Słownik metodologiczny · Testy statystyczne

Test Bartletta jednorodności wariancji – jak go czytać?

Test Bartletta sprawdza, czy wariancje w kilku grupach są równe, ale działa poprawnie tylko przy normalnych danych. Pokazujemy, jak go czytać, przykład w R z testem Levene’a, opis do pracy i to, czym różni się od testu sferyczności.

Strona główna / Słownik / Test Bartletta

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: Test Bartletta sprawdza hipotezę, że wariancje w kilku niezależnych grupach są równe; jego statystyka K² ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat z k − 1 df. Jest bardzo wrażliwy na nienormalność, dlatego przy danych skośnych lub grubo-ogonowych lepiej użyć testu Levene’a z medianą. To inny test niż test sferyczności Bartletta.

Co to jest test Bartletta jednorodności wariancji?

Test Bartletta (ang. Bartlett’s test of homogeneity of variances) sprawdza, czy wariancje zmiennej w dwóch lub więcej niezależnych grupach są równe. Hipoteza zerowa brzmi σ₁² = σ₂² = … = σₖ², czyli zakłada homogeniczność wariancji. Źródłem testu jest praca Bartletta (1937) o testach dla małych prób. Nie myl go z testem sferyczności Bartletta, który przed analizą czynnikową sprawdza, czy macierz korelacji jest jednostkowa.

Jak działa test?

Statystyka K² porównuje logarytm wariancji połączonej z ważoną sumą logarytmów wariancji w grupach, z poprawką na liczebności. Gdy wariancje są równe, a dane w grupach mają rozkład normalny, K² ma w przybliżeniu rozkład chi-kwadrat z k − 1 stopniami swobody. Właśnie to założenie normalności jest słabym punktem: test myli grube ogony rozkładu z różnicą wariancji. Gastwirth i in. (2009) przypominają, że wiele testów równości wariancji zakłada normalność i nie jest odpornych na jej brak, a w porównaniu Conovera i in. (1981) odporne i zarazem mocne okazało się tylko kilka testów.

Przykład w R

Dla trzech grup po 30 osób o odchyleniach standardowych 8, 10 i 14 test Bartletta dał K²(2) = 17.56, p < .001, a test Levene’a z medianą F(2, 87) = 9.45, p < .001. W symulacji z równymi wariancjami oba testy przy danych normalnych odrzucały hipotezę zerową w około 5% prób (5.3% i 4.9%). Przy rozkładzie t z 5 stopniami swobody test Bartletta dawał fałszywy alarm w 24.8% prób, a test Levene’a w 5.2%.

Jak opisać w pracy

Równość wariancji w trzech grupach sprawdzono testem Bartletta, χ²(2) = 17.56, p < .001, oraz testem Levene’a z medianą, F(2, 87) = 9.45, p < .001. Ponieważ wariancje się różniły, średnie porównano ANOVA Welcha.

Na co uważać

  • Nienormalne dane. Przy skośnych lub grubo-ogonowych rozkładach wybierz test Levene’a z medianą (Browna–Forsythe’a).
  • Test wstępny. Nie wybieraj na jego podstawie między ANOVA klasyczną a ANOVA Welcha; Welcha możesz stosować od razu. Oba warianty ze średnich i SD policzysz w kalkulatorze testu t i ANOVA.
  • Duże próby. Istotny wynik nie mówi, jak duża jest różnica; podaj odchylenia standardowe w grupach.
Przykład reprodukowalny

Test Bartletta w R

Kod porównuje test Bartletta i test Levene’a z medianą na danych z różnymi wariancjami, a potem w 2000 symulacjach z równymi wariancjami sprawdza, jak często każdy test daje fałszywy alarm przy danych normalnych i grubo-ogonowych.

Test Bartletta a test Levene’a przy danych normalnych i nienormalnych

Dane wejściowe: 3 grupy po 30 osób, SD = 8, 10 i 14; w symulacji 2000 powtórzeń z równymi wariancjami (rozkład normalny i t z 5 df); set.seed(4361).

Co odczytać: K² Bartletta, F Levene’a i odsetek fałszywych alarmów (oczekiwany: .05).

R
library(car)
set.seed(4361)
g <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 30))
y <- rnorm(90, mean = 50, sd = rep(c(8, 10, 14), each = 30))
bartlett.test(y ~ g)
leveneTest(y ~ g, center = median)
# Odsetek fałszywych alarmów przy RÓWNYCH wariancjach (α = .05)
alarmy <- function(los) rowMeans(replicate(2000, {
  y0 <- los(90)
  c(Bartlett = bartlett.test(y0 ~ g)$p.value < .05,
    Levene_mediana = leveneTest(y0 ~ g, center = median)[1, 3] < .05)
}))
round(rbind(normalny = alarmy(rnorm),
            t_5_df   = alarmy(function(n) rt(n, df = 5))), 3)
Wynik w R

	Bartlett test of homogeneity of variances

data:  y by g
Bartlett's K-squared = 17.564, df = 2, p-value = 0.0001535

Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
      Df F value   Pr(>F)    
group  2  9.4516 0.000193 ***
      87                     
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
         Bartlett Levene_mediana
normalny    0.053          0.049
t_5_df      0.248          0.052

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (z pakietem car). W pracy podaj wersje faktycznie użytych pakietów (sessionInfo()).

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/
  2. car (wersja 3.1-5): Fox, J., & Weisberg, S. (2019). An R companion to applied regression (3rd ed.). Sage. https://www.john-fox.ca/Companion/

Najczęstsze pytania

Czym test Bartletta różni się od testu Levene’a?

Test Bartletta porównuje logarytmy wariancji i zakłada normalność, więc grube ogony dają fałszywe alarmy. Test Levene’a analizuje odchylenia od średniej lub mediany; wersja z medianą jest znacznie odporniejsza na nienormalność.

Czy test Bartletta to ten sam test co test sferyczności Bartletta?

Nie. Test jednorodności wariancji porównuje grupy, a test sferyczności sprawdza, czy zmienne w ogóle ze sobą korelują przed analizą czynnikową. Łączy je tylko autor.

Jak wykonać test Bartletta w R?

Funkcją bartlett.test(y ~ grupa) z pakietu stats. Wynik to Bartlett’s K-squared, df = k − 1 i p; w pracy zapisz go jako χ²(df) = …, p = ….

Powiązane hasła

Test Levene’aHomogeniczność wariancjiTest sferyczności BartlettaANOVA WelchaTest Browna–Forsythe’a

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

ANOVA krok po kroku

Jednoczynnikowa i dwuczynnikowa ANOVA na przykładach: założenia, test Welcha, post hoc, η² i ω², efekty proste, typy sum kwadratów i opis APA.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Bartlett, M. S. (1937). Properties of sufficiency and statistical tests. Proceedings of the Royal Society of London. Series A – Mathematical and Physical Sciences, 160(901), 268–282. https://doi.org/10.1098/rspa.1937.0109
  2. Conover, W. J., Johnson, M. E., & Johnson, M. M. (1981). A comparative study of tests for homogeneity of variances, with applications to the outer continental shelf bidding data. Technometrics, 23(4), 351–361. https://doi.org/10.1080/00401706.1981.10487680
  3. Gastwirth, J. L., Gel, Y. R., & Miao, W. (2009). The impact of Levene’s test of equality of variances on statistical theory and practice. Statistical Science, 24(3), 343–360. https://doi.org/10.1214/09-sts301 ● Otwarty dostęp

Cytowania BibTeX

@article{bartlett1937properties, author={Bartlett, Maurice Stevenson}, title={{Properties of sufficiency and statistical tests}}, journal={Proceedings of the Royal Society of London. Series A – Mathematical and Physical Sciences}, year={1937}, volume={160}, number={901}, pages={268--282}, doi={10.1098/rspa.1937.0109}}
@article{conover1981comparative, author={Conover, W. J. and Johnson, Mark E. and Johnson, Myrle M.}, title={{A comparative study of tests for homogeneity of variances, with applications to the outer continental shelf bidding data}}, journal={Technometrics}, year={1981}, volume={23}, number={4}, pages={351--361}, doi={10.1080/00401706.1981.10487680}}
@article{gastwirth2009impact, author={Gastwirth, Joseph L. and Gel, Yulia R. and Miao, Weiwen}, title={{The impact of Levene’s test of equality of variances on statistical theory and practice}}, journal={Statistical Science}, year={2009}, volume={24}, number={3}, pages={343--360}, doi={10.1214/09-sts301}}
R