Test Hosmera–Lemeshowa – jak ocenić dopasowanie regresji logistycznej?

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 26 października 2026

Co to jest test Hosmera–Lemeshowa?

Test Hosmera–Lemeshowa (ang. Hosmer–Lemeshow goodness-of-fit test) sprawdza, czy prawdopodobieństwa przewidywane przez regresję logistyczną zgadzają się z odsetkami zdarzeń obserwowanymi w danych. Hosmer i Lemeshow (1980) zaproponowali statystyki oparte na tabeli, w której liczebności oczekiwane wyznacza się po pogrupowaniu obserwacji. Najczęściej używa się wersji z 10 grupami według decyli przewidywanego prawdopodobieństwa. Hipoteza zerowa mówi, że model jest dobrze dopasowany, więc wynik nieistotny oznacza tylko brak dowodów złego dopasowania.

Jak liczyć?

O_g to liczba zdarzeń w grupie g, E_g – suma przewidywanych prawdopodobieństw w tej grupie, a n_g – jej liczebność. Statystykę porównuje się z rozkładem χ².

Przykład

W danych symulowanych rezygnacja z egzaminu zależy od lęku nieliniowo (osoby z bardzo niskim i bardzo wysokim lękiem rezygnują częściej), a model zawiera tylko liniowy składnik lęku. Przy n = 150 test nie wykrył błędu: χ²(8) = 12.66, p = .124 (przy 8 grupach χ²(6) = 10.47, p = .106). Przy tym samym błędzie i n = 3000 wynik to χ²(8) = 226.22, p < .001. Błąd modelu był ten sam, zmieniła się tylko moc testu.

Jak opisać w pracy

Na co uważać

• Wynik nieistotny nie dowodzi, że model jest dobry. W małej próbie test przeoczy nawet pominiętą nieliniowość, jak w przykładzie. Postać związku sprawdź osobno, np. dodając składnik kwadratowy (regresja krzywoliniowa).
• W dużej próbie test odrzuca model już przy drobnych odchyleniach. Paul, Pennell i Lemeshow (2013) pokazują, że moc rośnie z liczebnością i zależy od liczby grup, i podają zalecenia, jak dobierać liczbę grup do wielkości próby. W pracy podaj, ile grup przyjęto.
• Nie poprzestawaj na jednym p. Steyerberg i in. (2010) zwracają uwagę na ograniczoną moc i słabą interpretowalność tego testu i zalecają, by zawsze raportować kalibrację (np. wykres i nachylenie kalibracji) oraz dyskryminację (AUC).

Test nie mówi też nic o sile związku – do tego służą ilorazy szans i pseudo-R². Ocenę kalibracji w modelu predykcyjnym omawia wpis Modele predykcyjne: walidacja krzyżowa, przeuczenie i kalibracja.

# Test Hosmera–Lemeshowa liczony ręcznie (dane symulowane)
hl_test <- function(y, p, g = 10) {
  grupa <- cut(p, breaks = unique(quantile(p, probs = seq(0, 1, length.out = g + 1))),
               include.lowest = TRUE)
  obs <- tapply(y, grupa, sum); ocz <- tapply(p, grupa, sum); n_g <- tapply(y, grupa, length)
  chi2 <- sum((obs - ocz)^2 / (ocz * (1 - ocz / n_g)))
  df <- nlevels(grupa) - 2
  c(chi2 = round(chi2, 2), df = df, p = round(pchisq(chi2, df, lower.tail = FALSE), 3))
}
symuluj <- function(n, seed) {
  set.seed(seed)
  lek <- rnorm(n)                                  # lęk przed egzaminem (wynik z)
  y <- rbinom(n, 1, plogis(-1 + 0.5 * lek + 0.5 * lek^2))   # 1 = rezygnacja z egzaminu
  m <- glm(y ~ lek, family = binomial)             # model pomija składnik kwadratowy
  list(y = y, p = fitted(m))
}
male <- symuluj(150, 182); duze <- symuluj(3000, 182)
rbind(n150_g10 = hl_test(male$y, male$p, 10),
      n150_g8  = hl_test(male$y, male$p, 8),
      n3000_g10 = hl_test(duze$y, duze$p, 10))

            chi2 df     p
n150_g10   12.66  8 0.124
n150_g8    10.47  6 0.106
n3000_g10 226.22  8 0.000

Najczęstsze pytania

Co oznacza nieistotny wynik testu Hosmera–Lemeshowa?

Brak dowodów na rozbieżność przewidywanych i obserwowanych odsetków. Nie dowodzi, że model jest dobry: w małej próbie test często przeoczy nawet wyraźny błąd specyfikacji.

Ile grup przyjąć w teście Hosmera–Lemeshowa?

Zwykle 10 grup według decyli przewidywanego prawdopodobieństwa. Przy bardzo dużych próbach Paul i in. (2013) zalecają dobierać liczbę grup do liczebności. W pracy zawsze podaj liczbę grup.

Jak zrobić test Hosmera–Lemeshowa w SPSS i R?

W SPSS zaznacz opcję „Hosmer-Lemeshow goodness-of-fit” w oknie Options regresji logistycznej. W R użyj np. funkcji DescTools::HosmerLemeshowTest() albo policz statystykę ręcznie, jak w przykładzie.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{hosmer1980goodness, author={Hosmer, David W. and Lemeshow, Stanley}, title={{Goodness of fit tests for the multiple logistic regression model}}, journal={Communications in Statistics – Theory and Methods}, year={1980}, volume={9}, number={10}, pages={1043--1069}, doi={10.1080/03610928008827941}}

@article{paul2013standardizing, author={Paul, Prabasaj and Pennell, Michael L. and Lemeshow, Stanley}, title={{Standardizing the power of the Hosmer–Lemeshow goodness of fit test in large data sets}}, journal={Statistics in Medicine}, year={2013}, volume={32}, number={1}, pages={67--80}, doi={10.1002/sim.5525}}

@article{steyerberg2010assessing, author={Steyerberg, Ewout W. and Vickers, Andrew J. and Cook, Nancy R. and Gerds, Thomas and Gonen, Mithat and Obuchowski, Nancy and Pencina, Michael J. and Kattan, Michael W.}, title={{Assessing the performance of prediction models: A framework for traditional and novel measures}}, journal={Epidemiology}, year={2010}, volume={21}, number={1}, pages={128--138}, doi={10.1097/ede.0b013e3181c30fb2}}