Lambda Goodmana–Kruskala – o ile lepiej przewidzisz kategorię?

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 29 października 2026

Co to jest lambda Goodmana–Kruskala?

Lambda Goodmana–Kruskala (λ, ang. Goodman–Kruskal's lambda) to miara związku dwóch zmiennych na skali nominalnej, zapisanych w tabeli krzyżowej. Należy do miar proporcjonalnej redukcji błędu: mówi, o ile rzadziej mylimy się, przewidując kategorię zmiennej Y, gdy znamy kategorię zmiennej X. Goodman i Kruskal (1954) postulowali właśnie takie miary – o jasnym sensie operacyjnym, a nie wybierane z przyzwyczajenia.

Wzór i wersje asymetryczne

λ(Y|X) = (E₁ − E₂)/E₁,

gdzie E₁ to liczba błędów, gdy zawsze zgadujemy najczęstszą kategorię Y, a E₂ – gdy w każdej kategorii X zgadujemy najczęstszą tam kategorię Y. Zakres: od 0 do 1. Miara jest asymetryczna: λ(Y|X) zwykle różni się od λ(X|Y), a wersja symetryczna łączy oba kierunki. Przybliżone błędy standardowe i przedziały ufności podali Goodman i Kruskal (1963). Dla zmiennych porządkowych lepsza jest gamma lub d Somersa.

Przykład

240 studentów czterech kierunków (dane symulowane) wskazało preferowany tryb nauki. Najczęściej wybierano tryb zdalny (99 osób), więc bez znajomości kierunku mylimy się 141 razy. Gdy w każdym kierunku zgadujemy jego najczęstszy tryb, błędów jest 113. λ(tryb|kierunek) = (141 − 113)/141 = .20, 95% CI [.10, .30]. W drugą stronę λ = .18, a wersja symetryczna .19. Dla porównania χ²(6) = 56.32, p < .001, V Craméra = .34.

Jak opisać w pracy

Na co uważać

• λ = 0 nie oznacza niezależności. Gdy wszędzie dominuje ta sama kategoria Y, lambda wynosi zero mimo różnic w rozkładach. Sprawdź test chi-kwadrat niezależności.
• Kierunek. Napisz, która zmienna jest przewidywana.
• Silnie dominująca kategoria. Przy bardzo nierównych rozkładach brzegowych lambda bywa bliska zera.

Tabelę i test policzysz w kalkulatorze tabeli 2×2 i r×c.

suppressPackageStartupMessages(library(DescTools))
set.seed(3631)
kier <- sample(c("psychologia", "ekonomia", "informatyka", "pedagogika"), 240,
               replace = TRUE, prob = c(.30, .25, .25, .20))
p <- list(psychologia = c(.25, .45, .30), ekonomia = c(.20, .30, .50),
          informatyka = c(.15, .15, .70), pedagogika = c(.40, .45, .15))
tryb <- sapply(kier, function(k) sample(c("stacjonarny", "hybrydowy", "zdalny"), 1, prob = p[[k]]))
tab <- table(kierunek = kier, tryb = tryb)          # wiersze: kierunek, kolumny: preferowany tryb nauki
tab
bledy_bez <- sum(tab) - max(colSums(tab))           # błędy, gdy zawsze zgadujemy najczęstszy tryb
bledy_z <- sum(tab) - sum(apply(tab, 1, max))       # błędy, gdy zgadujemy najczęstszy tryb w każdym kierunku
c(bez_X = bledy_bez, z_X = bledy_z, lambda = round((bledy_bez - bledy_z) / bledy_bez, 3))
round(Lambda(tab, direction = "row", conf.level = 0.95), 3)      # kierunek przewidywany z trybu
round(Lambda(tab, direction = "column", conf.level = 0.95), 3)   # tryb przewidywany z kierunku
round(c(lambda_sym = Lambda(tab, direction = "symmetric"), V = CramerV(tab)), 3)
chisq.test(tab)

             tryb
kierunek      hybrydowy stacjonarny zdalny
  ekonomia           20          14     30
  informatyka        13           5     49
  pedagogika         21          18      4
  psychologia        27          23     16
  bez_X     z_X  lambda 
141.000 113.000   0.199 
lambda lwr.ci upr.ci 
 0.185  0.101  0.269 
lambda lwr.ci upr.ci 
 0.199  0.096  0.301 
lambda_sym          V 
     0.191      0.343 

	Pearson's Chi-squared test

data:  tab
X-squared = 56.321, df = 6, p-value = 2.507e-10

Najczęstsze pytania

Dlaczego lambda wyszła 0, choć test chi-kwadrat jest istotny?

Lambda liczy tylko trafienia przy zgadywaniu najczęstszej kategorii. Jeśli w każdej kategorii zmiennej niezależnej dominuje ta sama kategoria zmiennej zależnej, znajomość predyktora nie zmienia przewidywania i λ = 0, mimo że rozkłady wyraźnie się różnią. Wtedy opisz związek V Craméra.

Którą lambdę podać: asymetryczną czy symetryczną?

Asymetryczną, gdy jedna zmienna jest wyraźnie przewidywana z drugiej, np. preferowany tryb nauki z kierunku studiów. Napisz wtedy, która zmienna jest zależna. Wersję symetryczną podaj, gdy żadnej zmiennej nie traktujesz jako zależnej.

Jak policzyć lambdę Goodmana–Kruskala w R?

W pakiecie DescTools: Lambda(tab, direction = "column", conf.level = 0.95) przewiduje kategorię kolumn z kategorii wierszy, direction = "row" – odwrotnie, a "symmetric" daje wersję symetryczną.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{goodman1954measures, author={Goodman, Leo A. and Kruskal, William H.}, title={{Measures of association for cross classifications}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1954}, volume={49}, number={268}, pages={732--764}, doi={10.1080/01621459.1954.10501231}}

@article{goodman1963measures, author={Goodman, Leo A. and Kruskal, William H.}, title={{Measures of association for cross classifications III: Approximate sampling theory}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1963}, volume={58}, number={302}, pages={310--364}, doi={10.1080/01621459.1963.10500850}}