Słownik metodologiczny · Pomiar i skale

Regresja Deminga – jak dopasować prostą, gdy obie metody mają błąd?

Regresja Deminga dopasowuje prostą, gdy obie zmienne są mierzone z błędem, i pozwala oddzielić błąd stały od proporcjonalnego w porównaniu metod. Pokazujemy wzór, rolę λ, przykład w R i opis do pracy.

Strona główna / Słownik / Regresja Deminga

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: Regresja Deminga dopasowuje prostą, gdy błąd pomiaru dotyczy obu zmiennych. Wymaga stosunku wariancji błędów λ. W porównaniu metod wyraz wolny mówi o błędzie stałym, a nachylenie o proporcjonalnym; MNK przy niedokładnym x zaniża nachylenie.

Co to jest regresja Deminga?

Regresja Deminga (ang. Deming regression) dopasowuje prostą, gdy obie zmienne są mierzone z błędem (model errors-in-variables). Typowo służy do porównania dwóch metod pomiaru. Zwykła regresja liniowa (MNK) zakłada, że x jest bez błędu, więc przy niedokładnym x zaniża nachylenie. Cornbleet i Gochman (1979) porównali kilka metod dla takiej sytuacji i najbardziej przydatna okazała się metoda Deminga. Błąd MNK stawał się istotny, gdy SD błędu pojedynczego pomiaru x przekraczało 0.2 SD wartości x w próbie.

Jak liczyć i interpretować

Potrzebny jest stosunek wariancji błędów λ = σ²błąd y / σ²błąd x. Nachylenie ma wzór zamknięty:

b = [syy − λsxx + √((syy − λsxx)² + 4λsxy²)] / (2sxy),   a = ȳ − bx̄

Przy λ = 1 to regresja ortogonalna. Wyraz wolny a opisuje błąd stały (sprawdź, czy przedział ufności obejmuje 0), a nachylenie b – błąd proporcjonalny (czy przedział obejmuje 1). Przedziały najprościej uzyskać metodą bootstrap.

Przykład

Te same 40 próbek co w haśle o CCC Lina (dane symulowane). Przy λ = 1: a = −3.15, 95% CI [−12.75, 5.23], b = 1.075, 95% CI [1.032, 1.127] (bootstrap, 2000 prób). Brak dowodu błędu stałego, ale nowa metoda zawyża wyniki proporcjonalnie, o około 7.5%. MNK dało b = 1.065: różnica jest mała, bo błąd pomiaru (SD = 6) stanowi tylko około 0.1 SD wartości x (61.1). Przy λ = 0.25 nachylenie wyniosło 1.081, a przy λ = 4 – 1.069.

Jak opisać w pracy

W regresji Deminga (λ = 1, przedziały bootstrapowe, n = 40) nowa metoda wiązała się z metodą referencyjną równaniem y = −3.15 + 1.075x; 95% CI dla wyrazu wolnego [−12.75, 5.23] obejmował 0, a dla nachylenia [1.032, 1.127] nie obejmował 1, co wskazuje na błąd proporcjonalny.

Na co uważać

  • Źle dobrana λ. Linnet (1998) pokazał w symulacjach, że błędne λ obciąża nachylenie, zwłaszcza przy wąskim zakresie wartości. Szacuj λ z pomiarów podwójnych albo z danych kontroli jakości – mimo to Deming zwykle wypada lepiej niż MNK.
  • Błąd rosnący z poziomem. Gdy SD błędu jest proporcjonalne do wartości, użyj ważonej regresji Deminga (Linnet, 1990).
  • Obserwacje odstające. Deming nie jest odporny. Wtedy lepsza jest regresja Passinga–Babloka.
  • Regresja to nie zgodność. Dodaj wykres Blanda–Altmana.

Pełne porównanie metod pokazuje wpis Zgodność dwóch metod pomiaru.

Przykład reprodukowalny

Regresja Deminga w R

Kod liczy regresję Deminga ze wzoru zamkniętego, porównuje ją z MNK, wyznacza bootstrapowe przedziały ufności i sprawdza wrażliwość na λ.

Błąd stały i proporcjonalny nowej metody

Dane wejściowe: dane symulowane z set.seed(3760): 40 próbek, metoda referencyjna x i nowa metoda y; 2000 prób bootstrap.

Co odczytać: a i b z regresji Deminga i MNK, granice 95% CI oraz nachylenie przy innych wartościach λ.

R
set.seed(3760)
prawda <- runif(40, 60, 300)                       # te same dane co w haśle o CCC
x <- prawda + rnorm(40, 0, 6)                      # metoda referencyjna
y <- 3 + 1.04 * prawda + rnorm(40, 0, 6)           # nowa metoda
deming <- function(x, y, lambda = 1) {             # lambda = war(błąd y) / war(błąd x)
  sxx <- var(x); syy <- var(y); sxy <- cov(x, y)
  b <- (syy - lambda * sxx + sqrt((syy - lambda * sxx)^2 + 4 * lambda * sxy^2)) / (2 * sxy)
  c(a = mean(y) - b * mean(x), b = b)
}
est <- deming(x, y)
boot <- t(replicate(2000, { i <- sample(40, replace = TRUE); deming(x[i], y[i]) }))
round(rbind(Deming = est, OLS = coef(lm(y ~ x)),
            CI_dol = apply(boot, 2, quantile, 0.025), CI_gor = apply(boot, 2, quantile, 0.975)), 3)
round(rbind(lambda_0.25 = deming(x, y, 0.25), lambda_4 = deming(x, y, 4)), 3)   # wrażliwość na lambda
Wynik w R
             a     b
Deming  -3.149 1.075
OLS     -1.068 1.065
CI_dol -12.747 1.032
CI_gor   5.234 1.127
                 a     b
lambda_0.25 -4.272 1.081
lambda_4    -1.932 1.069

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (funkcje pakietów base i stats). W pracy podaj wersję R, której faktycznie użyto (sessionInfo()).

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

Najczęstsze pytania

Skąd wziąć stosunek wariancji błędów λ w regresji Deminga?

Najlepiej z pomiarów podwójnych każdą metodą albo z danych kontroli jakości. Domyślne λ = 1 jest uzasadnione tylko wtedy, gdy obie metody mają podobną precyzję.

Kiedy zwykła regresja wystarczy zamiast regresji Deminga?

Gdy błąd pomiaru x jest mały wobec rozrzutu wartości x. Cornbleet i Gochman (1979) wskazali, że błąd MNK staje się istotny powyżej stosunku 0.2 tych odchyleń standardowych.

Jak policzyć regresję Deminga w R bez pakietu mcr?

Wystarczy wzór zamknięty z wariancji i kowariancji (var, cov) oraz bootstrap do przedziałów ufności. Kod w haśle liczy oba kroki w kilkunastu liniach.

Powiązane hasła

Regresja Passinga–BablokaWspółczynnik zgodności Lina (CCC)Metoda Blanda–AltmanaRegresja liniowaBootstrapStandardowy błąd pomiaru (SEM)

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Zgodność dwóch metod pomiaru: CCC, Deming, Passing–Bablok

CCC Lina, regresja Deminga i Passinga–Babloka, błąd stały i proporcjonalny, bootstrapowe przedziały ufności, przykład w R i wzór opisu.

Czytaj →Poradnik

Badanie rzetelności pomiaru klinicznego

Plan badania powtarzalności, forma ICC, SEM i MDC95, wykres Blanda–Altmana, zgodność dwóch urządzeń i raport według GRRAS – z przykładem w R.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Cornbleet, P. J., & Gochman, N. (1979). Incorrect least-squares regression coefficients in method-comparison analysis. Clinical Chemistry, 25(3), 432–438. https://doi.org/10.1093/clinchem/25.3.432
  2. Linnet, K. (1990). Estimation of the linear relationship between the measurements of two methods with proportional errors. Statistics in Medicine, 9(12), 1463–1473. https://doi.org/10.1002/sim.4780091210
  3. Linnet, K. (1998). Performance of Deming regression analysis in case of misspecified analytical error ratio in method comparison studies. Clinical Chemistry, 44(5), 1024–1031. https://doi.org/10.1093/clinchem/44.5.1024 ● Otwarty dostęp

Cytowania BibTeX

@article{cornbleet1979incorrect, author={Cornbleet, P. J. and Gochman, N.}, title={{Incorrect least-squares regression coefficients in method-comparison analysis}}, journal={Clinical Chemistry}, year={1979}, volume={25}, number={3}, pages={432--438}, doi={10.1093/clinchem/25.3.432}}
@article{linnet1990estimation, author={Linnet, Kristian}, title={{Estimation of the linear relationship between the measurements of two methods with proportional errors}}, journal={Statistics in Medicine}, year={1990}, volume={9}, number={12}, pages={1463--1473}, doi={10.1002/sim.4780091210}}
@article{linnet1998performance, author={Linnet, Kristian}, title={{Performance of Deming regression analysis in case of misspecified analytical error ratio in method comparison studies}}, journal={Clinical Chemistry}, year={1998}, volume={44}, number={5}, pages={1024--1031}, doi={10.1093/clinchem/44.5.1024}}
R