Metoda delta – jak policzyć błąd standardowy ilorazu szans i innych funkcji?

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 28 października 2026 · Aktualizacja: 27 października 2026

Co to jest metoda delta?

Metoda delta (ang. delta method) to sposób przybliżania błędu standardowego funkcji oszacowania. Model podaje SE współczynnika b, a w pracy raportujesz często coś innego: iloraz szans exp(b), prawdopodobieństwo, iloraz dwóch średnich albo efekt pośredni ab. Metoda delta zastępuje funkcję prostą styczną (rozwinięcie Taylora pierwszego rzędu) i przenosi na nią niepewność oszacowania. Oehlert (1992) opisuje ją jako intuicyjną technikę przybliżania momentów funkcji zmiennych losowych i omawia warunki, w których przybliżenie jest trafne. Ver Hoef (2012) przedstawia trzy współczesne wersje metody i jej mało znaną historię.

Wzór i zastosowania

Dla jednego parametru: SE[g(θ̂)] ≈ |g′(θ̂)| · SE(θ̂). Dla kilku parametrów wariancję liczy się z wektora pochodnych cząstkowych i macierzy kowariancji oszacowań. Typowe zastosowania:

• iloraz szans: g(b) = exp(b), więc SE(OR) = OR · SE(b);
• test Sobela: SE iloczynu ab w mediacji;
• średnie brzegowe z pakietu emmeans z type = "response": SE przeliczone na skalę prawdopodobieństw metodą delta, a przedziały – z przekształcenia granic.

Przykład

Spośród 150 studentów (dane symulowane) egzamin zdało 43 z 75 osób po kursie przygotowawczym i 30 z 75 bez kursu. W regresji logistycznej b = 0.701, SE = 0.332, p = .035, więc OR = 2.016, a metoda delta daje SE(OR) = 0.669. Przedział symetryczny OR ± 1.96 · SE wynosi [0.705, 3.326] i obejmuje 1, choć test jest istotny. Przedział z logitów, exp(b ± 1.96 · SE), to [1.052, 3.862]. Bootstrapowy SE ilorazu szans wyniósł 0.778, więcej niż przybliżenie delta.

Jak opisać w pracy

Na co uważać

• Nie buduj przedziału OR ± 1.96 · SE. Rozkład OR jest prawostronnie skośny; liczy się przedział ufności na skali logitów.
• Przybliżenie zawodzi przy małych próbach i silnie nieliniowych funkcjach. Porównaj wynik z bootstrapem.
• Efekt pośredni testuj bootstrapem, a nie testem Sobela.

Interpretację ilorazów szans w pełnym modelu opisuje wpis regresja logistyczna – założenia i interpretacja.

set.seed(2966)
trening <- rep(0:1, each = 75)                      # kurs przygotowawczy: 0 = nie, 1 = tak (dane symulowane)
zdal <- rbinom(150, 1, plogis(-0.4 + 0.9 * trening))
m <- glm(zdal ~ trening, family = binomial)
b <- unname(coef(m)["trening"]); se_b <- sqrt(vcov(m)["trening", "trening"])
OR <- exp(b)
se_OR <- OR * se_b                                  # metoda delta: g'(b) = exp(b)
round(c(b = b, SE_b = se_b, p = summary(m)$coefficients["trening", 4]), 3)
round(c(OR = OR, SE_OR = se_OR), 3)
round(c(OR - 1.96 * se_OR, OR + 1.96 * se_OR), 3)   # przedział symetryczny na skali OR
round(exp(b + c(-1.96, 1.96) * se_b), 3)            # przedział z logitów, potem exp()
boot <- replicate(2000, {i <- sample(150, replace = TRUE)
  exp(coef(glm(zdal[i] ~ trening[i], family = binomial))[2])})
round(sd(boot), 3)                                  # bootstrapowy SE ilorazu szans

    b  SE_b     p 
0.701 0.332 0.035 
   OR SE_OR 
2.016 0.669 
[1] 0.705 3.326
[1] 1.052 3.862
[1] 0.778

Najczęstsze pytania

Jak metodą delta policzyć błąd standardowy ilorazu szans?

Pomnóż iloraz szans przez błąd standardowy współczynnika logitowego: SE(OR) = exp(b)·SE(b). Przedział ufności dla OR wyznacz jednak jako exp(b ± 1.96·SE(b)).

Kiedy metoda delta jest niedokładna?

Gdy funkcja jest silnie nieliniowa w zakresie niepewności oszacowania, np. przy małych próbach, dużych współczynnikach albo ilorazach z mianownikiem bliskim zera. Wtedy porównaj wynik z bootstrapem.

Co ma wspólnego metoda delta z testem Sobela?

Test Sobela dzieli efekt pośredni ab przez błąd standardowy obliczony metodą delta pierwszego rzędu. Zakłada przy tym normalny rozkład ab, który zwykle jest asymetryczny.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{oehlert1992note, author={Oehlert, Gary W.}, title={{A note on the delta method}}, journal={The American Statistician}, year={1992}, volume={46}, number={1}, pages={27--29}, doi={10.1080/00031305.1992.10475842}}

@article{verhoef2012who, author={Ver Hoef, Jay M.}, title={{Who invented the delta method?}}, journal={The American Statistician}, year={2012}, volume={66}, number={2}, pages={124--127}, doi={10.1080/00031305.2012.687494}}