IRT w R krok po kroku: analiza testu i skali Likerta w pakiecie mirt

Autor: Konrad Hryniewicz · Opublikowano i zaktualizowano: 6 października 2026

Przygotowanie: pakiety i dane

Do analiz IRT w R najczęściej używa się pakietu mirt (Chalmers, 2012). Korzystają z niego m.in. tutoriale Zein i Akhtar (2025) oraz Lalot i współpracowników (2025). Dane powinny mieć postać macierzy odpowiedzi: jeden wiersz to jedna osoba, jedna kolumna to jedna pozycja; odpowiedzi koduje się jako 0/1 albo kolejne kategorie, a braki jako NA (Chalmers, 2012). Przed kalibracją sprawdź liczebności kategorii. Kategorie wybierane przez mniej niż 1% osób warto połączyć z sąsiednimi, bo prowadzą do niestabilnych oszacowań; orientacyjnie przydaje się 10–15 obserwacji na kategorię (Immekus i in., 2019; Toland, 2014).

W przykładach używam dwóch zbiorów dostępnych w pakiecie mirt:

• LSAT7 — 5 zadań ocenianych 0/1, 1000 osób;
• Science — 4 pozycje o postawach wobec nauki w skali od 1 do 4, 392 osoby.

Krok 1. Klasyczna analiza pozycji

Zacznij od statystyk klasycznych: trudności p (odsetek poprawnych odpowiedzi), korelacji pozycji z wynikiem pozostałych pozycji (r_it) i alfy Cronbacha. To punkt odniesienia dla IRT.

Alfa Cronbacha wynosi 0,45 — test jest krótki i łatwy. Klasyczna analiza mówi „rzetelność niska”, ale nie mówi, dla kogo.

Krok 2. Model Rascha czy 2PL?

Porównujemy model Rascha (wspólna dyskryminacja) z modelem 2PL (różne dyskryminacje). Test ilorazu wiarygodności wskazuje na 2PL: χ²(4) = 12,19, p = 0,016. Podobnie AIC (5337,6 wobec 5341,8). BIC preferuje natomiast model Rascha (5371,2 wobec 5386,7), bo mocniej karze za dodatkowe parametry. Gdy kryteria się rozchodzą, decyzję warto oprzeć na teorii i celu narzędzia; tu wybieram 2PL, bo dyskryminacje wyraźnie się różnią (Toland, 2014).

Krok 3. Parametry pozycji

Kategorie dyskryminacji według progów Bakera: poniżej 0,35 bardzo niska, 0,35–0,64 niska, 0,65–1,34 umiarkowana, 1,35–1,69 wysoka, od 1,70 bardzo wysoka (za: Zein i Akhtar, 2025).

Wszystkie trudności są ujemne, więc test najlepiej różnicuje osoby poniżej średniej. Zadanie 3 najsilniej odróżnia osoby słabsze od mocniejszych, a zadanie 5 jest tak łatwe, że rozwiązuje je 84% badanych.

Krok 4. Dopasowanie modelu, pozycji i zależność lokalna

Dopasowanie globalne ocenia się statystyką M2 i pochodnymi wskaźnikami. Tu M2(5) = 11,94, p = 0,036, RMSEA = 0,037 (90% CI: 0,009–0,065), SRMSR = 0,032, CFI = 0,968. Przy kryteriach RMSEA ≤ 0,05 i SRMSR ≤ 0,05 dopasowanie jest dobre (Zein i Akhtar, 2025; Bean i Bowen, 2021). Istotna statystyka χ² przy dużej próbie nie przekreśla modelu — ważniejsza jest wielkość niedopasowania.

Dopasowanie pozycji sprawdza statystyka S-X². Przy wielu testach i dużej próbie warto stosować poziom α = 0,01 (Toland, 2014). Tu tylko zadanie 2 wyraźnie odstaje: S-X²(2) = 14,45, p = 0,001, RMSEA = 0,079. To sygnał do przejrzenia treści zadania i jego krzywej empirycznej, a nie automatycznego usunięcia.

Zależność lokalną ocenia statystyka Q3, czyli korelacja reszt dla par pozycji. W krótkich testach Q3 jest systematycznie ujemne, dlatego lepiej porównywać wartości ze średnią: niepokojące są pary o około 0,2 wyższe od średniego Q3 (Xiong i in., 2026). Tu średnie Q3 wynosi −0,11, a maksimum 0,01 — brak oznak zależności lokalnej.

Krok 5. Informacja, błąd standardowy i rzetelność

Informacja jest największa przy θ ≈ −1, a dla osób o wysokiej zdolności test prawie nic nie mówi. Rzetelność marginalna (0,44) jest zbliżona do alfy (0,45), ale ukrywa tę różnicę. Wniosek dla twórcy testu: trzeba dodać trudniejsze zadania. Takie decyzje lepiej podejmować na podstawie funkcji informacji niż na podstawie samej alfy (Toland, 2014).

Krok 6. Wyniki osób: θ zamiast sumy punktów

Oceny θ najczęściej szacuje się metodą EAP (średnia rozkładu a posteriori), która daje wynik i jego błąd standardowy dla każdej osoby (Lalot i in., 2025). Ten sam wynik sumaryczny może jednak dawać różne θ:

Osoba, która rozwiązała zadanie 3 (najwyższa dyskryminacja), dostaje wyższe θ niż osoba, która rozwiązała dwa najłatwiejsze i słabo różnicujące zadania. Jeśli wolisz przeliczać same sumy punktów, mirt zwraca tabelę przeliczeń sumy na θ (metoda EAPsum): 0 punktów to θ = −1,87, 3 punkty to −0,41, a 5 punktów to 0,73.

Skala Likerta: model odpowiedzi stopniowanych (GRM)

Dla pozycji porządkowych standardem jest GRM (Zein i Akhtar, 2025). Zanim go dopasujesz, sprawdź wymiarowość, np. analizą równoległą. W skalach z mniej niż 8 kategoriami odpowiedzi wykonuje się ją na korelacjach polichorycznych (Zein i Akhtar, 2025). W zbiorze Science analiza równoległa sugeruje 2 czynniki — do tego jeszcze wrócimy.

GRM pasuje do tych danych lepiej niż uogólniony model częściowego zaliczenia (GPCM): AIC 3249,7 wobec 3257,4 i BIC 3313,3 wobec 3320,9. Modele nie są zagnieżdżone, więc porównujemy je kryteriami informacyjnymi.

Pozycja Future ma bardzo wysoką dyskryminację i dostarcza najwięcej informacji. Próg b₁ = −4,67 pozycji Comfort oznacza z kolei, że najniższą kategorię wybierają niemal wyłącznie osoby o skrajnie niskim poziomie cechy. Progi wykraczające poza ±3 są rzadkie i mogą wskazywać na zbędną kategorię odpowiedzi (Toland, 2014).

Teraz dopasowanie. Wszystkie pozycje dobrze pasują według S-X² (p od 0,46 do 0,57), ale dopasowanie globalne jest słabe: M2(2) = 19,18, p < 0,001, RMSEA = 0,148, SRMSR = 0,073, CFI = 0,91. Razem z wynikiem analizy równoległej to wyraźny sygnał, że jedna cecha nie wyjaśnia wszystkich zależności między pozycjami. Tak właśnie zalecają postępować Zein i Akhtar (2025): oceniaj dopasowanie fragmentami i nie interpretuj parametrów, dopóki nie znajdziesz źródła niedopasowania. W praktyce rozważa się przeformułowanie pozycji, model wielowymiarowy albo bifaktorowy. Rzetelność marginalna wynosi 0,67, a błąd standardowy mieści się w przedziale 0,65–0,74 dla θ od −2 do 1.

Porównanie z CFA. Kategorialna CFA (estymator WLSMV) daje ładunki 0,52, 0,53, 0,78 i 0,53. Po przeliczeniu wzorem a = 1,702 · λ / √(1 − λ²) (Takane i de Leeuw, 1987) otrzymujemy dyskryminacje 1,02, 1,05, 2,10 i 1,07, bardzo bliskie oszacowaniom GRM (1,04, 1,23, 2,29, 1,09). CFA również słabo pasuje (RMSEA = 0,164), więc oba podejścia prowadzą do tego samego wniosku o strukturze (Bean i Bowen, 2021).

Analiza DIF: czy pozycje działają tak samo w grupach?

Zróżnicowane funkcjonowanie pozycji (differential item functioning, DIF) oznacza, że osoby o tym samym poziomie cechy, ale z różnych grup, mają różne prawdopodobieństwo odpowiedzi. Taka pozycja zniekształca porównania grup. Aby pokazać procedurę na znanym wyniku, symuluję dwie grupy po 600 osób, w których zadanie 4 jest trudniejsze o 0,6 w grupie B. Model wielogrupowy zakłada najpierw pełną niezmienność parametrów zadań, a następnie kolejno je uwalnia.

Test wskazał wyłącznie zadanie 4: χ²(2) = 23,41, p < 0,001 po korekcie Holma. Dla pozostałych zadań p ≥ 0,26. W prawdziwych danych pozycję z DIF przegląda się merytorycznie, a porównania grup opiera na pozycjach niezmienniczych (Bean i Bowen, 2021).

Jak opisać analizę IRT w pracy?

library(mirt)
library(psych)

dane <- expand.table(LSAT7)   # 1000 osób × 5 zadań (0 = błąd, 1 = poprawnie)

# 1. Klasyczna analiza pozycji (KTT)
round(colMeans(dane), 3)                                  # trudność p
round(sapply(seq_len(ncol(dane)), function(j)
  cor(dane[, j], rowSums(dane[, -j]))), 3)                # korelacja skorygowana r_it
psych::alpha(dane, warnings = FALSE)$total$raw_alpha      # alfa Cronbacha

# 2. Model Rascha czy 2PL?
m_rasch <- mirt(dane, 1, itemtype = "Rasch", verbose = FALSE)
m_2pl   <- mirt(dane, 1, itemtype = "2PL", verbose = FALSE)
anova(m_rasch, m_2pl)

# 3. Parametry: a (dyskryminacja) i b (trudność)
coef(m_2pl, IRTpars = TRUE, simplify = TRUE)$items

# 4. Dopasowanie modelu, pozycji i zależność lokalna
M2(m_2pl)
itemfit(m_2pl)
residuals(m_2pl, type = "Q3")

# 5. Informacja, błąd standardowy i rzetelność
theta <- matrix(seq(-3, 3, by = 1))
info  <- testinfo(m_2pl, theta)
round(cbind(theta, info, SE = 1 / sqrt(info)), 3)
marginal_rxx(m_2pl)
plot(m_2pl, type = "trace")    # krzywe charakterystyczne zadań
plot(m_2pl, type = "info")     # funkcja informacji testu
plot(m_2pl, type = "SE")       # błąd standardowy w zależności od theta

# 6. Wyniki osób: EAP i tabela przeliczeń wyniku sumarycznego
oceny <- fscores(m_2pl, method = "EAP", full.scores.SE = TRUE)
wzorce <- rbind(c(1, 1, 1, 0, 0), c(0, 1, 0, 1, 1))
colnames(wzorce) <- colnames(dane)
fscores(m_2pl, response.pattern = wzorce, method = "EAP")
fscores(m_2pl, method = "EAPsum", full.scores = FALSE)

library(mirt)
library(psych)
library(lavaan)

dane2 <- Science   # 392 osoby × 4 pozycje w skali 1–4

# 1. Wymiarowość: analiza równoległa na korelacjach polichorycznych
fa.parallel(dane2, fm = "minres", fa = "fa", cor = "poly")

# 2. Model odpowiedzi stopniowanych (GRM) i porównanie z GPCM
grm  <- mirt(dane2, 1, itemtype = "graded", verbose = FALSE)
gpcm <- mirt(dane2, 1, itemtype = "gpcm", verbose = FALSE)
anova(grm, gpcm)                      # modele nie są zagnieżdżone: porównaj AIC/BIC

coef(grm, IRTpars = TRUE, simplify = TRUE)$items
summary(grm)                          # ładunki czynnikowe i komunalności
M2(grm, type = "C2")                  # dopasowanie globalne dla danych porządkowych
itemfit(grm)                          # S-X2 dla pozycji
residuals(grm, type = "Q3")           # zależność lokalna
marginal_rxx(grm)
itemplot(grm, item = "Future", type = "trace")
plot(grm, type = "infotrace", facet_items = TRUE)

# 3. CFA kategorialna i przeliczenie ładunków na dyskryminacje IRT
cfa_mod <- cfa("F =~ Comfort + Work + Future + Benefit", data = dane2,
               ordered = names(dane2), std.lv = TRUE, estimator = "WLSMV")
lam <- subset(standardizedSolution(cfa_mod), op == "=~")$est.std
round(1.702 * lam / sqrt(1 - lam^2), 3)

library(mirt)
set.seed(2027)

# Dane symulowane: 2 grupy po 600 osób, 10 zadań 2PL;
# zadanie 4 jest w grupie B trudniejsze o 0,6 (zaplanowany DIF)
a  <- c(1.2, 0.9, 1.5, 1.3, 1.1, 1.7, 0.8, 1.4, 1.0, 1.6)
b  <- seq(-1.5, 1.5, length.out = 10)
bB <- b; bB[4] <- b[4] + 0.6
dA <- simdata(a = a, d = matrix(-a * b),  N = 600, itemtype = "dich")
dB <- simdata(a = a, d = matrix(-a * bB), N = 600, itemtype = "dich", mu = 0.3)
dane  <- rbind(dA, dB)
grupa <- rep(c("A", "B"), each = 600)

# Model wielogrupowy z pełną niezmiennością parametrów zadań
mg <- multipleGroup(dane, 1, group = grupa,
                    invariance = c("slopes", "intercepts", "free_means", "free_var"),
                    verbose = FALSE)
# Test DIF: uwalnianie parametrów a i d kolejnych zadań
DIF(mg, which.par = c("a1", "d"), scheme = "drop", p.adjust = "holm", verbose = FALSE)

Najczęstsze pytania

Jaki pakiet R wybrać do analizy IRT?

Najbardziej wszechstronny jest pakiet mirt: obsługuje modele Rascha, 2PL, 3PL, GRM, GPCM, modele wielowymiarowe i wielogrupowe oraz analizę DIF. Do modeli z rodziny Rascha często stosuje się też TAM i eRm.

Dlaczego dyskryminacje z mirt różnią się od wartości z innych programów?

Najczęściej z powodu metryki: mirt podaje parametry w metryce logistycznej bez stałej D = 1,7, a część programów i starszych publikacji używa metryki normalnej. Wartości różnią się wtedy mniej więcej o czynnik 1,7.

Co zrobić, gdy model IRT słabo pasuje do danych?

Najpierw ocenić dopasowanie fragmentami: pozycje, pary pozycji i wymiarowość. Słabe dopasowanie globalne przy dobrym dopasowaniu pozycji często wskazuje na zależność lokalną lub drugi wymiar. Wtedy rozważa się przeformułowanie pozycji, model wielowymiarowy lub bifaktorowy.

@article{bean2021irtcfa, author={Bean, Gerald J. and Bowen, Natasha K.}, title={Item response theory and confirmatory factor analysis: Complementary approaches for scale development}, journal={Journal of Evidence-Based Social Work}, year={2021}, volume={18}, number={6}, pages={597--618}, doi={10.1080/26408066.2021.1906813}}

@article{chalmers2012mirt, author={Chalmers, R. Philip}, title={mirt: A multidimensional item response theory package for the R environment}, journal={Journal of Statistical Software}, year={2012}, volume={48}, number={6}, pages={1--29}, doi={10.18637/jss.v048.i06}}

@article{immekus2019mirt, author={Immekus, Jason C. and Snyder, Kate E. and Ralston, Patricia A.}, title={Multidimensional item response theory for factor structure assessment in educational psychology research}, journal={Frontiers in Education}, year={2019}, volume={4}, pages={45}, doi={10.3389/feduc.2019.00045}}

@article{lalot2025environmental, author={Lalot, Fanny and R{\"a}ikk{\"o}nen, Juulia and Ahvenharju, Sanna}, title={An item response theory approach to measurement in environmental psychology: A practical example with environmental risk perception}, journal={Journal of Environmental Psychology}, year={2025}, volume={101}, pages={102520}, doi={10.1016/j.jenvp.2025.102520}}

@article{takane1987relationship, author={Takane, Yoshio and de Leeuw, Jan}, title={On the relationship between item response theory and factor analysis of discretized variables}, journal={Psychometrika}, year={1987}, volume={52}, number={3}, pages={393--408}, doi={10.1007/BF02294363}}

@article{toland2014practical, author={Toland, Michael D.}, title={Practical guide to conducting an item response theory analysis}, journal={The Journal of Early Adolescence}, year={2014}, volume={34}, number={1}, pages={120--151}, doi={10.1177/0272431613511332}}

@article{xiong2026tirt, author={Xiong, Jiawei and Tang, Cheng and Tan, Yanyan and Liu, Qidi}, title={Tirt R package: A tutorial on item response and testlet response theory modeling}, journal={Measurement: Interdisciplinary Research and Perspectives}, year={2026}, note={Advance online publication}, doi={10.1080/15366367.2026.2726362}}

@article{zein2025grm, author={Zein, Rizqy Amelia and Akhtar, Hanif}, title={Getting started with the graded response model: An introduction and tutorial in R}, journal={International Journal of Psychology}, year={2025}, volume={60}, number={1}, pages={e13265}, doi={10.1002/ijop.13265}}