Co to jest średnia ważona?
Średnia ważona (ang. weighted mean) to suma iloczynów wartości i wag podzielona przez sumę wag:
x̄w = Σ wixi / Σ wi
Przy równych wagach jest to zwykła średnia arytmetyczna. Wagi nie muszą sumować się do 1, bo wzór i tak przez ich sumę dzieli. Liczy się tylko ich wzajemny stosunek.
Skąd biorą się wagi
- Z planu studiów: ocena z przedmiotu za 8 punktów ECTS waży czterokrotnie więcej niż ocena za 2.
- Z precyzji: w metaanalizie waga badania to odwrotność wariancji jego wyniku. Borenstein i in. (2010) pokazują, że model efektu stałego i model efektów losowych liczą wagi inaczej, bo zakładają co innego; różnicę opisuje hasło efekty stałe i losowe.
- Z doboru próby: wagi sondażowe są odwrotnością prawdopodobieństwa wylosowania, korygowaną na brak odpowiedzi i kalibrowaną do danych o populacji (Haziza i Beaumont, 2017). Zobacz ważenie danych.
Przykład
Oceny 5, 4, 3 i 4.5 za 6, 4, 2 i 8 punktów ECTS dają średnią ważoną 4.40, a zwykłą 4.125. Cztery badania z d = 0.42, 0.15, 0.60 i 0.28 dostają wagi odwrotności wariancji o udziałach 13.4%, 53.7%, 6.0% i 26.9%. Średnia ważona wynosi 0.248 (SE = 0.073), a nieważona 0.362, bo największe badanie miało najmniejszy efekt. Wagi sondażowe od 0.4 do 2.5 zmniejszają efektywną liczebność Kisha z 500 do 418.7.
Jak opisać w pracy
Na co uważać
- Napisz, czym ważysz. Sama „średnia ważona” bez opisu wag jest nieweryfikowalna.
- Dominacja jednego badania. Pokaż udziały wag, najlepiej na wykresie lasu.
- Wagi sondażowe zwiększają błąd standardowy. Liczbę n zastępuje wtedy efektywna liczebność.
Pełną procedurę opisują wpisy Metaanaliza krok po kroku i Ważenie danych sondażowych krok po kroku.
Średnia ważona w R
Kod liczy średnią ocen ważoną punktami ECTS, średnią wyników czterech badań z wagami odwrotności wariancji (sprawdzoną w metafor) oraz efektywną liczebność Kisha dla symulowanych wag sondażowych.
Oceny z ECTS, metaanaliza i wagi sondażowe
R
suppressPackageStartupMessages(library(metafor))
ocena <- c(5, 4, 3, 4.5); ects <- c(6, 4, 2, 8) # oceny i punkty ECTS
round(c(zwykla = mean(ocena), wazona = weighted.mean(ocena, ects),
recznie = sum(ocena * ects) / sum(ects)), 3)
d <- c(0.42, 0.15, 0.60, 0.28); v <- c(0.040, 0.010, 0.090, 0.020) # 4 badania: d i wariancja d
w <- 1 / v # wagi odwrotności wariancji
round(w / sum(w), 3) # udział każdego badania
round(c(zwykla = mean(d), wazona = weighted.mean(d, w), SE = sqrt(1 / sum(w))), 3)
rma(yi = d, vi = v, method = "FE") # ten sam wynik w metafor (model efektu stałego)
set.seed(3710)
wagi <- round(runif(500, 0.4, 2.5), 2) # wagi sondażowe (dane symulowane)
round(sum(wagi)^2 / sum(wagi^2), 1) # efektywna liczebność Kisha zamiast n = 500Wynik w R
zwykla wazona recznie
4.125 4.400 4.400
[1] 0.134 0.537 0.060 0.269
zwykla wazona SE
0.362 0.248 0.073
Fixed-Effects Model (k = 4)
I^2 (total heterogeneity / total variability): 4.09%
H^2 (total variability / sampling variability): 1.04
Test for Heterogeneity:
Q(df = 3) = 3.1279, p-val = 0.3723
Model Results:
estimate se zval pval ci.lb ci.ub
0.2481 0.0733 3.3841 0.0007 0.1044 0.3917 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
[1] 418.7Bibliografia oprogramowania
Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (pakiet metafor). W pracy podaj wersje faktycznie użytych pakietów (sessionInfo()).
- R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/
- metafor (wersja 5.0.1): Viechtbauer, W. (2010). Conducting meta-analyses in R with the metafor package. Journal of Statistical Software, 36(3), 1–48. https://doi.org/10.18637/jss.v036.i03
Najczęstsze pytania
Jak policzyć średnią ważoną w R?
weighted.mean(x, w) albo sum(x * w) / sum(w). Przy brakach danych dodaj na.rm = TRUE; usuwa ono braki w x razem z ich wagami.
Czy wagi w średniej ważonej muszą sumować się do 1?
Nie. Wzór dzieli przez sumę wag, więc punkty ECTS 6, 4, 2 i 8 dają ten sam wynik co wagi .30, .20, .10 i .40. Normalizacja ułatwia tylko odczyt udziałów.
Dlaczego w metaanalizie waga to odwrotność wariancji?
Bo badania z mniejszym błędem standardowym niosą więcej informacji. Wagi 1/v dają średnią o najmniejszej wariancji w modelu efektu stałego; jej błąd standardowy to √(1/Σw).
Powiązane hasła
Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia
Metaanaliza krok po kroku
Od pytania do PRISMA 2020: g Hedgesa, model efektów losowych, heterogeniczność i przedział predykcji, moderatory, wykres lejkowy – z kodem metafor.
Czytaj →PoradnikWażenie danych sondażowych krok po kroku
Wagi schematu, korekta braku odpowiedzi, raking w R, przycinanie wag, efektywna liczebność Kisha, błąd standardowy i wzór opisu.
Czytaj →Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?
Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.
Wyceń analizęOferta dla studentówBibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)
- Borenstein, M., Hedges, L. V., Higgins, J. P. T., & Rothstein, H. R. (2010). A basic introduction to fixed-effect and random-effects models for meta-analysis. Research Synthesis Methods, 1(2), 97–111. https://doi.org/10.1002/jrsm.12
- Haziza, D., & Beaumont, J.-F. (2017). Construction of weights in surveys: A review. Statistical Science, 32(2), 206–226. https://doi.org/10.1214/16-sts608
Cytowania BibTeX
@article{borenstein2010basic, author={Borenstein, Michael and Hedges, Larry V. and Higgins, Julian P. T. and Rothstein, Hannah R.}, title={{A basic introduction to fixed-effect and random-effects models for meta-analysis}}, journal={Research Synthesis Methods}, year={2010}, volume={1}, number={2}, pages={97--111}, doi={10.1002/jrsm.12}}@article{haziza2017construction, author={Haziza, David and Beaumont, Jean-François}, title={{Construction of weights in surveys: A review}}, journal={Statistical Science}, year={2017}, volume={32}, number={2}, pages={206--226}, doi={10.1214/16-sts608}}