Przedział bootstrapowy BCa – wzór i przykład w R

Q: Jak policzyć przedział BCa w R?

W pakiecie boot: b <- boot(dane, statystyka, R = 5000) , a potem boot.ci(b, type = "bca") . Funkcja statystyki musi przyjmować dane i wektor indeksów, np. function(d, i) mean(d[i]) .

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 29 października 2026

W skrócie: Przedział BCa (bias-corrected and accelerated) to bootstrapowy przedział ufności, który zamiast 2.5. i 97.5. centyla bierze centyle przesunięte o korektę obciążenia z₀ i przyspieszenie a. Lepiej niż przedział percentylowy działa przy skośnych rozkładach oszacowań.

Co to jest przedział bootstrapowy BCa?

Przedział BCa (ang. bias-corrected and accelerated, przedział z korektą obciążenia i przyspieszeniem) to przedział ufności z bootstrapu, który poprawia przedział percentylowy dwiema korektami. Efron (1987) zaproponował go jako przedział, który sam uwzględnia transformacje i korekty obciążenia, bez wyprowadzania ich dla każdego zastosowania, i osiąga dokładność drugiego rzędu w wielu problemach.

Jak działa korekta BCa

Przedział percentylowy bierze 2.5. i 97.5. centyl rozkładu oszacowań z prób bootstrapowych. BCa bierze inne centyle:

α₁ = Φ(z₀ + (z₀ + z_α/2) / (1 − a(z₀ + z_α/2))), analogicznie α₂ z z_1−α/2

z₀ – korekta obciążenia: kwantyl rozkładu normalnego odpowiadający odsetkowi oszacowań bootstrapowych mniejszych od oszacowania z próby.
a – przyspieszenie: opisuje, jak szybko błąd standardowy zmienia się wraz z wartością parametru. Zwykle szacuje się je metodą jackknife, ze skośności oszacowań liczonych bez kolejnych obserwacji.

Gdy z₀ = a = 0, BCa sprowadza się do przedziału percentylowego. Obliczenia krok po kroku opisują Efron i Tibshirani (1993).

Przykład

Długość pobytu w szpitalu 30 pacjentów (dane symulowane, rozkład prawoskośny) miała średnią 6.85 dnia (mediana 6.60, SD 4.33). Z 5000 prób bootstrapowych przedział percentylowy wyniósł [5.41, 8.46], a BCa [5.54, 8.68]. Korekty były dodatnie, z₀ = 0.035 i a = 0.033, więc BCa wziął 3.8. i 98.5. centyl. Przedział przesunął się w stronę długiego prawego ogona.

Jak opisać w pracy

Średnia długość pobytu wyniosła 6.85 dnia, 95% CI [5.54, 8.68] (przedział bootstrapowy BCa, 5000 prób, pakiet boot w R).

Na co uważać

Liczba prób. BCa sięga do skrajnych centyli, więc potrzebuje tysięcy prób, nie setek. Gdy skorygowany centyl wypada poza zakres, boot.ci() ostrzega, że granicą jest skrajna statystyka porządkowa.
Niezależne obserwacje. Zwykły bootstrap losuje pojedyncze obserwacje. Przy danych zagnieżdżonych trzeba losować całe skupienia.
Nie naprawia próby. Korekta poprawia kształt przedziału, ale nie usuwa błędu doboru próby ani bardzo małej liczebności.

Przedziały BCa dla efektów pośrednich i parametrów modeli strukturalnych omawia hasło bootstrap w SEM.

Przykład reprodukowalny

Przedział BCa w R

Kod losuje 5000 prób bootstrapowych średniej z prawoskośnych danych, liczy przedział percentylowy i BCa, a potem odtwarza korekty z₀ i a oraz granice BCa ręcznie.

Przedział BCa dla średniej długości pobytu

Dane wejściowe: dane symulowane z set.seed(3850): długość pobytu w szpitalu (dni) 30 pacjentów, rozkład logarytmiczno-normalny.

Co odczytać: granice w kolumnach Percentile i BCa, z0, a oraz skorygowane centyle i granice policzone ręcznie.

suppressPackageStartupMessages(library(boot))
set.seed(3850)
pobyt <- round(rlnorm(30, log(5), 0.8), 1)         # długość pobytu w szpitalu (dni), 30 pacjentów
srednia <- function(d, i) mean(d[i])
b <- boot(pobyt, srednia, R = 5000)                # 5000 prób bootstrapowych
round(c(srednia = mean(pobyt), mediana = median(pobyt), sd = sd(pobyt)), 2)
boot.ci(b, conf = 0.95, type = c("perc", "bca"))   # przedział percentylowy i BCa
z0 <- qnorm(mean(b$t < b$t0))                      # korekta obciążenia
theta_i <- sapply(seq_along(pobyt), function(i) mean(pobyt[-i]))   # jackknife
u <- mean(theta_i) - theta_i
a <- sum(u^3) / (6 * sum(u^2)^1.5)                 # przyspieszenie
round(c(z0 = z0, a = a), 4)
alfa <- pnorm(z0 + (z0 + qnorm(c(.025, .975))) / (1 - a * (z0 + qnorm(c(.025, .975)))))
granice <- quantile(b$t, alfa, names = FALSE)
round(c(centyl_d = alfa[1], centyl_g = alfa[2], dolna = granice[1], gorna = granice[2]), 3)  # BCa ręcznie

Wynik w R

srednia mediana      sd
   6.85    6.60    4.33
BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
Based on 5000 bootstrap replicates

CALL :
boot.ci(boot.out = b, conf = 0.95, type = c("perc", "bca"))

Intervals :
Level     Percentile            BCa
95%   ( 5.413,  8.457 )   ( 5.537,  8.683 )
Calculations and Intervals on Original Scale
    z0      a
0.0346 0.0329
centyl_d centyl_g    dolna    gorna
   0.038    0.985    5.538    8.682

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (pakiet boot). W pracy podaj wersje faktycznie użytych pakietów (sessionInfo()).

R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/
boot (wersja 1.3-32): Canty, A., & Ripley, B. (2025). boot: Bootstrap functions (R package version 1.3-32) [Computer software]. https://doi.org/10.32614/CRAN.package.boot

Najczęstsze pytania

Czym przedział BCa różni się od przedziału percentylowego?

Przedział percentylowy bierze zawsze 2.5. i 97.5. centyl oszacowań bootstrapowych. BCa przesuwa te centyle o korektę obciążenia i przyspieszenie, więc lepiej oddaje skośność i obciążenie statystyki. Gdy obie korekty są równe zeru, przedziały są identyczne.

Ile prób bootstrapowych potrzeba do przedziału BCa?

Kilka tysięcy, na przykład 5000. Granice leżą w ogonach rozkładu bootstrapowego, a skorygowane centyle mogą być bardziej skrajne niż 2.5% i 97.5%, więc przy kilkuset próbach są niestabilne.

Jak policzyć przedział BCa w R?

W pakiecie boot: b <- boot(dane, statystyka, R = 5000), a potem boot.ci(b, type = "bca"). Funkcja statystyki musi przyjmować dane i wektor indeksów, np. function(d, i) mean(d[i]).

Powiązane hasła

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizę Oferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

Efron, B. (1987). Better bootstrap confidence intervals. Journal of the American Statistical Association, 82(397), 171–185. https://doi.org/10.1080/01621459.1987.10478410
Efron, B., & Tibshirani, R. J. (1993). An introduction to the bootstrap. Chapman & Hall.

Cytowania BibTeX

@article{efron1987better, author={Efron, Bradley}, title={{Better bootstrap confidence intervals}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1987}, volume={82}, number={397}, pages={171--185}, doi={10.1080/01621459.1987.10478410}}

@book{efron1993introduction, author={Efron, Bradley and Tibshirani, Robert J.}, title={{An introduction to the bootstrap}}, year={1993}, publisher={Chapman \& Hall}}