Model z nadmiarem zer (zero-inflated) – ZIP i ZINB

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 26 października 2026

Co to jest model z nadmiarem zer?

Model z nadmiarem zer (ang. zero-inflated model) to model dla zliczeń, w którym zera mają dwa źródła. Część osób w ogóle nie może mieć zdarzenia (zera strukturalne), a reszta mogła je mieć, ale w danym okresie go nie miała. Lambert (1992) opisała regresję ZIP: z prawdopodobieństwem π obserwuje się wyłącznie zero, a z prawdopodobieństwem 1 − π – wartość z rozkładu Poissona. Oba parametry mogą zależeć od predyktorów. Wersja ZINB zamiast Poissona używa rozkładu ujemnego dwumianowego.

Model

f to rozkład Poissona lub ujemny dwumianowy. Model ma dwie części: logistyczną dla π (kto należy do grupy „zawsze zero”) i część zliczeń z logarytmiczną funkcją wiążącą (IRR). Model hurdle działa inaczej: jedna część opisuje wszystkie zera, a druga tylko wartości dodatnie. Oba podejścia, też wielopoziomowo, omawiają Atkins i in. (2013).

Przykład

400 studentów podało liczbę drinków wypitych w weekend; część nie pije alkoholu (dane symulowane). Zer jest 188. Regresja Poissona przewiduje ich 58.7, model NB – 171.5, ZIP – 186.5, a ZINB – 186.2. AIC wynosi odpowiednio 2162.7, 1564.1, 1584.5 i 1514.6. ZIP odtwarza zera, ale nie rozproszenie wśród pijących; najlepszy jest ZINB. Szacowany odsetek zer strukturalnych to π = .40, 95% CI [.34, .46], a w części zliczeń IRR dla impulsywności = 1.58, 95% CI [1.42, 1.77].

Jak opisać w pracy

Na co uważać

• Dużo zer to jeszcze nie nadmiar. Porównaj liczbę zer z przewidywaną przez Poissona i NB. W przykładzie NB był już blisko.
• Uzasadnij zera strukturalne. Jeśli nie wiadomo, kto „nie może” mieć zdarzenia, rozważ model hurdle.
• Czytaj dwie części osobno. Dodatni współczynnik w części zerowej zwiększa szansę bycia zerem strukturalnym, czyli oznacza mniej zdarzeń.

W R oba modele dopasujesz funkcją zeroinfl() z pakietu pscl (Zeileis i in., 2008), dane powtarzane – w GLMM. Porównanie modeli opisuje wpis Regresja dla zliczeń.

# Model z nadmiarem zer (ZIP, ZINB) liczony przez optim (dane symulowane)
library(MASS)
set.seed(186)
n <- 400
impuls <- rnorm(n)                                 # impulsywność (wynik z)
abstynent <- rbinom(n, 1, 0.35)                    # zera strukturalne: osoby niepijące
drinki <- ifelse(abstynent == 1, 0, rnbinom(n, mu = exp(1.3 + 0.4 * impuls), size = 3))
round(c(zera_obs = sum(drinki == 0), M = mean(drinki), wariancja = var(drinki)), 2)
X <- cbind(1, impuls)
nll_zi <- function(th, nb) {                       # th: b0, b1, logit(pi) [, log(theta)]
  mu <- exp(X %*% th[1:2]); pi0 <- plogis(th[3])
  f <- if (nb) dnbinom(drinki, mu = mu, size = exp(th[4])) else dpois(drinki, mu)
  f0 <- if (nb) dnbinom(0, mu = mu, size = exp(th[4])) else dpois(0, mu)
  -sum(log(ifelse(drinki == 0, pi0 + (1 - pi0) * f0, (1 - pi0) * f)))
}
zip  <- optim(c(1, 0, 0), nll_zi, nb = FALSE, method = "BFGS", hessian = TRUE)
zinb <- optim(c(1, 0, 0, 0), nll_zi, nb = TRUE, method = "BFGS", hessian = TRUE)
m_p <- glm(drinki ~ impuls, family = poisson); m_nb <- glm.nb(drinki ~ impuls)
zera_ocz <- function(mu, pi0 = 0, size = NULL)
  sum(pi0 + (1 - pi0) * (if (is.null(size)) dpois(0, mu) else dnbinom(0, mu = mu, size = size)))
mu_zip <- exp(X %*% zip$par[1:2]); mu_zinb <- exp(X %*% zinb$par[1:2])
round(c(Poisson = zera_ocz(fitted(m_p)), NB = zera_ocz(fitted(m_nb), size = m_nb$theta),
        ZIP = zera_ocz(mu_zip, plogis(zip$par[3])),
        ZINB = zera_ocz(mu_zinb, plogis(zinb$par[3]), exp(zinb$par[4]))), 1)
round(c(AIC_Poisson = AIC(m_p), AIC_NB = AIC(m_nb),
        AIC_ZIP = 2 * zip$value + 2 * 3, AIC_ZINB = 2 * zinb$value + 2 * 4), 1)
se <- sqrt(diag(solve(zinb$hessian)))
round(c(pi = plogis(zinb$par[3]), pi_dolna = plogis(zinb$par[3] - 1.96 * se[3]),
        pi_gorna = plogis(zinb$par[3] + 1.96 * se[3])), 2)          # odsetek zer strukturalnych
round(exp(c(IRR = zinb$par[2], dolna = zinb$par[2] - 1.96 * se[2],
            gorna = zinb$par[2] + 1.96 * se[2])), 2)                # IRR w części zliczeń
c(zip$convergence, zinb$convergence)

 zera_obs         M wariancja 
   188.00      2.44     11.56 
Poisson      NB     ZIP    ZINB 
   58.7   171.5   186.5   186.2 
AIC_Poisson      AIC_NB     AIC_ZIP    AIC_ZINB 
     2162.7      1564.1      1584.5      1514.6 
      pi pi_dolna pi_gorna 
    0.40     0.34     0.46 
  IRR dolna gorna 
 1.58  1.42  1.77 
[1] 0 0

Najczęstsze pytania

Czym model z nadmiarem zer różni się od modelu hurdle?

W modelu z nadmiarem zer zera pochodzą z dwóch procesów: strukturalnego i przypadkowego. W modelu hurdle wszystkie zera opisuje jedna część, a druga modeluje tylko wartości dodatnie.

Kiedy wybrać ZINB zamiast ZIP?

Gdy wśród osób, które mogą mieć zdarzenie, wariancja zliczeń przekracza średnią. Porównaj modele przez AIC; w przykładzie ZIP odtworzył liczbę zer, ale ZINB miał wyraźnie niższe AIC.

Jak interpretować część zerową modelu zero-inflated?

To regresja logistyczna dla przynależności do grupy „zawsze zero”. Dodatni współczynnik zwiększa szansę, że osoba jest zerem strukturalnym, czyli oznacza mniej zdarzeń, odwrotnie niż w części zliczeń.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{atkins2013tutorial, author={Atkins, David C. and Baldwin, Scott A. and Zheng, Cheng and Gallop, Robert J. and Neighbors, Clayton}, title={{A tutorial on count regression and zero-altered count models for longitudinal substance use data}}, journal={Psychology of Addictive Behaviors}, year={2013}, volume={27}, number={1}, pages={166--177}, doi={10.1037/a0029508}}

@article{lambert1992zero, author={Lambert, Diane}, title={{Zero-inflated Poisson regression, with an application to defects in manufacturing}}, journal={Technometrics}, year={1992}, volume={34}, number={1}, pages={1--14}, doi={10.2307/1269547}}

@article{zeileis2008regression, author={Zeileis, Achim and Kleiber, Christian and Jackman, Simon}, title={{Regression models for count data in R}}, journal={Journal of Statistical Software}, year={2008}, volume={27}, number={8}, pages={1--25}, doi={10.18637/jss.v027.i08}}