Co to jest współczynnik eta?
Współczynnik eta (η, stosunek korelacyjny, ang. correlation ratio) mierzy siłę związku między zmienną ilościową Y a zmienną kategorialną X, która dzieli osoby na grupy. Odpowiada na pytanie, jak dobrze przynależność do grupy przewiduje wynik, bez względu na kształt zależności. Dlatego bywa nazywany korelacją nieliniową. Kelley (1935) zauważył, że η z próby różni się od wartości w populacji systematycznie, zależnie od liczby grup, i zaproponował wersję nieobciążoną.
Wzór i związek z η²
η = √(SSmiędzy / SScałk), gdzie SS to sumy kwadratów z jednoczynnikowej ANOVA.
Zakres: od 0 do 1, bez znaku. Kwadrat współczynnika to eta kwadrat, czyli odsetek zmienności Y związany z przynależnością do grup (Richardson, 2011). Eta jest niesymetryczny: zmienna kategorialna tworzy grupy, a ilościowa jest wyjaśniana – po zamianie ról wynik byłby inny.
Gdy kategorie X są uporządkowane i mają kody liczbowe, η nigdy nie jest mniejsze od wartości bezwzględnej korelacji Pearsona. Różnica η² − r² to część związku, której nie opisuje prosta linia; jej istotność sprawdza test odchylenia od liniowości.
Przykład
Po 30 studentów z każdego z pięciu poziomów lęku przed egzaminem (1–5) napisało test (dane symulowane). Średnie wyniosły 55.5, 65.3, 69.2, 64.8 i 50.6 punktu – zależność ma kształt odwróconego U. Korelacja Pearsona prawie nic nie pokazała, r = −.11, natomiast η = .52 (η² = .27). Odchylenie od liniowości było istotne, F(3, 145) = 17.19, p < .001.
Jak opisać w pracy
Na co uważać
- Zawyżenie w próbie. Im więcej grup i mniej osób, tym wyższe η przy braku efektu; skorygowaną wersję opisuje hasło epsilon kwadrat.
- Brak kierunku. η nie mówi, czy wynik rośnie, czy maleje – pokaż średnie lub wykres.
- Kształt zależności. Wysokie η przy niskim r to sygnał, by modelować krzywą, np. regresją krzywoliniową.
Zależności nieliniowe dla predyktorów ciągłych omawia wpis Nieliniowe zależności – splajny i modele GAM.
Współczynnik eta w R
Kod symuluje wyniki testu w pięciu grupach lęku, liczy η z sum kwadratów, porównuje je z korelacją Pearsona i sprawdza odchylenie od liniowości, porównując model liniowy z modelem z czynnikiem.
Eta a korelacja Pearsona przy zależności w kształcie odwróconego U
R
set.seed(3671)
lek <- rep(1:5, each = 30) # poziom lęku przed egzaminem 1–5, po 30 osób
srednie <- c(55, 66, 70, 64, 52) # zależność w kształcie odwróconego U
wynik <- round(srednie[lek] + rnorm(150, 0, 10)) # wynik testu (punkty)
round(tapply(wynik, lek, mean), 1)
SS_miedzy <- sum(30 * (tapply(wynik, lek, mean) - mean(wynik))^2)
SS_calk <- sum((wynik - mean(wynik))^2)
eta <- sqrt(SS_miedzy / SS_calk) # eta: wynik zależny od kategorii lęku
r <- cor(lek, wynik) # Pearson: tylko składnik liniowy
round(c(eta = eta, eta2 = eta^2, r = r, r2 = r^2), 3)
anova(lm(wynik ~ lek), lm(wynik ~ factor(lek))) # test odchylenia od liniowości (eta2 vs r2)
summary(aov(wynik ~ factor(lek)))Wynik w R
1 2 3 4 5
55.5 65.3 69.2 64.8 50.6
eta eta2 r r2
0.521 0.271 -0.109 0.012
Analysis of Variance Table
Model 1: wynik ~ lek
Model 2: wynik ~ factor(lek)
Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
1 148 26010
2 145 19185 3 6824.5 17.193 1.319e-09 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
factor(lek) 4 7135 1783.6 13.48 2.29e-09 ***
Residuals 145 19185 132.3
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Bibliografia oprogramowania
Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (funkcje pakietów base i stats). W pracy podaj wersję R (sessionInfo()).
- R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/
Najczęstsze pytania
Czym współczynnik eta różni się od eta kwadrat?
Eta kwadrat to kwadrat współczynnika eta. Eta (η) opisuje siłę związku w skali podobnej do korelacji, a η² – odsetek zmienności wyniku związany z podziałem na grupy. Dla η = .52 jest to η² = .27.
Dlaczego współczynnik eta jest większy niż r Pearsona?
Eta uwzględnia każdy kształt zależności między średnimi grup, a r tylko linię prostą. Dla kodowanych liczbowo kategorii η ≥ |r|, a duża różnica wskazuje zależność krzywoliniową.
Gdzie znaleźć współczynnik eta w SPSS?
W procedurze Średnie (Means) z menu porównywania średnich: w opcjach zaznacz tabelę ANOVA z eta oraz test liniowości. SPSS poda η, η² i test odchylenia od liniowości.
Powiązane hasła
Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia
Nieliniowe zależności: splajny i GAM
Podział na grupy, parabola, splajn i GAM na jednym zbiorze: edf, REML, wybór k, diagnostyka, wykres krzywej i wzór opisu w R.
Czytaj →PoradnikANOVA krok po kroku
Jednoczynnikowa i dwuczynnikowa ANOVA na przykładach: założenia, test Welcha, post hoc, η² i ω², efekty proste, typy sum kwadratów i opis APA.
Czytaj →Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?
Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.
Wyceń analizęOferta dla studentówBibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)
- Kelley, T. L. (1935). An unbiased correlation ratio measure. Proceedings of the National Academy of Sciences, 21(9), 554–559. https://doi.org/10.1073/pnas.21.9.554 ● Otwarty dostęp: pełny tekst
- Richardson, J. T. E. (2011). Eta squared and partial eta squared as measures of effect size in educational research. Educational Research Review, 6(2), 135–147. https://doi.org/10.1016/j.edurev.2010.12.001
Cytowania BibTeX
@article{kelley1935unbiased, author={Kelley, Truman L.}, title={{An unbiased correlation ratio measure}}, journal={Proceedings of the National Academy of Sciences}, year={1935}, volume={21}, number={9}, pages={554--559}, doi={10.1073/pnas.21.9.554}}@article{richardson2011eta, author={Richardson, John T. E.}, title={{Eta squared and partial eta squared as measures of effect size in educational research}}, journal={Educational Research Review}, year={2011}, volume={6}, number={2}, pages={135--147}, doi={10.1016/j.edurev.2010.12.001}}