Paradoks Simpsona – co to jest i dlaczego związek odwraca się w podgrupach?

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 18 października 2026

Co to jest paradoks Simpsona?

Paradoks Simpsona (ang. Simpson's paradox) to sytuacja, w której związek dwóch zmiennych w całej próbie ma inny kierunek niż w każdej z jej podgrup. Kievit i in. (2013) pokazują, że w psychologii zdarza się częściej, niż się sądzi, zwłaszcza gdy wnioski przenosi się między poziomami: z populacji na podgrupy albo z grup na pojedyncze osoby. Najłatwiej go zobaczyć w tabeli krzyżowej z odsetkami.

Skąd się bierze

Odsetek w całej grupie to średnia ważona odsetków z podgrup:

gdzie w₁ i w₂ to udziały podgrup w porównywanej grupie. Kierunek może się odwrócić, gdy trzecia zmienna silnie wiąże się z wynikiem, a porównywane grupy mają bardzo różny skład pod jej względem. Najczęściej jest nią zmienna zakłócająca.

Przykład

Dane 640 studentów z trzech roczników: udział w zajęciach wyrównawczych ze statystyki i zaliczenie egzaminu (dane przykładowe).

W obu podgrupach uczestnicy zajęć zdawali częściej, a w całej próbie – rzadziej (iloraz szans OR = 0.79). Na zajęcia chodziły głównie osoby z maturą podstawową (75% uczestników wobec 25% pozostałych), które zdawały rzadziej niezależnie od zajęć: 0.75 × 60% + 0.25 × 90% = 67.5%, a 0.25 × 50% + 0.75 × 80% = 72.5%. Iloraz szans Mantela–Haenszela, liczony w podgrupach, wyniósł OR = 1.71, 95% CI [1.12, 2.62].

Jak zapisać w pracy

Podaj wynik łączny i wynik w podgrupach:

# Zajęcia wyrównawcze a zaliczenie egzaminu: 640 studentów, warstwy według matury z matematyki (dane przykładowe)
tab <- array(c(144, 96, 40, 40,   72, 8, 192, 48), dim = c(2, 2, 2), dimnames = list(
  egzamin = c("zdany", "niezdany"), zajecia = c("tak", "nie"), matura = c("podstawowa", "rozszerzona")))
razem <- apply(tab, 1:2, sum)                                  # tabela łączna (bez podziału na warstwy)
round(100 * prop.table(razem, 2)["zdany", ], 1)               # odsetek zaliczeń: razem
round(100 * prop.table(tab, 2:3)["zdany", , ], 1)             # odsetek zaliczeń w warstwach
apply(tab, 2:3, sum)                                           # liczebności grup
round(100 * prop.table(apply(tab, 2:3, sum), 1), 1)           # skład grup według matury
round(c(OR_laczny = (razem[1, 1] * razem[2, 2]) / (razem[1, 2] * razem[2, 1])), 2)
mantelhaen.test(tab)                                           # wspólny iloraz szans w warstwach

 tak  nie 
67.5 72.5 
       matura
zajecia podstawowa rozszerzona
    tak         60          90
    nie         50          80
       matura
zajecia podstawowa rozszerzona
    tak        240          80
    nie         80         240
       matura
zajecia podstawowa rozszerzona
    tak         75          25
    nie         25          75
OR_laczny 
     0.79 

	Mantel-Haenszel chi-squared test with continuity correction

data:  tab
Mantel-Haenszel X-squared = 5.6522, df = 1, p-value = 0.01743
alternative hypothesis: true common odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 1.121348 2.620752
sample estimates:
common odds ratio 
         1.714286 

Na co uważać

• Statystyka nie rozstrzyga, której tabeli wierzyć. Kievit i in. (2013) przypominają, że same dane obserwacyjne nie mówią, czy trzecia zmienna jest zakłócająca, czy jest mediatorem – a od tego zależy, czy ją kontrolować. Poziom matury powstał przed zajęciami, więc liczą się podgrupy; gdyby był skutkiem badanej przyczyny, właściwa byłaby tabela łączna.
• Odwrócenie nie dowodzi skuteczności zajęć. To nadal dane z badania korelacyjnego; podobnie mogą działać niezmierzone różnice, a mocny wniosek daje dopiero randomizacja.
• Klasyczny przykład. Bickel i in. (1975) pokazali, że w zbiorczych danych z Berkeley kobiety rzadziej przyjmowano na studia doktoranckie, choć w podziale na wydziały niewiele z nich istotnie odbiegało od oczekiwanych odsetków przyjęć kobiet, a mniej więcej tyle samo wydziałów sprzyjało kobietom, co mężczyznom. Kobiety częściej aplikowały na wydziały trudniejsze dla kandydatów obu płci.

To skrajna postać problemu opisanego w haśle korelacja pozorna: trzecia zmienna odwraca kierunek związku. Ten sam mechanizm w danych medycznych pokazuje poradnik statystyka dla lekarza.

Najczęstsze pytania

Skąd się bierze paradoks Simpsona?

Z różnego składu porównywanych grup. Gdy trzecia zmienna silnie wiąże się z wynikiem, a jedna grupa ma znacznie więcej osób z jej „gorszego” poziomu, odsetek łączny może odwrócić kierunek widoczny w każdej podgrupie.

Którym wynikom wierzyć przy paradoksie Simpsona?

To zależy od roli trzeciej zmiennej, a nie od statystyki. Jeśli jest wspólną przyczyną (zmienną zakłócającą), patrz na podgrupy; jeśli jest skutkiem badanej przyczyny, czyli mediatorem, właściwa jest tabela łączna.

Jak wykryć paradoks Simpsona w danych?

Policz związek w całej próbie i w podgrupach wyznaczonych przez zmienne, które mogą wiązać się z wynikiem, np. poziom wyjściowy. Dla tabel 2 × 2 w kilku podgrupach użyj testu Mantela–Haenszela: mantelhaen.test() w R.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{bickel1975sex, author={Bickel, P. J. and Hammel, E. A. and O'Connell, J. W.}, title={{Sex bias in graduate admissions: Data from Berkeley}}, journal={Science}, year={1975}, volume={187}, number={4175}, pages={398--404}, doi={10.1126/science.187.4175.398}}

@article{kievit2013simpson, author={Kievit, Rogier A. and Frankenhuis, Willem E. and Waldorp, Lourens J. and Borsboom, Denny}, title={{Simpson's paradox in psychological science: A practical guide}}, journal={Frontiers in Psychology}, year={2013}, volume={4}, eid={513}, doi={10.3389/fpsyg.2013.00513}}