Słownik metodologiczny · Projekt badania

Paradoks Lorda – dlaczego wynik różnicowy i ANCOVA dają różne wnioski?

Paradoks Lorda pokazuje, że w grupach naturalnych analiza zmian i ANCOVA mogą dać sprzeczne wyniki na tych samych danych. Wyjaśniamy, skąd się to bierze, i pokazujemy przykład w R.

Strona główna / Słownik / Paradoks Lorda

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: Paradoks Lorda to sytuacja, w której analiza wyników różnicowych i ANCOVA z wynikiem wyjściowym jako kowariantem dają na tych samych danych sprzeczne wnioski o różnicy między grupami. Pojawia się, gdy grupy nie były losowane i różnią się na starcie.

Co to jest paradoks Lorda?

Paradoks Lorda (ang. Lord’s paradox) to sytuacja, w której dwie rozsądne analizy tych samych danych przed–po dają sprzeczne wnioski. Lord (1967) opisał dwóch statystyków badających masę ciała studentów i studentek na początku i na końcu roku. Pierwszy porównał średnie zmiany: w żadnej grupie średnia się nie zmieniła, więc różnicy nie ma. Drugi użył ANCOVA z masą początkową jako kowariantem i uzyskał istotną różnicę między grupami. Paradoks dotyczy grup istniejących wcześniej, niewylosowanych. Formalnie jest odmianą paradoksu Simpsona (Pearl, 2016).

Skąd sprzeczność?

Obie analizy odpowiadają na inne pytania. Wynik różnicowy pyta, czy grupy różnią się średnią zmianą. ANCOVA pyta, czy osoby o tym samym wyniku wyjściowym różnią się wynikiem końcowym. Gdy grupy startują z różnych poziomów, a korelacja przed–po jest mniejsza niż 1, działa regresja do średniej. Osoba z lżejszej grupy o wysokiej masie wyjściowej „wraca” do niższej średniej swojej grupy, osoba z cięższej grupy – do wyższej. Pearl (2016) pokazuje, że o wyborze analizy rozstrzygają założenia przyczynowe zapisane w grafie, a nie sam model statystyczny. Jak zapisać takie założenia, wyjaśnia wpis Grafy przyczynowe (DAG).

Przykład

W symulowanych danych dwóch grup po 200 osób średnie wynosiły przed i po 60.92 i 61.18 kg w grupie A oraz 70.14 i 70.41 kg w grupie B. Różnica średnich zmian: 0.01 kg, t(398) = −0.02, p = .987. ANCOVA dała efekt grupy B = 3.20 kg, 95% CI [1.68, 4.71], p < .001.

Jak opisać w pracy

Ponieważ grupy nie były losowo przydzielone i różniły się wynikiem wyjściowym, przedstawiono dwie analizy. Średnia zmiana nie różniła się między grupami, t(398) = −0.02, p = .987, natomiast w ANCOVA z wynikiem wyjściowym jako kowariantem grupa B miała wynik końcowy wyższy o 3.20 kg, 95% CI [1.68, 4.71]. Wybór analizy głównej uzasadniono założeniami przyczynowymi.

Na co uważać

  • Badanie randomizowane. Przy losowym przydziale paradoks znika, a ANCOVA jest zwykle lepsza. Senn (2006) pokazuje, że nie wymaga ona równości grup na starcie i trudno o sytuację, w której byłaby obciążona, a analiza zmian nie. Zobacz ANCOVA w badaniu przed i po.
  • Grupy naturalne. Żadna z analiz nie jest „poprawna z definicji”. Zapisz założenia i pokaż obie.

Pełny przykład z dwiema analizami omawia wpis Paradoks Lorda – ANCOVA czy wynik różnicowy.

Przykład reprodukowalny

Paradoks Lorda w R

Kod symuluje dwie grupy, które różnią się na starcie, ale w żadnej średnia się nie zmienia, a potem analizuje te same dane testem t dla wyniku różnicowego i ANCOVA.

Wynik różnicowy a ANCOVA na tych samych danych

Dane wejściowe: masa ciała przed i po w dwóch grupach po 200 osób (dane symulowane, set.seed(3571)).

Co odczytać: średnie przed i po w grupach, test t dla średnich zmian oraz współczynnik grupaB w ANCOVA z 95% CI.

R
set.seed(3571)
n <- 200
grupa <- factor(rep(c("A", "B"), each = n))           # dwie istniejące grupy (np. akademiki)
srednia <- ifelse(grupa == "A", 60, 70)               # grupy różnią się już na starcie
przed <- srednia + rnorm(2 * n, 0, 8)                 # masa ciała we wrześniu
po    <- srednia + 0.6 * (przed - srednia) + rnorm(2 * n, 0, 6.4)  # w czerwcu: ta sama średnia, regresja do średniej
round(tapply(przed, grupa, mean), 2); round(tapply(po, grupa, mean), 2)
zmiana <- po - przed
t.test(zmiana ~ grupa, var.equal = TRUE)              # analityk 1: wynik różnicowy
m <- lm(po ~ przed + grupa)                           # analityk 2: ANCOVA
signif(coef(summary(m)), 3)
round(confint(m)["grupaB", ], 2)
Wynik w R
    A     B 
60.92 70.14 
    A     B 
61.18 70.41 

	Two Sample t-test

data:  zmiana by grupa
t = -0.015872, df = 398, p-value = 0.9873
alternative hypothesis: true difference in means between group A and group B is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -1.435487  1.412494
sample estimates:
mean in group A mean in group B 
      0.2631161       0.2746128 

            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)   21.300     2.5600    8.33 1.30e-15
przed          0.654     0.0413   15.90 3.05e-44
grupaB         3.200     0.7690    4.16 3.97e-05
 2.5 % 97.5 % 
  1.68   4.71

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (funkcje pakietów base i stats). W pracy podaj wersję R, której faktycznie użyto (sessionInfo()).

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

Najczęstsze pytania

Która analiza jest poprawna w paradoksie Lorda?

To zależy od pytania i założeń przyczynowych. Wynik różnicowy porównuje średnie zmiany, a ANCOVA – osoby o tym samym wyniku wyjściowym. W grupach naturalnych wybór trzeba uzasadnić, np. grafem przyczynowym (Pearl, 2016).

Czy paradoks Lorda dotyczy badań randomizowanych?

Praktycznie nie. Przy losowym przydziale obie analizy szacują ten sam efekt, a ANCOVA jest zwykle precyzyjniejsza i nie wymaga równości grup na starcie (Senn, 2006).

Czym paradoks Lorda różni się od paradoksu Simpsona?

W paradoksie Simpsona związek odwraca się po podziale na podgrupy. W paradoksie Lorda chodzi o to, czy kontrolować ciągły wynik wyjściowy; Pearl (2016) traktuje go formalnie jako odmianę paradoksu Simpsona.

Powiązane hasła

Wynik różnicowy (change score)ANCOVA (analiza kowariancji)Regresja do średniejParadoks Simpsona

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Paradoks Lorda: ANCOVA czy wynik różnicowy?

Kiedy obie analizy badania przed–po się zgadzają, kiedy myli się każda z nich, regresja do średniej, graf przyczynowy i symulacja w R.

Czytaj →Poradnik

ANCOVA w badaniu przed i po

ANOVA mieszana, różnice wyników, ANCOVA i model mieszany na jednych danych: moc w RCT, paradoks Lorda, założenia, średnie skorygowane i wzór raportu.

Czytaj →Poradnik

Grafy przyczynowe (DAG)

Zakłócacz, mediator i zderzacz, kryterium tylnych drzwi i zbiór dostosowujący – z symulacją w R, która pokazuje koszt złej kontroli.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Lord, F. M. (1967). A paradox in the interpretation of group comparisons. Psychological Bulletin, 68(5), 304–305. https://doi.org/10.1037/h0025105
  2. Pearl, J. (2016). Lord’s paradox revisited – (Oh Lord! Kumbaya!). Journal of Causal Inference, 4(2), Article 20160021. https://doi.org/10.1515/jci-2016-0021 ● Otwarty dostęp: pełny tekst
  3. Senn, S. (2006). Change from baseline and analysis of covariance revisited. Statistics in Medicine, 25(24), 4334–4344. https://doi.org/10.1002/sim.2682

Cytowania BibTeX

@article{lord1967paradox, author={Lord, Frederic M.}, title={{A paradox in the interpretation of group comparisons}}, journal={Psychological Bulletin}, year={1967}, volume={68}, number={5}, pages={304--305}, doi={10.1037/h0025105}}
@article{pearl2016lord, author={Pearl, Judea}, title={{Lord’s paradox revisited – (Oh Lord! Kumbaya!)}}, journal={Journal of Causal Inference}, year={2016}, volume={4}, number={2}, eid={20160021}, doi={10.1515/jci-2016-0021}}
@article{senn2006change, author={Senn, Stephen}, title={{Change from baseline and analysis of covariance revisited}}, journal={Statistics in Medicine}, year={2006}, volume={25}, number={24}, pages={4334--4344}, doi={10.1002/sim.2682}}
R