Test Walda w regresji logistycznej – wzór i R

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 28 października 2026 · Aktualizacja: 27 października 2026

W skrócie: Test Walda sprawdza istotność współczynnika regresji: z = b / SE, a Wald χ² = z² z 1 df. Jest prosty, bo wymaga jednego modelu, ale przy dużych efektach, małych próbach i separacji bywa zawodny – wtedy użyj testu ilorazu wiarygodności.

Co to jest test Walda?

Test Walda (ang. Wald test) sprawdza, czy współczynnik regresji różni się od zera. Wykorzystuje tylko oszacowanie i jego błąd standardowy z jednego modelu: z = b / SE. Statystyka Walda χ² = z² ma rozkład χ² z 1 stopniem swobody (Bewick i in., 2005). Test opisał Wald (1943) dla dużych prób. Jest to kolumna z value w R i Wald w SPSS w tabeli współczynników regresji logistycznej. Na tej samej zasadzie opiera się przedział Walda: b ± 1.96·SE.

Test Walda nie jest metodą estymacji. Korzysta z oszacowań uzyskanych metodą największej wiarygodności. Nie mierzy też dopasowania całego modelu, jak pseudo-R². Test ilorazu wiarygodności odpowiada na to samo pytanie, ale porównuje dwa dopasowane modele.

Przykład

W symulowanych danych 200 studentów lęk egzaminacyjny przy kontroli godzin nauki miał b = −0.035, SE = 0.016, z = −2.14. Daje to Wald χ²(1) = 4.59, p = .032. Test ilorazu wiarygodności dla tego samego predyktora dał χ²(1) = 4.80, p = .028. Iloraz szans wyniósł 0.965, a 95% przedział Walda [0.935, 0.997]. Przedział z profilu wiarygodności był niemal taki sam: [0.934, 0.996]. Przy tej liczebności oba podejścia dają zbliżone wyniki.

Jak opisać w pracy

Przy kontroli liczby godzin nauki wyższy lęk egzaminacyjny wiązał się z mniejszą szansą zdania egzaminu, b = −0.035, SE = 0.016, Wald χ²(1) = 4.59, p = .032, OR = 0.965, 95% CI [0.935, 0.997].

Na co uważać

Duże efekty i małe próby. Hauck i Donner (1977) pokazali, że w modelu logitowym statystyka Walda może maleć, gdy oszacowanie oddala się od zera, a moc testu spada. Bewick i in. (2005) dodają, że przy dużych współczynnikach błąd standardowy bywa zawyżony, więc ważny predyktor może wyglądać na nieistotny.
Separacja. Przy niskim EPV albo kategorii bez zdarzeń SE rośnie ogromnie. Wtedy użyj testu ilorazu wiarygodności i przedziału z profilu wiarygodności.
Zmienne kategorialne. Predyktor o kilku poziomach testuj łącznie (kilka df), a nie każdą zmienną zero-jedynkową osobno.

Tabelę współczynników z testami Walda omawia wpis Regresja logistyczna krok po kroku.

Przykład reprodukowalny

Test Walda w R

Kod wypisuje tabelę współczynników z testami Walda, liczy statystykę Walda χ² dla lęku, porównuje ją z testem ilorazu wiarygodności i podaje iloraz szans z przedziałem Walda.

Wald a LRT dla jednego predyktora

Dane wejściowe: wynik egzaminu (zdał / nie zdał), liczba godzin nauki, lęk egzaminacyjny i czas snu u 200 studentów (dane symulowane, set.seed(2691)).

Co odczytać: b, SE, z i p w tabeli, Wald χ² i jego p, wynik LRT oraz OR z 95% przedziałem Walda.

set.seed(2691)
n <- 200
godziny <- round(runif(n, 0, 20), 1)                # godziny nauki (dane symulowane)
lek     <- round(rnorm(n, 50, 10))                  # lęk egzaminacyjny
sen     <- round(rnorm(n, 7, 1), 1)                 # sen: w danych bez związku z wynikiem
zdal    <- rbinom(n, 1, plogis(-1.2 + 0.15 * godziny - 0.04 * (lek - 50)))
m2 <- glm(zdal ~ godziny + lek, family = binomial)
round(coef(summary(m2)), 3)                         # z = b / SE, Wald chi2 = z^2
z <- coef(summary(m2))["lek", "z value"]
round(c(Wald_chi2 = z^2, p_Wald = 2 * pnorm(-abs(z))), 3)
round(drop1(m2, test = "LRT")["lek", c("LRT", "Pr(>Chi)")], 3)   # LRT dla porównania
round(exp(cbind(OR = coef(m2), confint.default(m2)))["lek", ], 3) # OR z CI Walda

Wynik w R

            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept)    0.452      0.875   0.517    0.605
godziny        0.152      0.028   5.366    0.000
lek           -0.035      0.016  -2.143    0.032
Wald_chi2    p_Wald 
    4.591     0.032 
      LRT Pr(>Chi)  
lek 4.803    0.028 *
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
    OR  2.5 % 97.5 % 
 0.965  0.935  0.997

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (funkcje pakietów base i stats). W pracy podaj wersję R, której faktycznie użyto (sessionInfo()).

R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

Najczęstsze pytania

Co oznacza kolumna Wald w tabeli regresji logistycznej?

To statystyka Walda χ² = (b / SE)², porównywana z rozkładem χ² z 1 df. W R ta sama informacja występuje jako z value, czyli pierwiastek ze statystyki Walda ze znakiem współczynnika.

Kiedy test Walda jest niewiarygodny?

Przy dużych współczynnikach, małych próbach i separacji danych. Statystyka Walda może wtedy maleć mimo rosnącego efektu (Hauck i Donner, 1977), więc ważny predyktor wygląda na nieistotny.

Czy w pracy podawać test Walda czy test ilorazu wiarygodności?

Tabela współczynników z testem Walda jest standardem. Gdy próba jest mała albo efekt bardzo duży, sprawdź wynik testem ilorazu wiarygodności i podaj przedział z profilu wiarygodności.

Powiązane hasła

Test ilorazu wiarygodności (LRT)Błąd standardowy Iloraz szans (OR)EPV – liczba zdarzeń na predyktor Metoda największej wiarygodności Tabela regresji logistycznej w APA

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Regresja logistyczna krok po kroku

Ilorazy szans i prawdopodobieństwa przewidywane, założenia, separacja, pseudo-R², AUC i kalibracja, tabela APA – na danych do pobrania z kodem R.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizę Oferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

Bewick, V., Cheek, L., & Ball, J. (2005). Statistics review 14: Logistic regression. Critical Care, 9(1), 112–118. https://doi.org/10.1186/cc3045 ● Otwarty dostęp
Hauck, W. W., Jr., & Donner, A. (1977). Wald's test as applied to hypotheses in logit analysis. Journal of the American Statistical Association, 72(360a), 851–853. https://doi.org/10.1080/01621459.1977.10479969
Wald, A. (1943). Tests of statistical hypotheses concerning several parameters when the number of observations is large. Transactions of the American Mathematical Society, 54(3), 426–482. https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1943-0012401-3 ● Otwarty dostęp

Cytowania BibTeX

@article{bewick2005statistics, author={Bewick, Viv and Cheek, Liz and Ball, Jonathan}, title={{Statistics review 14: Logistic regression}}, journal={Critical Care}, year={2005}, volume={9}, number={1}, pages={112--118}, doi={10.1186/cc3045}}

@article{hauck1977wald, author={Hauck, Walter W., Jr. and Donner, Allan}, title={{Wald's test as applied to hypotheses in logit analysis}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1977}, volume={72}, number={360a}, pages={851--853}, doi={10.1080/01621459.1977.10479969}}

@article{wald1943tests, author={Wald, Abraham}, title={{Tests of statistical hypotheses concerning several parameters when the number of observations is large}}, journal={Transactions of the American Mathematical Society}, year={1943}, volume={54}, number={3}, pages={426--482}, doi={10.1090/s0002-9947-1943-0012401-3}}