Słownik metodologiczny · Psychometria

W Kendalla – jak ocenić zgodność rankingów kilku sędziów?

W Kendalla mówi, czy kilku sędziów podobnie porządkuje te same obiekty. Pokazujemy wzór, związek z testem Friedmana i korelacją Spearmana, przykład w R i opis do pracy.

Strona główna / Słownik / W Kendalla

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: W Kendalla to współczynnik zgodności rankingów m sędziów porządkujących te same obiekty; przyjmuje wartości od 0 do 1. Jego test χ² to statystyka testu Friedmana. Interpretuj samą wartość W, bo istotny wynik oznacza tylko, że zgodność nie jest zerowa.

Co to jest W Kendalla?

Współczynnik zgodności W Kendalla (ang. Kendall’s coefficient of concordance) mierzy, na ile m sędziów zgodnie porządkuje ten sam zbiór n obiektów. Przyjmuje wartości od 0 (brak zgodności rankingów) do 1 (wszyscy ułożyli obiekty identycznie). Opisali go Kendall i Babington Smith (1939). W badaniach stosuje się go np. wtedy, gdy eksperci układają cele terapii, objawy albo pozycje kwestionariusza od najważniejszej do najmniej ważnej.

Jak liczyć?

W = 12S / [m2(n3 − n)],   χ2 = m(n − 1)W,   df = n − 1

Każdy sędzia nadaje obiektom rangi 1–n (zob. rangowanie). S to suma kwadratów odchyleń sum rang obiektów od ich średniej. Statystyka χ² to dokładnie statystyka testu Friedmana: ten sam rachunek w teście Friedmana służy do porównania obiektów, a w W Kendalla do opisu zgodności sędziów. W da się też przeliczyć na średnią korelację Spearmana między parami sędziów: (mW − 1)/(m − 1).

Przykład

Pięciu ekspertów uporządkowało sześć celów terapii (dane przykładowe). Sumy rang wahały się od 7 do 28. Współczynnik wyniósł W = .826, χ²(5) = 20.66, p = .001, a średnia korelacja Spearmana między parami ekspertów .783. Dwa cele prawie wszyscy umieścili na dwóch pierwszych miejscach, a rozbieżności dotyczyły głównie środka rankingu.

Jak opisać w pracy

Zgodność rankingów pięciu ekspertów, którzy uporządkowali sześć celów terapii, oceniono współczynnikiem W, który opisali Kendall i Babington Smith (1939). Współczynnik wyniósł W = .826, χ²(5) = 20.66, p = .001, co odpowiada średniej korelacji Spearmana między parami ekspertów .783.

Na co uważać

  • Istotny wynik nie znaczy silnej zgodności. Test sprawdza tylko hipotezę o zupełnym braku zgodności. Przy wielu sędziach nawet słaba zgodność da p < .05, dlatego interpretuj samą wartość W.
  • Test χ² bywa zachowawczy. W symulacji Marozziego (2014) test Friedmana był zbyt konserwatywny i miał mniejszą moc niż test F i test permutacyjny, a autor zaleca test F jako prostszy obliczeniowo.
  • Uwzględnij rangi wiązane. Gdy sędzia daje dwóm obiektom to samo miejsce, użyj poprawki na remisy.
  • Nie myl z tau Kendalla. Tau Kendalla opisuje związek dwóch zmiennych. Gdy sędziowie przypisują kategorie zamiast rankingów, użyj kappy Fleissa albo alfy Krippendorffa.

Inne miary zgodności sędziów porównuje wpis Zgodność sędziów: kappa, ICC i alfa.

Przykład reprodukowalny

W Kendalla w R

Kod liczy W, statystykę χ², wartość p i średnią korelację Spearmana ze wzorów podanych wyżej.

Zgodność rankingów pięciu sędziów

Dane wejściowe: macierz 5 × 6 – wiersze to eksperci, kolumny to cele terapii, wartości to rangi 1–6 (dane przykładowe).

Co odczytać: W, χ² z df = 5, wartość p i średnią korelację Spearmana. Funkcje DescTools::KendallW() i friedman.test() dają ten sam χ².

R
# 5 ekspertów (wiersze) układa 6 celów terapii (kolumny) od 1 = najważniejszy do 6
r <- rbind(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), c(2, 1, 3, 5, 4, 6), c(1, 3, 2, 4, 6, 5),
           c(2, 1, 4, 3, 5, 6), c(1, 2, 3, 6, 4, 5))
m <- nrow(r); n <- ncol(r)
R <- colSums(r)                                  # sumy rang celów
S <- sum((R - mean(R))^2)
W <- 12 * S / (m^2 * (n^3 - n))
chi2 <- m * (n - 1) * W
round(c(W = W, chi2 = chi2, df = n - 1, p = pchisq(chi2, n - 1, lower.tail = FALSE),
        sr_rho = (m * W - 1) / (m - 1)), 3)
Wynik w R
     W   chi2     df      p sr_rho
 0.826 20.657  5.000  0.001  0.783

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (funkcje pakietów base i stats).

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

Najczęstsze pytania

Czym różni się W Kendalla od tau Kendalla?

Tau Kendalla to korelacja rangowa dwóch zmiennych. W Kendalla opisuje zgodność wielu sędziów, którzy układają te same obiekty w rankingi.

Czy W Kendalla można liczyć dla ocen na skali Likerta?

Tak, jeśli każdy sędzia ocenia wszystkie obiekty, a oceny zamienisz na rangi z poprawką na remisy. Przy wielu remisach lepiej sprawdzają się ICC albo alfa Krippendorffa.

Jaka wartość W Kendalla oznacza dobrą zgodność?

Nie ma jednego progu. Podaj W, test i średnią korelację Spearmana między sędziami, a ocenę oprzyj na celu badania i wynikach podobnych prac.

Powiązane hasła

Test FriedmanaKorelacja tau KendallaKorelacja SpearmanaAlfa KrippendorffaKappa FleissaRangowanie

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Zgodność sędziów: kappa, ICC, alfa

Kappa Cohena i ważona, kappa Fleissa, formy ICC i alfa Krippendorffa na jednym przykładzie z trzema sędziami: wybór miary, paradoksy kappy i raport.

Czytaj →Poradnik

Testy nieparametryczne krok po kroku

Kiedy test rangowy ma sens, Mann–Whitney, Wilcoxon, Kruskal–Wallis z testem Dunna i Friedman na jednym badaniu – z wielkością efektu i opisem APA.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Kendall, M. G., & Babington Smith, B. (1939). The problem of m rankings. The Annals of Mathematical Statistics, 10(3), 275–287. https://doi.org/10.1214/aoms/1177732186 ● Otwarty dostęp
  2. Marozzi, M. (2014). Testing for concordance between several criteria. Journal of Statistical Computation and Simulation, 84(9), 1843–1850. https://doi.org/10.1080/00949655.2013.766189

Cytowania BibTeX

@article{kendall1939problem, author={Kendall, M. G. and Babington Smith, B.}, title={{The problem of m rankings}}, journal={The Annals of Mathematical Statistics}, year={1939}, volume={10}, number={3}, pages={275--287}, doi={10.1214/aoms/1177732186}}
@article{marozzi2014testing, author={Marozzi, Marco}, title={{Testing for concordance between several criteria}}, journal={Journal of Statistical Computation and Simulation}, year={2014}, volume={84}, number={9}, pages={1843--1850}, doi={10.1080/00949655.2013.766189}}
R