Test Andersona–Darlinga – test normalności w R

Q: Czy test Andersona–Darlinga jest lepszy od testu Shapiro-Wilka?

Nie ogólnie. W symulacjach Yap i Sim (2011) test Shapiro-Wilka miał największą moc przy rozkładach asymetrycznych, a test Andersona–Darlinga był tuż za nim. Oba są wyraźnie mocniejsze od testu Lillieforsa. Wybierz jeden test przed analizą i dołącz wykres Q-Q.

Q: Dlaczego test Andersona–Darlinga lepiej wykrywa grube ogony?

Statystyka A² dzieli kwadrat różnicy dystrybuant przez F(x)(1 − F(x)), czyli wartość bliską zera w ogonach. Rozbieżność w skrajnych wynikach waży więc dużo, a test Kołmogorowa-Smirnowa patrzy tylko na największą różnicę, zwykle w środku rozkładu.

Q: Czy test Andersona–Darlinga służy tylko do sprawdzania normalności?

Nie. Anderson i Darling (1954) opisali go jako test zgodności z dowolnym rozkładem ciągłym. Gdy parametry rozkładu szacuje się z próby, wartości krytyczne zależą od rozkładu; Stephens (1974) podał je m.in. dla rozkładu normalnego i wykładniczego.

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 29 października 2026

W skrócie: Test Andersona–Darlinga to test zgodności rozkładu z próby z rozkładem teoretycznym, najczęściej normalnym. Statystyka A² sumuje ważone różnice dystrybuant, z dużą wagą dla ogonów, więc test lepiej niż test Lillieforsa wykrywa grube ogony i wartości skrajne.

Co to jest test Andersona–Darlinga?

Test Andersona–Darlinga (ang. Anderson–Darling test) to test zgodności rozkładu z próby z rozkładem teoretycznym, w praktyce najczęściej z rozkładem normalnym. Podobnie jak test Kołmogorowa-Smirnowa porównuje dystrybuantę empiryczną z teoretyczną, ale zamiast największej różnicy sumuje ważone kwadraty różnic w całym zakresie danych. Waga 1 / [F(x)(1 − F(x))] rośnie w ogonach. Anderson i Darling (1954) podkreślali, że test jest czuły na rozbieżności w ogonach rozkładu, a nie w pobliżu mediany.

Jak go czytać

Hipoteza zerowa: dane pochodzą z rozkładu normalnego. Gdy p < .05, odrzucasz normalność.
Statystyka: im większe A², tym gorsze dopasowanie.
Parametry z próby: gdy średnią i SD szacujesz z danych, potrzebne są inne wartości krytyczne niż dla rozkładu w pełni określonego. Stephens (1974) podał je dla rozkładu normalnego i wykładniczego. Funkcja ad.test() z pakietu nortest uwzględnia tę sytuację.
Moc: w symulacjach Yap i Sim (2011) test Andersona–Darlinga ustępował przy rozkładach asymetrycznych tylko testowi Shapiro-Wilka.

Przykład

Wyniki 80 osób pochodziły z rozkładu symetrycznego o grubych ogonach (dane symulowane). Test Andersona–Darlinga: A² = 0.81, p = .035. Test Lillieforsa: D = .075, p = .326 – nie wykrył odstępstwa, bo patrzy głównie na środek rozkładu. Test Shapiro-Wilka: W = .965, p = .029.

Jak opisać w pracy

Normalność rozkładu wyników oceniono testem Andersona–Darlinga, który wskazał odstępstwo od rozkładu normalnego, A² = 0.81, p = .035. Wykres Q-Q pokazał, że odstępstwo dotyczy obu ogonów rozkładu.

Na co uważać

Wielkość próby. Wynik testu zależy od liczebności: w dużej próbie test odrzuci normalność przy drobnych odchyleniach, w małej przeoczy wyraźne. Zawsze dołącz wykres Q-Q.
Kilka testów naraz. Nie wybieraj po fakcie testu, który dał „wygodny” wynik.
Co testujesz. W regresji i ANOVA założenie dotyczy reszt – zob. normalność reszt czy zmiennych.

Całą procedurę oceny rozkładu opisuje wpis jak sprawdzić normalność rozkładu.

Przykład reprodukowalny

Test Andersona–Darlinga w R

Kod liczy test Andersona–Darlinga, test Lillieforsa i test Shapiro-Wilka dla danych o grubych ogonach.

Trzy testy normalności przy grubych ogonach

Dane wejściowe: 80 wyników z przeskalowanego rozkładu t o 4 stopniach swobody, symetrycznego o grubych ogonach (dane symulowane, set.seed(3495)).

Co odczytać: A (statystyka A²) i p-value z testu Andersona–Darlinga oraz D, W i p-value z dwóch pozostałych testów.

library(nortest)
set.seed(3495)
x <- round(50 + 8 * rt(80, df = 4), 1)   # 80 wyników z rozkładu o grubych ogonach (dane symulowane)
ad.test(x)                                # A² i p (Anderson–Darling, parametry z próby)
lillie.test(x)                            # K–S z poprawką Lillieforsa
shapiro.test(x)

Wynik w R

	Anderson-Darling normality test

data:  x
A = 0.80813, p-value = 0.035


	Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test

data:  x
D = 0.074884, p-value = 0.3263


	Shapiro-Wilk normality test

data:  x
W = 0.96548, p-value = 0.02936

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (pakiet nortest). W pracy podaj wersje faktycznie użytych pakietów (sessionInfo()).

R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/
nortest (wersja 1.0.4): Gross, J., & Ligges, U. (2015). nortest: Tests for normality [R package]. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.nortest

Najczęstsze pytania

Czy test Andersona–Darlinga jest lepszy od testu Shapiro-Wilka?

Nie ogólnie. W symulacjach Yap i Sim (2011) test Shapiro-Wilka miał największą moc przy rozkładach asymetrycznych, a test Andersona–Darlinga był tuż za nim. Oba są wyraźnie mocniejsze od testu Lillieforsa. Wybierz jeden test przed analizą i dołącz wykres Q-Q.

Dlaczego test Andersona–Darlinga lepiej wykrywa grube ogony?

Statystyka A² dzieli kwadrat różnicy dystrybuant przez F(x)(1 − F(x)), czyli wartość bliską zera w ogonach. Rozbieżność w skrajnych wynikach waży więc dużo, a test Kołmogorowa-Smirnowa patrzy tylko na największą różnicę, zwykle w środku rozkładu.

Czy test Andersona–Darlinga służy tylko do sprawdzania normalności?

Nie. Anderson i Darling (1954) opisali go jako test zgodności z dowolnym rozkładem ciągłym. Gdy parametry rozkładu szacuje się z próby, wartości krytyczne zależą od rozkładu; Stephens (1974) podał je m.in. dla rozkładu normalnego i wykładniczego.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Jak sprawdzić normalność rozkładu

Co ma być normalne, wykres Q-Q reszt, skośność i kurtoza, granice testu Shapiro-Wilka i sześć strategii na brak normalności – z kodem R, SPSS i opisem APA.

Czytaj →Poradnik

Normalność reszt czy zmiennych?

Dlaczego w regresji i ANOVA sprawdzasz reszty, a nie surową zmienną: przykład w R z dwugarbnym rozkładem, wykres Q-Q reszt i wpływ liczebności próby.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizę Oferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

Anderson, T. W., & Darling, D. A. (1954). A test of goodness of fit. Journal of the American Statistical Association, 49(268), 765–769. https://doi.org/10.1080/01621459.1954.10501232
Stephens, M. A. (1974). EDF statistics for goodness of fit and some comparisons. Journal of the American Statistical Association, 69(347), 730–737. https://doi.org/10.1080/01621459.1974.10480196
Yap, B. W., & Sim, C. H. (2011). Comparisons of various types of normality tests. Journal of Statistical Computation and Simulation, 81(12), 2141–2155. https://doi.org/10.1080/00949655.2010.520163 ● Otwarty dostęp

Cytowania BibTeX

@article{anderson1954test, author={Anderson, T. W. and Darling, D. A.}, title={{A test of goodness of fit}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1954}, volume={49}, number={268}, pages={765--769}, doi={10.1080/01621459.1954.10501232}}

@article{stephens1974edf, author={Stephens, M. A.}, title={{EDF statistics for goodness of fit and some comparisons}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1974}, volume={69}, number={347}, pages={730--737}, doi={10.1080/01621459.1974.10480196}}

@article{yap2011comparisons, author={Yap, B. W. and Sim, C. H.}, title={{Comparisons of various types of normality tests}}, journal={Journal of Statistical Computation and Simulation}, year={2011}, volume={81}, number={12}, pages={2141--2155}, doi={10.1080/00949655.2010.520163}}