Kwadrat łaciński – jak kontrolować kolejność warunków i osoby jednocześnie?

Opracowanie merytoryczne: Konrad Hryniewicz · Opublikowano: 29 października 2026

Co to jest kwadrat łaciński?

Kwadrat łaciński (ang. Latin square) to tablica k × k, w której każdy z k symboli występuje dokładnie raz w każdym wierszu i raz w każdej kolumnie. W eksperymencie wiersze odpowiadają jednemu czynnikowi zakłócającemu (np. osobom lub sekwencjom), kolumny – drugiemu (np. kolejnej sesji), a symbole – badanym warunkom. Richardson (2018) przypomina, że Fisher zaproponował go do kontroli wpływu zmiennych ubocznych w eksperymencie.

Losowanie i analiza

Kwadrat 4 × 4 kontroluje osoby i pozycję warunku w kolejności, a każdy warunek pojawia się w każdej sesji tak samo często. Według Fishera kwadrat trzeba wylosować spośród możliwych i uwzględnić schemat w analizie (Richardson, 2018). Model to ANOVA z wierszem, kolumną i warunkiem bez interakcji. W zastosowaniu wewnątrzobiektowym zwykły kwadrat równoważy pozycję, ale nie poprzedzający warunek. Williams (1949) opisał kwadraty zrównoważone także pod tym względem: k sekwencji przy parzystej liczbie warunków i 2k przy nieparzystej.

Przykład

Dwanaście osób (dane symulowane) przeszło cztery warunki A–D w czterech sesjach, po trzy osoby na każdą z czterech sekwencji wylosowanego kwadratu. W modelu z osobą, sesją i warunkiem efekt warunku wyniósł F(3, 30) = 4.35, p = .012, a efekt sesji (praktyki) F(3, 30) = 4.41, p = .011. Po pominięciu sesji średni kwadrat reszt rośnie z 4.15 do 5.44, a test warunku słabnie: F(3, 33) = 3.32, p = .032.

Jak opisać w pracy

Na co uważać

• Zawsze ten sam kwadrat cykliczny. Wylosuj kwadrat i przydział osób do sekwencji (randomizacja).
• Analiza bez sesji. Kontrola w schemacie nie wystarczy – sesja musi być w modelu.
• Przeniesienie. Zwykły kwadrat nie usuwa efektu przeniesienia; rozważ schemat Williamsa i przerwy między warunkami.

Pełne zrównoważenie kolejności opisuje hasło kontrbalansowanie, wybór schematu – schemat międzyobiektowy i wewnątrzobiektowy, a plan z dwoma okresami – wpis Schemat naprzemienny (crossover).

set.seed(3981)
k <- 4
kw <- outer(1:k, 1:k, function(i, j) LETTERS[(i + j - 2) %% k + 1])   # kwadrat cykliczny 4 × 4
kw <- kw[sample(k), sample(k)]                      # losowa permutacja wierszy i kolumn
dimnames(kw) <- list(sekwencja = 1:k, okres = 1:k)
kw
d <- expand.grid(okres = factor(1:k), sekwencja = 1:k, powt = 1:3)   # 3 osoby na sekwencję
d$osoba <- factor((d$powt - 1) * k + d$sekwencja)
d$warunek <- factor(kw[cbind(d$sekwencja, as.integer(d$okres))])
ef_war <- c(A = 0, B = 2, C = 3, D = 1); ef_okr <- c(0, 1.5, 2.5, 3)   # efekt warunku i praktyki
d$y <- 20 + ef_war[as.character(d$warunek)] + ef_okr[d$okres] +
  rnorm(nlevels(d$osoba), 0, 3)[d$osoba] + rnorm(nrow(d), 0, 2)
anova(lm(y ~ osoba + okres + warunek, data = d))
round(tapply(d$y, d$warunek, mean), 2)
anova(lm(y ~ osoba + warunek, data = d))           # bez okresu: efekt praktyki trafia do reszty

         okres
sekwencja 1   2   3   4  
        1 "D" "A" "B" "C"
        2 "C" "D" "A" "B"
        3 "A" "B" "C" "D"
        4 "B" "C" "D" "A"
Analysis of Variance Table

Response: y
          Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
osoba     11 539.81  49.074 11.8133 4.144e-08 ***
okres      3  54.97  18.322  4.4105   0.01101 *  
warunek    3  54.15  18.051  4.3453   0.01174 *  
Residuals 30 124.62   4.154                      
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
    A     B     C     D 
20.06 22.58 22.38 20.79 
Analysis of Variance Table

Response: y
          Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
osoba     11 539.81  49.074  9.0175 3.882e-07 ***
warunek    3  54.15  18.051  3.3169   0.03172 *  
Residuals 33 179.59   5.442                      
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Najczęstsze pytania

Czym kwadrat łaciński różni się od pełnego kontrbalansowania?

Pełne kontrbalansowanie używa wszystkich k! kolejności (przy czterech warunkach 24). Kwadrat łaciński wybiera tylko k kolejności, w których każdy warunek raz zajmuje każdą pozycję. Pozycja jest zrównoważona, ale nie wszystkie pary następujących po sobie warunków.

Co to jest schemat Williamsa?

To kwadrat łaciński, w którym każdy warunek tyle samo razy poprzedza każdy inny. Przy parzystej liczbie warunków wystarcza jeden kwadrat (k sekwencji), a przy nieparzystej potrzebne są dwa (2k).

Jak przeanalizować dane z kwadratu łacińskiego w R?

Przy jednej osobie na wiersz: aov(y ~ wiersz + kolumna + warunek). Przy kilku osobach na sekwencję w modelu jest osoba: lm(y ~ osoba + okres + warunek) i anova(), a przy brakach danych model mieszany z losowym efektem osoby.

Powiązane hasła

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

@article{richardson2018use, author={Richardson, John T. E.}, title={{The use of Latin-square designs in educational and psychological research}}, journal={Educational Research Review}, year={2018}, volume={24}, pages={84--97}, doi={10.1016/j.edurev.2018.03.003}}

@article{williams1949experimental, author={Williams, E. J.}, title={{Experimental designs balanced for the estimation of residual effects of treatments}}, journal={Australian Journal of Scientific Research Series A: Physical Sciences}, year={1949}, volume={2}, number={2}, pages={149--168}, doi={10.1071/ch9490149}}