Słownik metodologiczny · Wielkość efektu

Gamma Goodmana–Kruskala – jak opisać związek dwóch zmiennych porządkowych?

Gamma Goodmana–Kruskala porównuje pary zgodne i niezgodne w tabeli krzyżowej zmiennych porządkowych. Pokazujemy wzór, rolę remisów, porównanie z tau-b Kendalla, przykład w R i opis do pracy.

Strona główna / Słownik / Gamma Goodmana–Kruskala

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: Gamma Goodmana–Kruskala (γ) to miara związku dwóch zmiennych porządkowych: γ = (C − D)/(C + D), gdzie C i D to liczby par zgodnych i niezgodnych. Przyjmuje wartości od −1 do 1 i pomija pary z remisem, dlatego zwykle jest wyższa niż tau-b Kendalla.

Co to jest gamma Goodmana–Kruskala?

Gamma Goodmana–Kruskala (γ, ang. Goodman–Kruskal's gamma) to miara związku dwóch zmiennych mierzonych na skali porządkowej, zwykle zestawionych w tabeli krzyżowej. Goodman i Kruskal (1954) proponowali miary o jasnym sensie probabilistycznym zamiast miar opartych na statystyce chi-kwadrat, takich jak V Craméra. Gamma odpowiada na pytanie, czy wyższym kategoriom jednej zmiennej towarzyszą wyższe kategorie drugiej.

Wzór i rola remisów

Porównujemy wszystkie pary osób. Para jest zgodna (C), gdy osoba wyżej na jednej zmiennej jest wyżej także na drugiej, a niezgodna (D), gdy jest odwrotnie.

γ = (C − D)/(C + D).

Zakres: od −1 do 1; 0 oznacza tyle samo par zgodnych co niezgodnych. Pary z remisem na którejkolwiek zmiennej wypadają z obliczeń, więc gamma to różnica odsetków par zgodnych i niezgodnych wśród par bez remisów. Z tego powodu jest zwykle wyraźnie wyższa niż tau-b Kendalla. Błędy standardowe i przedziały ufności dla dużych prób podali Goodman i Kruskal (1963). Dla tabeli 2×2 gamma równa się Q Yule'a, a jej asymetrycznym odpowiednikiem jest d Somersa. Porządkowe miary związku zestawia Agresti (2010).

Przykład

200 osób (dane symulowane) podało wykształcenie (trzy poziomy) i zadowolenie z pracy (1–4). Spośród 19 900 par 6929 było zgodnych, 2724 niezgodne, a 10 247 miało remis. γ = (6929 − 2724)/(6929 + 2724) = .44, 95% CI [.28, .59]. Tau-b Kendalla dla tych samych danych wyniosło .31, 95% CI [.19, .42].

Jak opisać w pracy

Wyższe wykształcenie wiązało się z wyższym zadowoleniem z pracy, γ = .44, 95% CI [.28, .59], N = 200. Wśród par bez remisów uporządkowanie zgodne było o 44 punkty procentowe częstsze niż niezgodne (τb = .31).

Na co uważać

  • Remisy. Przy kilku kategoriach ponad połowa par to remisy, a γ opiera się tylko na reszcie. Podaj obok tau-b.
  • Tylko związek monotoniczny. Zależności w kształcie litery U gamma nie wykryje.
  • Zmienne nominalne. Gdy kategorii nie da się uporządkować, użyj V Craméra lub lambdy Goodmana–Kruskala.
  • Kodowanie. Odwrócenie kolejności kategorii jednej zmiennej zmienia znak γ.

Tabelę i test niezależności policzysz w kalkulatorze tabeli 2×2 i r×c.

Przykład reprodukowalny

Gamma Goodmana–Kruskala w R

Kod symuluje tabelę wykształcenia i zadowolenia z pracy, liczy pary zgodne i niezgodne, wyznacza γ ręcznie i z pakietu DescTools, a dla porównania podaje tau-b Kendalla.

Gamma dla tabeli 3×4

Dane wejściowe: wykształcenie (1–3) i zadowolenie z pracy (1–4) dla 200 osób (dane symulowane, set.seed(3621)).

Co odczytać: liczby par zgodnych (C) i niezgodnych (D) na tle wszystkich par, γ liczone ręcznie, γ z 95% CI oraz tau-b z 95% CI.

R
suppressPackageStartupMessages(library(DescTools))
set.seed(3621)
n <- 200
wyk <- sample(1:3, n, replace = TRUE, prob = c(.35, .40, .25))      # wykształcenie: 1 = podst., 2 = średnie, 3 = wyższe
zad <- pmin(pmax(round(1.2 + 0.55 * wyk + rnorm(n, 0, 0.9)), 1), 4) # zadowolenie 1–4
tab <- table(wyksztalcenie = wyk, zadowolenie = zad)
tab
pary <- ConDisPairs(tab)[c("C", "D")]             # pary zgodne (C) i niezgodne (D)
c(unlist(pary), wszystkie = choose(n, 2))
round((pary$C - pary$D) / (pary$C + pary$D), 3)   # gamma = (C − D) / (C + D)
round(GoodmanKruskalGamma(tab, conf.level = 0.95), 3)
round(KendallTauB(tab, conf.level = 0.95), 3)      # dla porównania: tau-b Kendalla
Wynik w R
             zadowolenie
wyksztalcenie  1  2  3  4
            1 36 20 15  6
            2 15 31 28  5
            3  3 15 15 11
        C         D wszystkie 
     6929      2724     19900 
[1] 0.436
 gamma lwr.ci upr.ci 
 0.436  0.279  0.592 
 tau_b lwr.ci upr.ci 
 0.308  0.191  0.424

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (pakiet DescTools). W pracy podaj wersje faktycznie użytych pakietów (sessionInfo()).

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/
  2. DescTools (wersja 0.99.60): Signorell, A. (2025). DescTools: Tools for descriptive statistics (R package version 0.99.60) [Computer software]. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.DescTools

Najczęstsze pytania

Dlaczego gamma wychodzi wyższa niż tau-b Kendalla?

Obie miary liczą pary zgodne i niezgodne, ale tau-b zostawia w mianowniku pary z remisem na jednej zmiennej, a gamma pomija je całkowicie. Dlatego |γ| ≥ |τb|; w przykładzie z tego hasła γ = .44, a τb = .31.

Czy gamma nadaje się do tabeli większej niż 2×2?

Tak, do dowolnej tabeli r×c, jeśli kategorie obu zmiennych mają naturalny porządek. Dla tabeli 2×2 gamma równa się Q Yule'a, a dla zmiennych nominalnych lepiej użyć V Craméra lub lambdy.

Jak policzyć gammę Goodmana–Kruskala w R?

W pakiecie DescTools: GoodmanKruskalGamma(tab, conf.level = 0.95), gdzie tab to tabela krzyżowa z kategoriami w kolejności rosnącej. Funkcja ConDisPairs(tab) zwraca liczby par zgodnych i niezgodnych.

Powiązane hasła

Korelacja tau Kendallad SomersaQ Yule'aLambda Goodmana–KruskalaSkala porządkowaTabela krzyżowa

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Kalkulator tabeli 2×2 i r×c

Chi-kwadrat, test dokładny Fishera, V Craméra i reszty dla tabel do 5 × 5, a dla 2 × 2 także OR, RR i różnica odsetków z przedziałami ufności.

Czytaj →Poradnik

Test chi-kwadrat krok po kroku

Test zgodności i niezależności na jednym badaniu: odsetki, liczebności oczekiwane, reszty, V Craméra, test Fishera i gotowy opis APA.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Agresti, A. (2010). Analysis of ordinal categorical data (2nd ed.). Wiley. https://doi.org/10.1002/9780470594001
  2. Goodman, L. A., & Kruskal, W. H. (1954). Measures of association for cross classifications. Journal of the American Statistical Association, 49(268), 732–764. https://doi.org/10.1080/01621459.1954.10501231
  3. Goodman, L. A., & Kruskal, W. H. (1963). Measures of association for cross classifications III: Approximate sampling theory. Journal of the American Statistical Association, 58(302), 310–364. https://doi.org/10.1080/01621459.1963.10500850

Cytowania BibTeX

@book{agresti2010analysis, author={Agresti, Alan}, title={{Analysis of ordinal categorical data (2nd ed.)}}, year={2010}, publisher={Wiley}, doi={10.1002/9780470594001}}
@article{goodman1954measures, author={Goodman, Leo A. and Kruskal, William H.}, title={{Measures of association for cross classifications}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1954}, volume={49}, number={268}, pages={732--764}, doi={10.1080/01621459.1954.10501231}}
@article{goodman1963measures, author={Goodman, Leo A. and Kruskal, William H.}, title={{Measures of association for cross classifications III: Approximate sampling theory}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1963}, volume={58}, number={302}, pages={310--364}, doi={10.1080/01621459.1963.10500850}}
R