Regresja ujemna dwumianowa – model dla nadmiernie rozproszonych zliczeń

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 26 października 2026

Co to jest regresja ujemna dwumianowa?

Regresja ujemna dwumianowa (ang. negative binomial regression, NB) to model dla zliczeń, takich jak liczba wizyt, napadów czy wypitych drinków. W odróżnieniu od regresji Poissona dopuszcza wariancję większą od średniej. Gardner, Mulvey i Shaw (1995) pokazują, że przy takich nadmiernie rozproszonych danych model Poissona wprowadza w błąd, i porównują go z modelem ujemnym dwumianowym. Zeileis, Kleiber i Jackman (2008) opisują oba modele jako uogólnione modele liniowe w R.

Model

μ to oczekiwana liczba zdarzeń, a θ – parametr rozproszenia szacowany metodą największej wiarygodności. Im mniejsze θ, tym większe rozproszenie. Gdy θ rośnie do nieskończoności, model przechodzi w regresję Poissona. Część programów podaje odwrotność, α = 1/θ. exp(b) to iloraz częstości (IRR), interpretowany tak samo jak w modelu Poissona.

Przykład

W danych symulowanych 250 osób podało liczbę wizyt u lekarza w ciągu roku (M = 4.06, wariancja = 21.86), a predyktorem był lęk o zdrowie (wynik z). W modelu Poissona współczynnik rozproszenia (suma kwadratów reszt Pearsona podzielona przez df) wyniósł 4.08. Oba modele dają podobny współczynnik (0.42 i 0.44), ale błąd standardowy w NB jest dwa razy większy (0.061 zamiast 0.031). Model NB, z θ = 1.54, pasuje znacznie lepiej: AIC = 1215 wobec 1538. Test ilorazu wiarygodności daje χ² = 325.00, p < .001. IRR = 1.56, 95% CI [1.38, 1.76].

Jak opisać w pracy

Na co uważać

• Oceniaj rozproszenie po uwzględnieniu predyktorów. Wariancja surowych danych większa od średniej to dopiero sygnał. Rozstrzygają reszty modelu Poissona.
• Test Poisson kontra NB jest testem na granicy. Model Poissona odpowiada granicznej wartości parametru (α = 1/θ = 0), dlatego p z testu ilorazu wiarygodności dzieli się zwykle przez 2.
• Dużo zer to jeszcze nie nadmiar zer. Najpierw sprawdź, ile zer przewiduje NB. Dopiero gdy wyraźnie za mało, rozważ model z nadmiarem zer. Coxe, West i Aiken (2009) omawiają NB obok takich modeli.

Model NB ma też wersję wielopoziomową (GLMM). Porównanie modeli dla zliczeń na jednym przykładzie znajdziesz we wpisie Regresja dla zliczeń.

# Regresja ujemna dwumianowa a regresja Poissona (dane symulowane)
library(MASS)
set.seed(185)
n <- 250
lek <- rnorm(n)                                    # lęk o zdrowie (wynik z)
mu <- exp(1.2 + 0.35 * lek)
wizyty <- rnbinom(n, mu = mu, size = 1.5)          # liczba wizyt u lekarza w ciągu roku
round(c(M = mean(wizyty), wariancja = var(wizyty), zera = mean(wizyty == 0)), 2)
m_p  <- glm(wizyty ~ lek, family = poisson)
m_nb <- glm.nb(wizyty ~ lek)
round(c(rozproszenie = sum(residuals(m_p, type = "pearson")^2) / df.residual(m_p)), 2)
round(rbind(Poisson = summary(m_p)$coefficients[2, 1:2],
            NB = summary(m_nb)$coefficients[2, 1:2]), 3)
round(c(theta = m_nb$theta, SE = m_nb$SE.theta), 2)
round(exp(c(IRR = coef(m_nb)[2], confint.default(m_nb)[2, ])), 2)   # IRR z 95% CI (Wald)
summary(m_nb)$coefficients[2, 4]
lr <- 2 * (as.numeric(logLik(m_nb)) - as.numeric(logLik(m_p)))
round(c(LR = lr, p = pchisq(lr, 1, lower.tail = FALSE) / 2), 3)     # test na granicy: p / 2
round(c(AIC_Poisson = AIC(m_p), AIC_NB = AIC(m_nb)), 1)

        M wariancja      zera 
     4.06     21.86      0.16 
rozproszenie 
        4.08 
        Estimate Std. Error
Poisson    0.424      0.031
NB         0.443      0.061
theta    SE 
 1.54  0.21 
IRR.lek   2.5 %  97.5 % 
   1.56    1.38    1.76 
[1] 4.796508e-13
     LR       p 
324.999   0.000 
AIC_Poisson      AIC_NB 
       1538        1215 

Najczęstsze pytania

Jak interpretować parametr θ w regresji ujemnej dwumianowej?

θ opisuje rozproszenie: wariancja wynosi μ + μ²/θ. Małe θ oznacza silne nadmierne rozproszenie, a bardzo duże – dane bliskie rozkładowi Poissona. Niektóre programy podają odwrotność, α = 1/θ.

Czy regresja ujemna dwumianowa pomoże, gdy wariancja jest mniejsza od średniej?

Nie. Model NB opisuje tylko nadmierne rozproszenie. Przy braku rozproszenia θ rośnie, a wyniki zbliżają się do regresji Poissona; przy niedorozproszeniu potrzebny jest inny model.

Jak zrobić regresję ujemną dwumianową w R?

Użyj funkcji glm.nb() z pakietu MASS, np. glm.nb(wizyty ~ lek). Współczynniki przelicz na IRR funkcją exp(), a dopasowanie porównaj z modelem Poissona przez AIC lub test ilorazu wiarygodności.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{coxe2009analysis, author={Coxe, Stefany and West, Stephen G. and Aiken, Leona S.}, title={{The analysis of count data: A gentle introduction to Poisson regression and its alternatives}}, journal={Journal of Personality Assessment}, year={2009}, volume={91}, number={2}, pages={121--136}, doi={10.1080/00223890802634175}}

@article{gardner1995regression, author={Gardner, William and Mulvey, Edward P. and Shaw, Esther C.}, title={{Regression analyses of counts and rates: Poisson, overdispersed Poisson, and negative binomial models}}, journal={Psychological Bulletin}, year={1995}, volume={118}, number={3}, pages={392--404}, doi={10.1037/0033-2909.118.3.392}}

@article{zeileis2008regression, author={Zeileis, Achim and Kleiber, Christian and Jackman, Simon}, title={{Regression models for count data in R}}, journal={Journal of Statistical Software}, year={2008}, volume={27}, number={8}, pages={1--25}, doi={10.18637/jss.v027.i08}}