zerowy albo przeciwny, dlatego autorzy zalecają podawać go rutynowo. Więcej o tym piszemy w haśle przedział predykcji w metaanalizie.

• Model stały czy losowy? Borenstein i in. (2010) zwracają uwagę, że oba modele mają podobne wzory, ale zupełnie inne założenia. Model stały odpowiada na pytanie o jeden wspólny efekt, a model losowy – o średnią z różnych efektów. Wybieraj model przed obejrzeniem wyników, na podstawie tego, jak różne są badania. Szerzej opisuje to hasło efekty stałe i losowe.
• REML czy DerSimonian–Laird? Veroniki i in. (2016) w przeglądzie 16 estymatorów τ² piszą, że metoda DL od dawna budzi zastrzeżenia, a dla danych ciągłych lepszym wyborem jest REML. Dlatego REML jest ustawieniem domyślnym. DL wybierz, gdy chcesz odtworzyć starszą publikację.
• Poprawka Knappa–Hartunga. IntHout i in. (2014) pokazali w symulacjach, że metoda Hartunga–Knappa–Sidika–Jonkmana lepiej utrzymuje poziom błędu I rodzaju niż klasyczny test z τ² z DL. Odpowiada jej opcja test = "knha" w metafor. W 689 metaanalizach z bazy Cochrane co czwarty wynik istotny metodą DL przestawał być istotny. Przykład 2 pokazuje taki przypadek.
• I² nie mówi, jak bardzo różnią się efekty. Higgins i Thompson (2002) zdefiniowali I² jako odsetek zmienności oszacowań, który wynika z heterogeniczności, a nie z błędu losowego. To względna miara: przy dużych i precyzyjnych badaniach nawet małe τ² daje wysokie I². O rozrzucie efektów w jednostkach miary mówi τ, a o praktycznym znaczeniu – przedział predykcji. Zob. hasło I² i τ².
• Nieistotne Q nie dowodzi jednorodności. Przy kilku badaniach test ma małą moc. W przykładzie 1 Q było nieistotne, a τ² = 0.017 i tak poszerza przedział predykcji.

Jeśli heterogeniczność jest wyraźna i masz hipotezę, skąd się bierze, następnym krokiem jest metaregresja. Jak ją wykonać i opisać, pokazuje wpis metaregresja i analiza moderatorów.

Ograniczenia

• Jeden efekt na badanie. Gdy jedno badanie daje kilka efektów (kilka miar, kilka porównań z tą samą grupą kontrolną), efekty są zależne. Potrzebny jest model trójpoziomowy, opisany we wpisie o metaanalizie wielopoziomowej.
• SE z przedziału ufności to przybliżenie. Kalkulator zakłada, że przedział powstał z rozkładu normalnego. Przedziały z rozkładu t w małych badaniach albo przedziały zaokrąglone do jednego miejsca po przecinku dają SE nieco inne niż prawdziwe. Lepiej policzyć efekt i SE z surowych danych (średnie, SD, liczebności, tabele 2×2).
• Brak oceny błędu publikacji. Kalkulator nie rysuje wykresu lejkowego i nie liczy testu Eggera. Przy kilku badaniach i tak mają one małą moc. Pamiętaj, że błąd publikacji może zawyżać średni efekt niezależnie od wybranego modelu.
• Mało badań to mało informacji o τ². Przy k = 2–5 oszacowanie τ² jest bardzo niepewne. IntHout i in. (2014) zalecają ostrożność także przy poprawce Knappa–Hartunga, gdy łączy się 5 lub mniej badań o bardzo różnej liczebności. Taki wynik podawaj z zastrzeżeniem i bez mocnych wniosków o heterogeniczności.
• Kalkulator nie zastąpi przeglądu. O jakości metaanalizy decyduje dobór badań i ocena ich ryzyka błędu. Opisuje to hasło przegląd systematyczny i PRISMA. Pełną analizę z kodem, który recenzent może odtworzyć, wykonaj w R.

Zapis w pracy (APA)

Podaj liczbę badań, miarę efektu, model, estymator τ², metodę przedziału ufności i oprogramowanie. Potem średni efekt z CI i testem, a następnie Q, τ² (albo τ), I² i przedział predykcji. Dla ilorazów dopisz, że obliczenia prowadzono na skali logarytmu. I² podawaj w procentach, a p bez zera wiodącego.

Wykres lasu z kalkulatora możesz wstawić jako rysunek. W podpisie wyjaśnij, co oznaczają kwadraty (waga badania w modelu losowym), romby (średnie efekty) i pasek (przedział predykcji). Wielkości efektu w pojedynczych badaniach pomaga odczytać poradnik wielkość efektu – interpretacja. Jeśli przygotowujesz metaanalizę do artykułu albo projektu grantowego i chcesz, żeby ktoś sprawdził model i raport, zajrzyj do oferty analiz dla badaczy.

Najczęstsze pytania

Jak policzyć błąd standardowy z przedziału ufności do metaanalizy?

Podziel szerokość przedziału przez dwie wartości krytyczne: przy 95% CI SE = (górna − dolna) / (2 × 1.96). Dla ilorazu szans albo ryzyka względnego zrób to na logarytmach: SE = (ln górna − ln dolna) / 3.92. To przybliżenie zakłada przedział z rozkładu normalnego; przy przedziałach 90% lub 99% użyj 1.645 albo 2.576.

Jak połączyć ilorazy szans z kilku badań w metaanalizie?

Przelicz każdy OR na logarytm naturalny, a jego SE odtwórz z przedziału ufności na skali logarytmu. Metaanalizę wykonaj na ln OR, a średni efekt i granice przedziałów przelicz z powrotem funkcją wykładniczą. W kalkulatorze wybierz skalę ilorazu i wklej OR z granicami 95% CI – reszta dzieje się automatycznie.

Czy można zrobić metaanalizę z dwóch badań?

Liczbowo tak: kalkulator i metafor policzą model także dla k = 2. Wariancji między badaniami nie da się jednak sensownie oszacować z dwóch efektów, a przedział z poprawką Knappa–Hartunga opiera się wtedy na rozkładzie t z 1 stopniem swobody i bywa bardzo szeroki. Przy dwóch badaniach opisz wynik ostrożnie i bez wniosków o heterogeniczności.

REML czy DerSimonian–Laird – który estymator τ² wybrać?

Domyślnie wybierz REML. Veroniki i in. (2016) w przeglądzie 16 estymatorów piszą, że metoda DerSimoniana–Lairda od dawna budzi zastrzeżenia, a dla danych ciągłych lepszym wyborem jest REML. DL przydaje się głównie do odtworzenia starszych publikacji. Ważniejszy od estymatora bywa sposób liczenia przedziału ufności – z poprawką Knappa–Hartunga albo bez niej.

Dlaczego po poprawce Knappa–Hartunga wynik metaanalizy przestał być istotny?

Poprawka zastępuje rozkład normalny rozkładem t z k − 1 stopniami swobody i liczy błąd standardowy z faktycznego rozrzutu efektów, więc przy niewielu niejednorodnych badaniach przedział się poszerza. IntHout i in. (2014) pokazali, że ta metoda lepiej utrzymuje poziom błędu I rodzaju, a w 689 metaanalizach z bazy Cochrane co czwarty wynik istotny klasyczną metodą przestawał być istotny. Zwykle to bardziej wiarygodny wynik, a nie błąd.

Powiązane hasła

Przeczytaj też

@article{borenstein2010basic, author={Borenstein, Michael and Hedges, Larry V. and Higgins, Julian P. T. and Rothstein, Hannah R.}, title={{A basic introduction to fixed-effect and random-effects models for meta-analysis}}, journal={Research Synthesis Methods}, year={2010}, volume={1}, number={2}, pages={97--111}, doi={10.1002/jrsm.12}}

@article{dersimonian1986meta, author={DerSimonian, Rebecca and Laird, Nan}, title={{Meta-analysis in clinical trials}}, journal={Controlled Clinical Trials}, year={1986}, volume={7}, number={3}, pages={177--188}, doi={10.1016/0197-2456(86)90046-2}}

@article{higgins2002quantifying, author={Higgins, Julian P. T. and Thompson, Simon G.}, title={{Quantifying heterogeneity in a meta-analysis}}, journal={Statistics in Medicine}, year={2002}, volume={21}, number={11}, pages={1539--1558}, doi={10.1002/sim.1186}}

@article{inthout2014hartung, author={IntHout, Joanna and Ioannidis, John P. A. and Borm, George F.}, title={{The Hartung-Knapp-Sidik-Jonkman method for random effects meta-analysis is straightforward and considerably outperforms the standard DerSimonian-Laird method}}, journal={BMC Medical Research Methodology}, year={2014}, volume={14}, number={1}, eid={25}, doi={10.1186/1471-2288-14-25}}

@article{inthout2016plea, author={IntHout, Joanna and Ioannidis, John P. A. and Rovers, Maroeska M. and Goeman, Jelle J.}, title={{Plea for routinely presenting prediction intervals in meta-analysis}}, journal={BMJ Open}, year={2016}, volume={6}, number={7}, eid={e010247}, doi={10.1136/bmjopen-2015-010247}}

@article{riley2011interpretation, author={Riley, Richard D. and Higgins, Julian P. T. and Deeks, Jonathan J.}, title={{Interpretation of random effects meta-analyses}}, journal={BMJ}, year={2011}, volume={342}, eid={d549}, doi={10.1136/bmj.d549}}

@article{veroniki2016methods, author={Veroniki, Areti Angeliki and Jackson, Dan and Viechtbauer, Wolfgang and Bender, Ralf and Bowden, Jack and Knapp, Guido and Kuss, Oliver and Higgins, Julian P. T. and Langan, Dean and Salanti, Georgia}, title={{Methods to estimate the between-study variance and its uncertainty in meta-analysis}}, journal={Research Synthesis Methods}, year={2016}, volume={7}, number={1}, pages={55--79}, doi={10.1002/jrsm.1164}}

@article{viechtbauer2010conducting, author={Viechtbauer, Wolfgang}, title={{Conducting meta-analyses in R with the metafor package}}, journal={Journal of Statistical Software}, year={2010}, volume={36}, number={3}, pages={1--48}, doi={10.18637/jss.v036.i03}}