Słownik metodologiczny · Wielkość efektu

Epsilon-kwadrat (ε²) – jak liczyć i czytać tę miarę wielkości efektu?

Epsilon-kwadrat mówi, jaką część zmienności wyników wyjaśnia podział na grupy. Pokazujemy dwa wzory – dla ANOVA i dla testu Kruskala–Wallisa – przykład w R, opis do pracy i najczęstsze pomyłki.

Strona główna / Słownik / Epsilon-kwadrat

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: Epsilon-kwadrat (ε²) to miara wielkości efektu: część zmienności wyników wyjaśniona przez podział na grupy. W ANOVA to mniej obciążona wersja η² (Kelley, 1935), a w teście Kruskala–Wallisa – rangowe ε² liczone z H. Zawsze podaj, którą wersję liczysz.

Co to jest epsilon-kwadrat?

Epsilon-kwadrat (ε², ang. epsilon squared) to miara wielkości efektu, która mówi, jaką część zmienności wyników wyjaśnia podział na grupy. Kelley (1935) zaproponował ją jako nieobciążoną miarę stosunku korelacyjnego: η² z próby różni się od wartości w populacji systematycznie, w zależności od liczby grup. Tą samą nazwą określa się też miarę wielkości efektu dla testu Kruskala–Wallisa. To dwa różne wzory.

Dwa wzory i ich zakres

  • ANOVA: ε² = (SSB − dfB · MSW) / SST. Od η² = SSB / SST różni się tym, że odejmuje zmienność międzygrupową, jakiej można się spodziewać przy braku efektu. Daje wartości bliskie ω². Przy F < 1 wychodzi ujemne – raportuje się wtedy 0.
  • Test Kruskala–Wallisa: ε²R = H / [(n² − 1) / (n + 1)] = H / (n − 1), gdzie H to statystyka testu (Kruskal i Wallis, 1952), a n – liczebność całej próby. Przyjmuje wartości od 0 do 1, a bez remisów równa się η² policzonemu na rangach.

Dla ε² nie ma uniwersalnych progów „małego” i „dużego” efektu. Porównuj go z wynikami podobnych badań. Albers i Lakens (2018) odradzają opieranie analizy mocy na η² z pilotażu, bo zawyżony efekt prowadzi do za małej próby.

Przykład

Trzy grupy po 15 osób z prawostronnie skośnym wynikiem (dane symulowane). ANOVA: F(2, 42) = 8.70, p < .001, η² = .293, ε² = .259, ω² = .255. Test Kruskala–Wallisa: H(2) = 10.76, p = .005, ε²R = .245. Mediany grup wynosiły 19, 19 i 35.

Jak opisać w pracy

Wyniki różniły się między trzema grupami, H(2) = 10.76, p = .005. Wielkość efektu oszacowano rangowym epsilon-kwadrat, ε² = .245.

Gotowe zdania dla innych testów przygotujesz w generatorze opisu wyników APA.

Na co uważać

  • Dwie miary, jedna nazwa. Napisz, czy ε² dotyczy ANOVA, czy rang. Rangowego ε² nie porównuj wprost z ε² z ANOVA.
  • Ujemne wartości. Ujemne ε² w ANOVA nie jest błędem obliczeń, tylko skutkiem korekty obciążenia.
  • Brak przedziału. Przy małych grupach ε² jest niepewne; podaj przedział ufności, np. bootstrapowy.

Porównanie ε² z r, korelacją rangowo-biseryjną i deltą Cliffa znajdziesz we wpisie o wielkości efektu dla testów nieparametrycznych.

Przykład reprodukowalny

Epsilon-kwadrat w R

Kod liczy η², ε² i ω² z tabeli ANOVA oraz rangowe ε² z wyniku testu Kruskala–Wallisa i porównuje je z funkcją z pakietu rcompanion.

ε² dla ANOVA i dla testu Kruskala–Wallisa

Dane wejściowe: wyniki 45 osób w trzech grupach po 15, rozkład prawostronnie skośny (dane symulowane, set.seed(3482)).

Co odczytać: F, p, eta2, eps2 i omega2 z ANOVA oraz H, p i eps2_R z testu Kruskala–Wallisa.

R
set.seed(3482)
grupa <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 15))
wynik <- round(rlnorm(45, meanlog = rep(c(2.8, 3.0, 3.3), each = 15), sdlog = 0.45))
tab <- anova(lm(wynik ~ grupa))
SSb <- tab[1, "Sum Sq"]; SSt <- sum(tab[, "Sum Sq"]); dfb <- tab[1, "Df"]; MSw <- tab[2, "Mean Sq"]
round(c(F = tab[1, "F value"], p = tab[1, "Pr(>F)"],
        eta2 = SSb / SSt,                              # η²
        eps2 = (SSb - dfb * MSw) / SSt,                # ε² (Kelley, 1935)
        omega2 = (SSb - dfb * MSw) / (SSt + MSw)), 4)  # ω²
kw <- kruskal.test(wynik ~ grupa)
n <- length(wynik); H <- unname(kw$statistic)
round(c(H = H, p = kw$p.value, eps2_R = H / ((n^2 - 1) / (n + 1))), 4)  # rangowe ε²
rcompanion::epsilonSquared(wynik, grupa)              # to samo ε² rangowe
Wynik w R
     F      p   eta2   eps2 omega2 
8.7033 0.0007 0.2930 0.2593 0.2550 
      H       p  eps2_R 
10.7641  0.0046  0.2446 
epsilon.squared 
          0.245

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (pakiet rcompanion). W pracy podaj wersje faktycznie użytych pakietów (sessionInfo()).

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/
  2. rcompanion (wersja 2.5.2): Mangiafico, S. S. (2026). rcompanion: Functions to support extension education program evaluation [R package]. Rutgers Cooperative Extension. https://CRAN.R-project.org/package=rcompanion

Najczęstsze pytania

Czy epsilon-kwadrat może być ujemny?

W ANOVA tak: ε² jest ujemne, gdy F < 1, czyli gdy zmienność między grupami jest mniejsza, niż wynikałoby z samego przypadku. Zwykle raportuje się wtedy 0. Rangowe ε² dla testu Kruskala–Wallisa nie bywa ujemne, bo H ≥ 0.

Kiedy wybrać ε², a kiedy η² lub ω²?

η² opisuje tylko próbę i zawyża efekt w populacji, zwłaszcza przy wielu grupach i małych próbach (Kelley, 1935). Do opisu populacji i planowania kolejnych badań lepiej nadają się ε² albo ω², które w praktyce dają zbliżone wartości.

Jak policzyć ε² dla testu Kruskala–Wallisa w R?

Funkcja epsilonSquared(x, g) z pakietu rcompanion albo rank_epsilon_squared(y ~ g) z pakietu effectsize. Obie dają H / (n − 1); ta druga podaje też przedział ufności.

Powiązane hasła

Eta kwadrat (η²)Omega kwadrat (ω²)Test Kruskala-WallisaTesty nieparametryczne

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Wielkość efektu w testach nieparametrycznych

r = Z/√N, korelacja rangowo-biseryjna, delta Cliffa, A Varghi–Delaneya, ε² i W Kendalla: co mierzą, jak je przeliczać i podać z CI – z kodem R.

Czytaj →Poradnik

Generator opisu wyników APA

Statystyka, df i liczebności zamienione w zdanie APA 7 z p i wielkością efektu oraz kontrolą, czy p zgadza się ze statystyką.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Albers, C., & Lakens, D. (2018). When power analyses based on pilot data are biased: Inaccurate effect size estimators and follow-up bias. Journal of Experimental Social Psychology, 74, 187–195. https://doi.org/10.1016/j.jesp.2017.09.004 ● Otwarty dostęp
  2. Kelley, T. L. (1935). An unbiased correlation ratio measure. Proceedings of the National Academy of Sciences, 21(9), 554–559. https://doi.org/10.1073/pnas.21.9.554 ● Otwarty dostęp: pełny tekst
  3. Kruskal, W. H., & Wallis, W. A. (1952). Use of ranks in one-criterion variance analysis. Journal of the American Statistical Association, 47(260), 583–621. https://doi.org/10.1080/01621459.1952.10483441

Cytowania BibTeX

@article{albers2018when, author={Albers, Casper and Lakens, Daniël}, title={{When power analyses based on pilot data are biased: Inaccurate effect size estimators and follow-up bias}}, journal={Journal of Experimental Social Psychology}, year={2018}, volume={74}, pages={187--195}, doi={10.1016/j.jesp.2017.09.004}}
@article{kelley1935unbiased, author={Kelley, Truman L.}, title={{An unbiased correlation ratio measure}}, journal={Proceedings of the National Academy of Sciences}, year={1935}, volume={21}, number={9}, pages={554--559}, doi={10.1073/pnas.21.9.554}}
@article{kruskal1952use, author={Kruskal, William H. and Wallis, W. Allen}, title={{Use of ranks in one-criterion variance analysis}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1952}, volume={47}, number={260}, pages={583--621}, doi={10.1080/01621459.1952.10483441}}
R