Co to są średnie brzegowe (EMM)?
Szacowane średnie brzegowe (ang. estimated marginal means, EMM; dawniej least-squares means) to średnie poziomów jednego czynnika obliczone z modelu jako nieważona średnia wartości przewidywanych we wszystkich komórkach planu. Searle, Speed i Milliken (1980) nazwali odpowiadający im parametr populacyjną średnią brzegową i opisali jego estymację w modelu liniowym. EMM są podstawą testu efektu głównego. Tu pokazujemy, kiedy różnią się od średnich surowych i jak je porównać.
Średnia surowa a EMM
W planie zrównoważonym obie średnie są równe. Gdy komórki mają różne liczebności, średnia surowa poziomu czynnika jest ważona liczebnościami, więc miesza jego efekt z efektem drugiego czynnika. EMM daje każdej komórce tę samą wagę. W ANCOVA EMM liczy się przy średniej wartości kowariaty, dlatego nazywa się je też średnimi skorygowanymi. W przeciwieństwie do współczynników modelu EMM nie zależą od sposobu kodowania czynników (zob. kodowanie efektów). Smith i Cribbie (2014) pokazują, że przy nierównych liczebnościach od typu sum kwadratów zależy, jaką hipotezę testuje ANOVA. Do testu efektów głównych bez interakcji zalecają typ II.
Przykład
Porównujemy terapię online i stacjonarną u 100 osób (dane symulowane). W grupie online przeważają osoby w wieku 18–39 lat (40 z 50), a w stacjonarnej osoby po czterdziestce (35 z 50), które mają wyższy poziom stresu. Średnie surowe różnią się o 5.93 pkt (18.66 wobec 24.59), ale dużą część tej różnicy tworzy wiek. EMM z modelu terapia × wiek wynoszą 20.7 i 23.2 pkt, a różnica −2.52 pkt, 95% CI [−4.46, −0.59], t(96) = −2.59, p = .011. Interakcja była bliska zeru (p = .988), więc uśrednianie po wieku ma sens.
Jak opisać w pracy
Na co uważać
- Przy istotnej interakcji EMM uśredniają różne efekty. Porównuj wtedy EMM w komórkach, czyli efekty proste (
emmeans(m, ~ terapia | wiek)). Pokazuje to wpis Interakcja w ANOVA. - Równe wagi komórek to decyzja. Jeśli nierówne liczebności odzwierciedlają populację, uzasadnij wybór wag (argument
weightsw emmeans). - Kilka porównań par koryguj jak w testach post hoc;
pairs()domyślnie stosuje korektę Tukeya.
Cały tok analizy opisuje wpis ANOVA krok po kroku.
Średnie brzegowe w R
Kod porównuje średnie surowe ze średnimi brzegowymi z modelu z interakcją i liczy różnicę EMM z 95% CI w pakiecie emmeans.
Średnie surowe, EMM i ich różnica
R
suppressPackageStartupMessages(library(emmeans))
set.seed(274)
n <- c(online_mlodsi = 40, online_starsi = 10, stacj_mlodsi = 15, stacj_starsi = 35)
d <- data.frame(terapia = factor(rep(c("online", "online", "stacjonarna", "stacjonarna"), n)),
wiek = factor(rep(c("18-39", "40+", "18-39", "40+"), n)))
d$stres <- round(20 + 6 * (d$wiek == "40+") - 2 * (d$terapia == "online") + rnorm(nrow(d), 0, 4), 1)
round(tapply(d$stres, d$terapia, mean), 2) # średnie surowe (ważone liczebnościami)
round(tapply(d$stres, list(d$terapia, d$wiek), mean), 2) # średnie w komórkach
m <- lm(stres ~ terapia * wiek, data = d)
em <- emmeans(m, ~ terapia) # średnie brzegowe: uśrednione komórki
em
confint(pairs(em))
pairs(em)Wynik w R
online stacjonarna
18.66 24.59
18-39 40+
online 17.29 24.13
stacjonarna 19.83 26.64
NOTE: Results may be misleading due to involvement in interactions
terapia emmean SE df lower.CL upper.CL
online 20.7 0.734 96 19.3 22.2
stacjonarna 23.2 0.641 96 22.0 24.5
Results are averaged over the levels of: wiek
Confidence level used: 0.95
contrast estimate SE df lower.CL upper.CL
online - stacjonarna -2.52 0.974 96 -4.46 -0.588
Results are averaged over the levels of: wiek
Confidence level used: 0.95
contrast estimate SE df t.ratio p.value
online - stacjonarna -2.52 0.974 96 -2.589 0.0111
Results are averaged over the levels of: wiek Bibliografia oprogramowania
Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (pakiet emmeans).
- R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/
- emmeans (wersja 2.0.2): Lenth, R. V., & Piaskowski, J. (2026). emmeans: Estimated marginal means, aka least-squares means [R package]. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.emmeans
Najczęstsze pytania
Czym różnią się średnie brzegowe od zwykłych średnich?
Zwykła średnia poziomu czynnika jest ważona liczebnościami komórek. Średnia brzegowa z modelu daje każdej komórce tę samą wagę, więc przy nierównych grupach nie miesza efektów dwóch czynników.
Gdzie znaleźć średnie brzegowe w SPSS?
W GLM wybierz Opcje lub Średnie EM i przenieś czynnik do pola średnich brzegowych. Porównania par możesz tam skorygować, np. metodą Bonferroniego.
Czy można porównywać średnie brzegowe przy istotnej interakcji?
Lepiej nie poprzestawać na średnich uśrednionych po drugim czynniku. Porównaj średnie brzegowe w komórkach, czyli efekty proste, np. emmeans(model, ~ A | B).
Powiązane hasła
Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia
Interakcja w ANOVA – jak ją opisać
Co zrobić po istotnej interakcji: wykres, efekty proste na średnich brzegowych, interakcja porządkująca i krzyżowa oraz gotowy wzór opisu APA.
Czytaj →PoradnikANOVA krok po kroku
Jednoczynnikowa i dwuczynnikowa ANOVA na przykładach: założenia, test Welcha, post hoc, η² i ω², efekty proste, typy sum kwadratów i opis APA.
Czytaj →Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?
Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.
Wyceń analizęOferta dla studentówBibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)
- Searle, S. R., Speed, F. M., & Milliken, G. A. (1980). Population marginal means in the linear model: An alternative to least squares means. The American Statistician, 34(4), 216–221. https://doi.org/10.1080/00031305.1980.10483031
- Smith, C. E., & Cribbie, R. (2014). Factorial ANOVA with unbalanced data: A fresh look at the types of sums of squares. Journal of Data Science, 12(3), 385–404. https://doi.org/10.6339/JDS.201407_12(3).0001 ● Otwarty dostęp
Cytowania BibTeX
@article{searle1980population, author={Searle, S. R. and Speed, F. M. and Milliken, G. A.}, title={{Population marginal means in the linear model: An alternative to least squares means}}, journal={The American Statistician}, year={1980}, volume={34}, number={4}, pages={216--221}, doi={10.1080/00031305.1980.10483031}}@article{smith2014factorial, author={Smith, Carrie E. and Cribbie, Robert}, title={{Factorial ANOVA with unbalanced data: A fresh look at the types of sums of squares}}, journal={Journal of Data Science}, year={2014}, volume={12}, number={3}, pages={385--404}, doi={10.6339/jds.201407_12(3).0001}}