Słownik metodologiczny · Statystyka opisowa

Średnia geometryczna – kiedy jest lepsza od zwykłej średniej?

Średnia geometryczna to pierwiastek z iloczynu wartości, czyli średnia logarytmów po powrocie do skali danych. Pokazujemy, kiedy ją liczyć (tempo zmian, dane skośne), jak podać ją z przedziałem ufności i geometrycznym SD oraz czego unikać.

Strona główna / Słownik / Średnia geometryczna

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano: · Aktualizacja:

W skrócie: Średnia geometryczna to n-ty pierwiastek z iloczynu n dodatnich wartości, czyli exp ze średniej logarytmów. Stosuje się ją do średniego tempa zmian procentowych i do danych prawostronnie skośnych o charakterze mnożnikowym, np. stężeń. Nie istnieje, gdy w danych są zera lub wartości ujemne.

Co to jest średnia geometryczna?

Średnia geometryczna (ang. geometric mean, GM) to n-ty pierwiastek z iloczynu n dodatnich wartości:

GM = (x₁ · x₂ · … · xn)1/n = exp[(ln x₁ + … + ln xn)/n]

Jest to więc średnia logarytmów po powrocie do skali danych. Manikandan (2011) wskazuje, że pasuje do wartości zmieniających się wykładniczo i do rozkładów skośnych, które logarytm czyni symetrycznymi. Nie da się jej policzyć, gdy choć jedna wartość jest zerem lub liczbą ujemną. Porównywanie grup na danych zlogarytmowanych (iloraz średnich geometrycznych z regresji) opisuje hasło transformacja logarytmiczna. Tu chodzi o samą miarę położenia.

Kiedy ją liczyć

  • Średnie tempo zmian. Gdy wartości mnożą się z okresu na okres, np. przy zmianach procentowych rok do roku.
  • Dane mnożnikowe i prawostronnie skośne: stężenia, miana przeciwciał, czasy. Dla rozkładu lognormalnego średnia geometryczna w populacji jest równa medianie (Vogel, 2022).
  • Rozproszenie opisuje wtedy geometryczne SD (GSD = exp(SD logarytmów)). Jest to mnożnik, a nie procent średniej jak współczynnik zmienności.

Przykład

Tempo zmian. Liczba uczestników programu rosła o 50%, spadła o 20% i wzrosła o 10%. Średnia arytmetyczna mnożników 1.50, 0.80 i 1.10 to 1.1333, co sugerowałoby wzrost o 13.3% rocznie. Średnia geometryczna wynosi 1.0970, czyli 9.7% rocznie, i tylko ona odtwarza faktyczny wzrost łączny: 1.0970³ = 1.32.

Dane skośne. Stężenie CRP u 40 osób (dane symulowane): średnia arytmetyczna 3.15 mg/l, mediana 2.25 mg/l, średnia geometryczna 2.12 mg/l (95% CI [1.57, 2.86]), GSD = 2.57.

Jak opisać w pracy

Ze względu na prawostronną skośność stężenie CRP opisano średnią geometryczną: GM = 2.12 mg/l, 95% CI [1.57, 2.86], geometryczne SD = 2.57 (M = 3.15 mg/l, Mdn = 2.25 mg/l).

Na co uważać

  • Zera w danych. Stała w ln(x + 1) jest umowna i zmienia wynik.
  • Nazwij średnią wprost. „Średnia” bez przymiotnika oznacza arytmetyczną.
  • Nie licz jej z przyzwyczajenia. Vogel (2022) pokazuje, że poza danymi lognormalnymi średnia geometryczna nie ma jasnej interpretacji, a w małych próbach bywa obciążona.
  • Nie dla skal bez prawdziwego zera, np. wyników z czy sum skal Likerta.

Jak dobrać miary do opisu próby, pokazuje wpis jak opisać charakterystykę próby.

Przykład reprodukowalny

Średnia geometryczna w R

Kod porównuje średnią arytmetyczną i geometryczną mnożników zmian, a dla skośnych stężeń liczy średnią, medianę, średnią geometryczną, geometryczne SD i 95% CI.

Tempo zmian i dane prawostronnie skośne

Dane wejściowe: trzy roczne mnożniki zmian oraz stężenie CRP u 40 osób (dane symulowane, set.seed(2970)).

Co odczytać: arytm i geom dla mnożników, a dla CRP kolumny M, Mdn, GM, GSD i granice przedziału ufności.

R
mnozniki <- c(1.50, 0.80, 1.10)                     # zmiany o +50%, -20%, +10% w kolejnych latach
round(c(arytm = mean(mnozniki), geom = prod(mnozniki)^(1/3), iloczyn = prod(mnozniki)), 4)
set.seed(2970)
crp <- round(rlnorm(40, meanlog = log(2.5), sdlog = 0.9), 1)  # stężenie CRP, mg/l (dane symulowane)
gm <- exp(mean(log(crp)))                           # średnia geometryczna
round(c(M = mean(crp), Mdn = median(crp), GM = gm, GSD = exp(sd(log(crp)))), 2)
round(exp(as.numeric(t.test(log(crp))$conf.int)), 2) # 95% CI dla średniej geometrycznej
Wynik w R
  arytm    geom iloczyn 
 1.1333  1.0970  1.3200 
   M  Mdn   GM  GSD 
3.15 2.25 2.12 2.57 
[1] 1.57 2.86

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (bez dodatkowych pakietów).

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

Najczęstsze pytania

Jak policzyć średnią geometryczną w R?

Użyj exp(mean(log(x))). Wszystkie wartości muszą być dodatnie. Przedział ufności to exp(t.test(log(x))$conf.int), a geometryczne SD to exp(sd(log(x))).

Czy średnia geometryczna może być większa od zwykłej średniej?

Nie. Dla dodatnich wartości średnia geometryczna jest zawsze mniejsza od arytmetycznej lub jej równa. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie wartości są takie same.

Co zrobić, gdy w danych są zera, a chcę policzyć średnią geometryczną?

Średnia geometryczna wtedy nie istnieje. Dodanie stałej, np. log(x + 1), jest umowne i zmienia wynik. Rozważ medianę albo model dla danych z zerami.

Powiązane hasła

Transformacja logarytmicznaWspółczynnik zmienności (CV)MedianaŚredniaZmiana procentowa

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Jak opisać charakterystykę próby

Które cechy opisać, średnia czy mediana wieku, przedziały wiekowe, małe kategorie i braki oraz porównanie próby z populacją – z kodem R.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Manikandan, S. (2011). Measures of central tendency: The mean. Journal of Pharmacology and Pharmacotherapeutics, 2(2), 140–142. https://doi.org/10.4103/0976-500X.81920 ● Otwarty dostęp: pełny tekst
  2. Vogel, R. M. (2022). The geometric mean? Communications in Statistics – Theory and Methods, 51(1), 82–94. https://doi.org/10.1080/03610926.2020.1743313

Cytowania BibTeX

@article{manikandan2011mean, author={Manikandan, S.}, title={{Measures of central tendency: The mean}}, journal={Journal of Pharmacology and Pharmacotherapeutics}, year={2011}, volume={2}, number={2}, pages={140--142}, doi={10.4103/0976-500x.81920}}
@article{vogel2022geometric, author={Vogel, Richard M.}, title={{The geometric mean?}}, journal={Communications in Statistics – Theory and Methods}, year={2022}, volume={51}, number={1}, pages={82--94}, doi={10.1080/03610926.2020.1743313}}
R