Słownik metodologiczny · Testy statystyczne

Test Dickeya–Fullera – jak sprawdzić pierwiastek jednostkowy?

Test Dickeya–Fullera sprawdza, czy szereg czasowy ma pierwiastek jednostkowy. Pokazujemy regresję testową, trzy warianty, wybór opóźnień, przykład w R, opis do pracy i pułapki.

Strona główna / Słownik / Test Dickeya–Fullera

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: Test Dickeya–Fullera (ADF) sprawdza hipotezę zerową, że szereg czasowy ma pierwiastek jednostkowy, czyli jest niestacjonarny. Statystykę τ porównuje się z osobnymi wartościami krytycznymi, zależnymi od tego, czy w regresji jest stała i trend. Brak odrzucenia nie dowodzi niestacjonarności.

Co to jest test Dickeya–Fullera?

Test Dickeya–Fullera (ang. Dickey–Fuller test, DF; w wersji rozszerzonej ADF – augmented Dickey–Fuller) sprawdza, czy szereg czasowy ma pierwiastek jednostkowy, czyli zachowuje się jak błądzenie losowe. Hipoteza zerowa mówi, że ma (szereg niestacjonarny), a alternatywna – że jest stacjonarny. Dickey i Fuller (1979) wyprowadzili rozkład statystyki dla modelu yt = ρyt−1 + et przy ρ = 1. Od wyniku zależy np. rząd różnicowania d w modelu ARIMA.

Regresja testowa i trzy warianty

Test szacuje regresję Δyt = α + βt + γyt−1 + ΣδiΔyt−i + et i sprawdza, czy γ = 0. Statystyka τ to zwykły iloraz t dla γ, ale ma niestandardowy rozkład, więc porównuje się ją z osobnymi wartościami krytycznymi, a nie z tablicą t. Wartości te zależą od składników równania:

  • bez stałej i trendu (none) – szereg waha się wokół zera;
  • ze stałą (drift) – wokół stałego poziomu różnego od zera;
  • ze stałą i trendem (trend) – szereg wyraźnie rośnie lub maleje.

Opóźnione różnice Δyt−i usuwają autokorelację reszt. Said i Dickey (1984) pokazali, że taka autoregresja przybliża model ARMA o nieznanym rzędzie. Liczbę opóźnień wybiera się zwykle kryterium AIC lub BIC.

Przykład

Zasymulowaliśmy w R dwa szeregi po 120 pomiarów: stacjonarny wokół rosnącego trendu i błądzenie losowe z dryfem. Dla pierwszego wariant z trendem odrzucił pierwiastek jednostkowy: τ = −4.57 przy wartości krytycznej −3.43 (α = .05). Ten sam szereg w wariancie bez stałej i trendu dał τ = 1.80 (wartość krytyczna −1.95), czyli błędnie „niestacjonarny”. Dla błądzenia losowego τ = −2.96, więc hipotezy zerowej nie odrzucono.

Jak opisać w pracy

Stacjonarność szeregu sprawdzono rozszerzonym testem Dickeya–Fullera z wyrazem wolnym i trendem liniowym; liczbę opóźnień (maksymalnie 8) wybrano kryterium AIC. Hipotezę o pierwiastku jednostkowym odrzucono, τ = −4.57 (wartość krytyczna dla α = .05: −3.43), co wskazuje na szereg stacjonarny wokół trendu.

Na co uważać

  • Zły wariant. Pominięcie trendu w szeregu z trendem zwykle daje „niestacjonarność”. Wariant wybierz po obejrzeniu wykresu.
  • Brak odrzucenia to nie dowód. Przy krótkim szeregu test słabo odróżnia ρ = 1 od ρ = 0.9. Schwert (1989) pokazał też, że w skończonych próbach rozkłady statystyk zależą od specyfikacji modelu. Wynik potwierdź testem KPSS.
  • Dwa niestacjonarne szeregi. Łatwo dają korelację pozorną; sprawdź każdy z nich, zanim policzysz korelację lub test przyczynowości Grangera.
Przykład reprodukowalny

Test Dickeya–Fullera w R

Kod symuluje szereg stacjonarny wokół trendu oraz błądzenie losowe z dryfem i uruchamia test ADF z pakietu urca w różnych wariantach.

Wariant z trendem, bez trendu i dla błądzenia losowego

Dane wejściowe: dwa symulowane szeregi po 120 pomiarów; set.seed(4461).

Co odczytać: statystykę τ (tau) i wartość krytyczną dla α = .05 (kryt5); hipotezę zerową odrzucasz, gdy τ jest mniejsze od wartości krytycznej.

R
library(urca)
set.seed(4461)
n <- 120
t <- 1:n
y_trend <- 10 + 0.1 * t + arima.sim(list(ar = 0.6), n)  # stacjonarny wokół trendu
y_rw    <- 10 + cumsum(0.1 + rnorm(n))                  # błądzenie losowe z dryfem
adf <- function(y, typ) {
  m <- ur.df(y, type = typ, lags = 8, selectlags = "AIC")
  c(tau = round(m@teststat[1], 2), kryt5 = m@cval[1, "5pct"])
}
rbind(trend_trend = adf(y_trend, "trend"),
      trend_none  = adf(y_trend, "none"),
      rw_trend    = adf(y_rw, "trend"))
Wynik w R
              tau kryt5
trend_trend -4.57 -3.43
trend_none   1.80 -1.95
rw_trend    -2.96 -3.43

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (pakiet urca). Funkcja tseries::adf.test zawsze uwzględnia stałą i trend.

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/
  2. urca (wersja 1.3-4): Pfaff, B. (2008). Analysis of integrated and cointegrated time series with R (2nd ed.). Springer.

Najczęstsze pytania

Który wariant testu Dickeya–Fullera wybrać?

Wariant z trendem, gdy szereg wyraźnie rośnie lub maleje; ze stałą, gdy waha się wokół poziomu różnego od zera; bez obu tylko dla szeregów wokół zera, np. już zróżnicowanych.

Czym różni się test DF od ADF?

Prosty test DF zakłada brak autokorelacji reszt. Wersja rozszerzona (ADF) dodaje opóźnione różnice szeregu, dzięki czemu nadaje się do szeregów z krótkookresową zależnością, czyli do większości danych.

Co zrobić, gdy test Dickeya–Fullera nie odrzuca hipotezy zerowej?

Potraktuj szereg jako niestacjonarny, zróżnicuj go i powtórz test. Przy krótkim szeregu sprawdź też KPSS, bo sam brak odrzucenia może wynikać z małej mocy.

Powiązane hasła

Stacjonarność szeregu czasowegoARIMASzereg czasowyAutokorelacjaPrzyczynowość w sensie Grangera

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Dickey, D. A., & Fuller, W. A. (1979). Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association, 74(366a), 427–431. https://doi.org/10.1080/01621459.1979.10482531 ● Otwarty dostęp: pełny tekst
  2. Said, S. E., & Dickey, D. A. (1984). Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order. Biometrika, 71(3), 599–607. https://doi.org/10.1093/biomet/71.3.599
  3. Schwert, G. W. (1989). Tests for unit roots: A Monte Carlo investigation. Journal of Business & Economic Statistics, 7(2), 147–159. https://doi.org/10.1080/07350015.1989.10509723 ● Otwarty dostęp

Cytowania BibTeX

@article{dickey1979distribution, author={Dickey, David A. and Fuller, Wayne A.}, title={{Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1979}, volume={74}, number={366a}, pages={427--431}, doi={10.1080/01621459.1979.10482531}}
@article{said1984testing, author={Said, Said E. and Dickey, David A.}, title={{Testing for unit roots in autoregressive-moving average models of unknown order}}, journal={Biometrika}, year={1984}, volume={71}, number={3}, pages={599--607}, doi={10.1093/biomet/71.3.599}}
@article{schwert1989tests, author={Schwert, G. William}, title={{Tests for unit roots: A Monte Carlo investigation}}, journal={Journal of Business \& Economic Statistics}, year={1989}, volume={7}, number={2}, pages={147--159}, doi={10.1080/07350015.1989.10509723}}
R