Autokorelacja reszt w regresji – co psuje i jak ją naprawić?

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 27 października 2026 · Aktualizacja: 26 października 2026

Co to jest autokorelacja reszt?

Autokorelacja reszt (ang. residual autocorrelation) to korelacja błędów modelu regresji liniowej między obserwacjami sąsiadującymi w czasie. Narusza założenie niezależności błędów. Typowy przypadek to dane dzienniczkowe: jeśli model zaniżył wynik dziś, zaniży go zapewne i jutro. To coś innego niż autokorelacja samej zmiennej: liczy się zależność, której predyktory nie wyjaśniły.

Skutki, wykrywanie i korekty

Współczynniki MNK zwykle pozostają nieobciążone, ale tracą efektywność, a przy dodatniej autokorelacji zwykłe błędy standardowe są zaniżone. Cochrane i Orcutt (1949) pokazali, ile efektywności tracą zwykłe metody, i zaproponowali procedurę jej odzyskania.

• Wykrywanie: wykres ACF reszt, test Durbina-Watsona dla rzędu 1 i test Breuscha–Godfreya dla wyższych rzędów. Godfrey (1978) wyprowadził ten test także dla modeli z opóźnioną zmienną zależną.
• Korekta wnioskowania: błędy standardowe HAC Newey–West (Newey i West, 1987), odporne na heteroskedastyczność i autokorelację. Podobnie jak błędy HC3 poprawiają tylko błędy standardowe, ale uwzględniają też autokorelację.
• Model zależności: regresja uogólnioną metodą najmniejszych kwadratów (GLS) z błędem AR(1).

Przykład

Osoba przez 90 dni notowała godziny snu (M = 6.65) i zmęczenie następnego dnia na skali 0–10 (M = 7.16; dane symulowane). Zwykła regresja dała b = −0.67, SE = 0.12. Reszty były skorelowane (.55 przy opóźnieniu 1, .23 przy 2), test Breuscha–Godfreya LM(2) = 28.21, p < .001. Błąd HAC wyniósł 0.18, czyli był półtora raza większy. Model GLS z AR(1) (φ = .58) dał b = −0.56, SE = 0.12, 95% CI [−0.79, −0.33], p < .001. W symulacji 2000 szeregów bez żadnego związku zwykła regresja dawała p < .05 w 17.1% prób, a test z błędem HAC w 9.4%.

Jak opisać w pracy

Na co uważać

• HAC nie naprawia wszystkiego. W symulacji odsetek fałszywych alarmów spadł, ale nadal przekraczał nominalne 5%.
• Opóźniona zmienna zależna zmienia sytuację. Gdy jest predyktorem, autokorelacja błędów obciąża także współczynniki.
• Wiele osób to inny problem. Dane dzienniczkowe od wielu osób analizuj modelem wielopoziomowym z autokorelacją reszt.

Pozostałą diagnostykę modelu omawia wpis Diagnostyka regresji w R.

suppressPackageStartupMessages({library(lmtest); library(sandwich); library(nlme)})
set.seed(2469)
n <- 90                                                       # 90 dni dzienniczka jednej osoby
sen <- round(7 + as.numeric(arima.sim(list(ar = 0.5), n = n, sd = 0.8)), 1)   # godziny snu
zmeczenie <- round(pmin(11 - 0.6 * sen + as.numeric(arima.sim(list(ar = 0.6), n = n, sd = 0.9)), 10), 1)  # 0–10
round(c(M_sen = mean(sen), M_zmeczenie = mean(zmeczenie)), 2)
m <- lm(zmeczenie ~ sen)
round(coeftest(m)[2, ], 3)                                    # MNK: zwykły błąd standardowy
round(acf(residuals(m), lag.max = 2, plot = FALSE)$acf[2:3], 2)
bgtest(m, order = 2)                                          # test Breuscha–Godfreya, rząd 2
round(coeftest(m, vcov = NeweyWest(m))[2, ], 3)               # błąd standardowy HAC (Newey–West)
g <- gls(zmeczenie ~ sen, correlation = corAR1(form = ~ 1))
round(c(summary(g)$tTable[2, ], confint(g)[2, ]), 3)
round(coef(g$modelStruct$corStruct, unconstrained = FALSE), 2)
# Mini-symulacja: brak związku (b = 0), predyktor i błąd z AR(0.6); odsetek p < .05 w 2000 powtórzeniach
sym <- replicate(2000, {
  x <- as.numeric(arima.sim(list(ar = 0.6), n = 90)); y <- as.numeric(arima.sim(list(ar = 0.6), n = 90))
  mm <- lm(y ~ x)
  c(MNK = coeftest(mm)[2, 4] < .05, HAC = coeftest(mm, vcov = NeweyWest(mm))[2, 4] < .05)
})
round(rowMeans(sym), 3)

      M_sen M_zmeczenie 
       6.65        7.16 
  Estimate Std. Error    t value   Pr(>|t|) 
    -0.674      0.120     -5.597      0.000 
[1] 0.55 0.23

	Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 2

data:  m
LM test = 28.213, df = 2, p-value = 7.473e-07

  Estimate Std. Error    t value   Pr(>|t|) 
    -0.674      0.182     -3.704      0.000 
    Value Std.Error   t-value   p-value     2.5 %    97.5 % 
   -0.560     0.117    -4.784     0.000    -0.789    -0.331 
 Phi 
0.58 
  MNK   HAC 
0.171 0.094

Najczęstsze pytania

Czy autokorelacja reszt obciąża współczynniki regresji?

Zwykle nie: jeśli predyktory nie zawierają opóźnionej zmiennej zależnej, współczynniki MNK pozostają nieobciążone. Problemem są błędy standardowe, wartości p i przedziały ufności, a także utrata efektywności.

Co wybrać: błędy Newey–West czy model GLS z AR(1)?

Błędy HAC (Newey–West) poprawiają tylko wnioskowanie i nie zmieniają współczynników. GLS z AR(1) modeluje zależność wprost i zwykle daje dokładniejsze oszacowania, jeśli struktura AR(1) dobrze opisuje dane.

Czy w danych przekrojowych trzeba sprawdzać autokorelację reszt?

Tylko wtedy, gdy kolejność obserwacji coś znaczy, np. kolejność badania, położenie geograficzne albo grupowanie. Przy zwykłej ankiecie kolejność wierszy w pliku nie ma znaczenia.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{cochrane1949application, author={Cochrane, D. and Orcutt, G. H.}, title={{Application of least squares regression to relationships containing auto-correlated error terms}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1949}, volume={44}, number={245}, pages={32--61}, doi={10.1080/01621459.1949.10483290}}

@article{godfrey1978testing, author={Godfrey, L. G.}, title={{Testing against general autoregressive and moving average error models when the regressors include lagged dependent variables}}, journal={Econometrica}, year={1978}, volume={46}, number={6}, pages={1293--1301}, doi={10.2307/1913829}}

@article{newey1987simple, author={Newey, Whitney K. and West, Kenneth D.}, title={{A simple, positive semi-definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix}}, journal={Econometrica}, year={1987}, volume={55}, number={3}, pages={703--708}, doi={10.2307/1913610}}