Słownik metodologiczny · Statystyka opisowa

Średnia harmoniczna – kiedy zwykła średnia daje zły wynik?

Średnia harmoniczna to odwrotność średniej z odwrotności. Pokazujemy, kiedy jej użyć (średnia prędkość, n harmoniczne przy nierównych grupach w ANOVA, miara F1), przykład w R i opis do pracy.

Strona główna / Słownik / Średnia harmoniczna

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: Średnia harmoniczna to liczba wartości podzielona przez sumę ich odwrotności: H = n/Σ(1/xi). Stosuje się ją do uśredniania wskaźników typu „na jednostkę” przy stałym liczniku, np. prędkości na tym samym odcinku, oraz liczebności nierównych grup w ANOVA.

Co to jest średnia harmoniczna?

Średnia harmoniczna (ang. harmonic mean) n dodatnich wartości to n podzielone przez sumę ich odwrotności:

H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xn)

Jest więc odwrotnością średniej z odwrotności. Dla tych samych danych zachodzi H ≤ średnia geometryczna ≤ średnia arytmetyczna. Najmniejsze wartości ważą w niej najwięcej.

Kiedy jej użyć

  • Wskaźniki „na jednostkę” przy stałym liczniku. Prędkości na odcinkach tej samej długości albo ceny za sztukę przy tej samej wydanej kwocie. Gdy stały jest mianownik (ten sam czas jazdy), właściwa jest zwykła średnia; w innych układach – średnia ważona.
  • Liczebności nierównych grup. Test Tukeya dla nierównych grup (Kramer, 1956) modyfikuje błąd standardowy różnicy; odpowiada to użyciu średniej harmonicznej liczebności porównywanej pary. Wybór procedury opisuje wpis Testy post hoc w ANOVA – który wybrać?, a sam test – hasło test Tukeya (HSD).
  • Miara F1, czyli średnia harmoniczna precyzji i czułości. Hand i in. (2021) przypominają, że właśnie wybór średniej harmonicznej bywa krytykowany jako mało intuicyjny.

Przykład

Kierowca jedzie 30 km z prędkością 60 km/h i wraca 40 km/h. Średnia prędkość to 48 km/h, a nie 50: cała trasa (60 km) zajęła 1.25 godziny. Grupy w ANOVA liczą 40, 15 i 10 osób: średnia arytmetyczna to 21.67, a harmoniczna 15.65. Dla pary 15 i 10 n harmoniczne wynosi 12, dla pary 40 i 10 – 16.

Jak opisać w pracy

Ze względu na nierówne liczebności grup (n = 40, 15 i 10) w analizie mocy i porównaniach post hoc (test Tukeya–Kramera) użyto średniej harmonicznej liczebności, ñ = 15.65.

Na co uważać

  • Zera i liczby ujemne. Przy zerze średnia nie istnieje, przy wartościach ujemnych nie ma sensu.
  • Nie zawyżaj n. Średnia arytmetyczna liczebności przecenia moc przy nierównych grupach.
  • Nazwij średnią wprost i podaj, co było stałe – droga czy czas.
Przykład reprodukowalny

Średnia harmoniczna w R

Kod liczy średnią prędkość na trasie tam i z powrotem, n harmoniczne trzech nierównych grup i ich par oraz miarę F1 jako średnią harmoniczną precyzji i czułości.

Prędkość, liczebności grup i miara F1

Dane wejściowe: prędkości 60 i 40 km/h na odcinkach po 30 km, liczebności grup 40, 15 i 10, precyzja .90 i czułość .50 (dane przykładowe, bez losowania).

Co odczytać: arytm i harm w każdym wierszu, zgodność z liczeniem ręcznym oraz n harmoniczne dla par grup.

R
suppressPackageStartupMessages(library(DescTools))
predkosc <- c(tam = 60, z_powrotem = 40)                     # km/h na tej samej trasie 30 km
c(arytm = mean(predkosc), harm = Hmean(predkosc), z_definicji = 60 / (30/60 + 30/40))
n <- c(kontrolna = 40, terapia_A = 15, terapia_B = 10)       # nierówne liczebności grup
round(c(arytm = mean(n), harm = Hmean(n), harm_reczna = length(n) / sum(1 / n)), 2)
round(c(para_A_B = Hmean(n[c("terapia_A", "terapia_B")]),    # n harmoniczne pary w teście Tukeya–Kramera
        para_K_B = Hmean(n[c("kontrolna", "terapia_B")])), 2)
precyzja <- 0.90; czulosc <- 0.50
round(c(arytm = mean(c(precyzja, czulosc)), F1 = Hmean(c(precyzja, czulosc))), 3)
Wynik w R
      arytm        harm z_definicji 
         50          48          48 
      arytm        harm harm_reczna 
      21.67       15.65       15.65 
para_A_B para_K_B 
      12       16 
arytm    F1 
0.700 0.643

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (pakiet DescTools). W pracy podaj wersje faktycznie użytych pakietów (sessionInfo()).

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/
  2. DescTools (wersja 0.99.60): Signorell, A. (2025). DescTools: Tools for descriptive statistics (R package version 0.99.60) [Computer software]. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.DescTools

Najczęstsze pytania

Jak policzyć średnią harmoniczną w R?

W podstawowym R: length(x) / sum(1 / x) albo 1 / mean(1 / x). Pakiet DescTools ma funkcję Hmean(x). Wszystkie wartości muszą być dodatnie.

Co to jest n harmoniczne w ANOVA?

To średnia harmoniczna liczebności grup, używana zamiast jednego n, gdy grupy są nierówne. Jest niższa od średniej arytmetycznej, bo mała grupa bardziej ogranicza precyzję porównań.

Dlaczego miara F1 jest średnią harmoniczną?

Bo nisko ocenia klasyfikator, który ma dobrą tylko jedną z dwóch cech. Przy precyzji .90 i czułości .50 F1 = .643, a średnia arytmetyczna dałaby .700.

Powiązane hasła

ŚredniaŚrednia geometrycznaŚrednia ważonaTest Tukeya (HSD)Czułość i swoistość

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Testy post hoc – który wybrać?

Tabela sytuacja → test, Tukey, Games–Howell, Dunnett, Scheffé i Dunn na jednym przykładzie oraz symulacja błędu I rodzaju i mocy w R.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Hand, D. J., Christen, P., & Kirielle, N. (2021). F*: An interpretable transformation of the F-measure. Machine Learning, 110(3), 451–456. https://doi.org/10.1007/s10994-021-05964-1 ● Otwarty dostęp
  2. Kramer, C. Y. (1956). Extension of multiple range tests to group means with unequal numbers of replications. Biometrics, 12(3), 307–310. https://doi.org/10.2307/3001469

Cytowania BibTeX

@article{hand2021f, author={Hand, David J. and Christen, Peter and Kirielle, Nishadi}, title={{F*: An interpretable transformation of the F-measure}}, journal={Machine Learning}, year={2021}, volume={110}, number={3}, pages={451--456}, doi={10.1007/s10994-021-05964-1}}
@article{kramer1956extension, author={Kramer, Clyde Young}, title={{Extension of multiple range tests to group means with unequal numbers of replications}}, journal={Biometrics}, year={1956}, volume={12}, number={3}, pages={307--310}, doi={10.2307/3001469}}
R