Słownik metodologiczny · Modele regresji

Estymator Nelsona–Aalena – jak oszacować skumulowany hazard?

Estymator Nelsona–Aalena szacuje skumulowany hazard z danych z cenzurowaniem. Pokazujemy wzór, związek z krzywą Kaplana–Meiera, przykład w R, opis do pracy i typowe pomyłki.

Strona główna / Słownik / Estymator Nelsona–Aalena

Opracowanie merytoryczne: · Opublikowano:

W skrócie: Estymator Nelsona–Aalena to nieparametryczne oszacowanie skumulowanego hazardu H(t): suma ilorazów liczby zdarzeń do liczby osób w grupie ryzyka we wszystkich momentach zdarzeń do czasu t. Uwzględnia cenzurowanie, a exp(−H) daje krzywą przeżycia bardzo bliską krzywej Kaplana–Meiera.

Co to jest estymator Nelsona–Aalena?

Estymator Nelsona–Aalena (ang. Nelson–Aalen estimator) szacuje skumulowany hazard H(t), czyli ryzyko zdarzenia zgromadzone od początku obserwacji do czasu t. W każdym momencie zdarzenia dzielimy liczbę zdarzeń d przez liczbę osób w grupie ryzyka n i sumujemy te ilorazy: H(t) = Σ d/n. Osoby z obserwacją cenzurowaną pozostają w grupie ryzyka do chwili cenzurowania, a potem z niej wypadają.

Nelson (1972) zaproponował tę wielkość do wykresów hazardu dla danych z wielokrotnym cenzurowaniem, np. czasów pracy urządzeń. Aalen (1978) uogólnił ją w teorii procesów liczących, w której estymator opisuje skumulowaną intensywność zdarzeń także dla przejść między stanami.

Związek z Kaplanem–Meierem

Estymator Kaplana i Meiera (1958) szacuje przeżycie jako iloczyn (1 − d/n). Ponieważ S(t) = exp[−H(t)], z Nelsona–Aalena też można uzyskać krzywą przeżycia; przy dużych grupach ryzyka obie są prawie równe, a przy małych exp(−H) leży nieco wyżej niż krzywa Kaplana–Meiera. Nelson–Aalen jest szczególnie przydatny w diagnostyce: jeśli log H(t) względem log t układa się na prostej, dane są zgodne z rozkładem Weibulla, a prosta H(t) wskazuje na stały hazard. W modelu Coxa wykresy H(t) w grupach pomagają ocenić proporcjonalność hazardów.

Przykład

W symulacji 40 osób przy pierwszym zdarzeniu (t = 0.3; 2 zdarzenia na 40 osób w ryzyku) H = 0.050, a przy ostatnim (t = 11.9) H = 1.241. Przeżycie exp(−H) wyniosło wtedy 0.289 wobec 0.267 z Kaplana–Meiera – różnica rośnie, gdy w grupie ryzyka zostają 4 osoby.

Jak opisać w pracy

Skumulowany hazard oszacowano estymatorem Nelsona–Aalena. Do 12. miesiąca wyniósł 1.24; wykres log skumulowanego hazardu względem log czasu był w przybliżeniu liniowy, co uzasadniało użycie modelu Weibulla.

Na co uważać

  • H jako prawdopodobieństwo. Skumulowany hazard może przekraczać 1.
  • Koniec krzywej. Przy kilku osobach w ryzyku oszacowanie jest bardzo niepewne – podaj liczbę osób w ryzyku.
  • Ryzyka konkurujące. 1 − exp(−H) nie jest skumulowaną częstością, gdy inne zdarzenia wykluczają badane.
Przykład reprodukowalny

Estymator Nelsona–Aalena w R

Kod symuluje czasy do zdarzenia z cenzurowaniem, liczy skumulowany hazard ręcznie jako sumę d/n i porównuje exp(−H) z krzywą Kaplana–Meiera z survfit().

Skumulowany hazard i przeżycie z dwóch estymatorów

Dane wejściowe: 40 symulowanych osób, czasy z rozkładu wykładniczego (λ = 0.1), cenzurowanie jednostajne 2–20; set.seed(4451).

Co odczytać: H z Nelsona–Aalena, przeżycie exp(−H) i z Kaplana–Meiera przy pierwszych i ostatnim zdarzeniu oraz zgodność z polem cumhaz.

R
library(survival)
set.seed(4451)
n <- 40
czas <- round(rexp(n, rate = 0.1), 1)
cenz <- round(runif(n, 2, 20), 1)
t <- pmin(czas, cenz); zdarzenie <- as.numeric(czas <= cenz)
fit <- survfit(Surv(t, zdarzenie) ~ 1)
H_na <- cumsum(fit$n.event / fit$n.risk)            # Nelson–Aalen: suma d/n
wyn <- data.frame(t = fit$time, ryzyko = fit$n.risk, zdarz = fit$n.event,
                  H_NA = H_na, S_NA = exp(-H_na), S_KM = fit$surv)
zd <- wyn[wyn$zdarz > 0, ]
round(zd[c(1:3, nrow(zd)), ], 3)          # pierwsze i ostatnie zdarzenie
max(abs(H_na - fit$cumhaz))                # zgodność z survfit: 0
Wynik w R
      t ryzyko zdarz  H_NA  S_NA  S_KM
1   0.3     40     2 0.050 0.951 0.950
2   1.3     38     1 0.076 0.927 0.925
3   2.0     37     1 0.103 0.902 0.900
28 11.9      4     1 1.241 0.289 0.267
[1] 0

Bibliografia oprogramowania

Wyniki pochodzą z uruchomienia pokazanego kodu w R 4.5.3 (pakiet survival: survfit(), Surv()). W pracy podaj wersje faktycznie użytych pakietów (sessionInfo()).

  1. R: R Core Team. (2026). R: A language and environment for statistical computing (Version 4.5.3) [Computer software]. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/
  2. survival (wersja 3.8.6): Therneau, T. M. (2026). A package for survival analysis in R [R package]. https://CRAN.R-project.org/package=survival

Najczęstsze pytania

Czym estymator Nelsona–Aalena różni się od estymatora Kaplana–Meiera?

Kaplan–Meier szacuje przeżycie S(t) jako iloczyn (1 − d/n), a Nelson–Aalen skumulowany hazard H(t) jako sumę d/n. Przy wielu osobach w grupie ryzyka exp(−H) i S(t) są prawie równe; przy małych grupach exp(−H) jest nieco wyższe.

Jak interpretować skumulowany hazard?

To nie jest prawdopodobieństwo i może przekraczać 1. H(t) = 0.5 oznacza, że do czasu t przeciętnie „zgromadziło się” ryzyko odpowiadające połowie zdarzenia na osobę; przeżycie wynosi wtedy około exp(−0.5) = 0.61.

Jak policzyć estymator Nelsona–Aalena w R?

Funkcja survfit(Surv(t, zdarzenie) ~ 1) zwraca go w polu cumhaz; ręcznie to cumsum(fit$n.event / fit$n.risk). Wykres daje plot(fit, cumhaz = TRUE).

Powiązane hasła

Krzywa Kaplana–MeieraAnaliza przeżyciaRozkład WeibullaObserwacja cenzurowana

Poradniki, w których użyjesz tego pojęcia

Poradnik

Kaplan–Meier i model Coxa krok po kroku

Krzywe Kaplana–Meiera, log-rank, RMST, model Coxa, proporcjonalność hazardów i ryzyka konkurujące w R – z tabelą APA i opisem do artykułu.

Czytaj →

Potrzebujesz wsparcia w analizie danych?

Wybierz ofertę dopasowaną do pracy dyplomowej albo profesjonalnego projektu naukowego.

Wyceń analizęOferta dla studentów

Bibliografia i dalsza literatura naukowa (APA 7)

  1. Aalen, O. (1978). Nonparametric inference for a family of counting processes. The Annals of Statistics, 6(4), 701–726. https://doi.org/10.1214/aos/1176344247 ● Otwarty dostęp
  2. Kaplan, E. L., & Meier, P. (1958). Nonparametric estimation from incomplete observations. Journal of the American Statistical Association, 53(282), 457–481. https://doi.org/10.1080/01621459.1958.10501452
  3. Nelson, W. (1972). Theory and applications of hazard plotting for censored failure data. Technometrics, 14(4), 945–966. https://doi.org/10.1080/00401706.1972.10488991

Cytowania BibTeX

@article{aalen1978nonparametric, author={Aalen, Odd}, title={{Nonparametric inference for a family of counting processes}}, journal={The Annals of Statistics}, year={1978}, volume={6}, number={4}, pages={701--726}, doi={10.1214/aos/1176344247}}
@article{kaplan1958nonparametric, author={Kaplan, E. L. and Meier, Paul}, title={{Nonparametric estimation from incomplete observations}}, journal={Journal of the American Statistical Association}, year={1958}, volume={53}, number={282}, pages={457--481}, doi={10.1080/01621459.1958.10501452}}
@article{nelson1972theory, author={Nelson, Wayne}, title={{Theory and applications of hazard plotting for censored failure data}}, journal={Technometrics}, year={1972}, volume={14}, number={4}, pages={945--966}, doi={10.1080/00401706.1972.10488991}}
R